1.5 Faktorisering og kvadratsetningene

Å bygge tall og uttrykk fra byggeklosser

Tenk på et tall som et byggverk. Tallet $8$ kan settes sammen av $4\cdot 2$, eller helt ned til de minste klossene, $2\cdot 2\cdot 2$. Å faktorisere betyr nettopp dette: å skrive noe som et produkt av andre tall eller uttrykk. Det høres kanskje teknisk ut, men det er et av de mest nyttige grepene i hele algebraen -- spesielt når vi skal forkorte brøker eller løse likninger.

De minste byggeklossene er primtallene -- tall som bare er delelige på seg selv og $1$: $2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$ (tallet $1$ regnes ikke med). Når vi primtallsfaktoriserer, skriver vi tallet som et produkt av kun primtall. For $12$ er den eneste riktige primtallsfaktoriseringen $2\cdot 2\cdot 3$ -- $4\cdot 3$ holder ikke, for $4$ er ikke et primtall. Et større eksempel: $520 = 52\cdot 10 = 2\cdot 2\cdot 13\cdot 2\cdot 5 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 13$.

Faktorisering gjør at vi kan forkorte brøker ved å stryke felles faktorer. $\displaystyle \frac{2000}{750}$ kan vi forenkle steg for steg: $\displaystyle \frac{200\cdot 10}{75\cdot 10} = \frac{200}{75} = \frac{25\cdot 8}{25\cdot 3} = \frac{8}{3}$. Når vi forkorter, er målet å finne størst mulig felles faktor, så vi kommer raskest mulig i mål.

Felles faktor i uttrykk med flere ledd

Nå tar vi steget fra tall til bokstavuttrykk. Når et uttrykk har flere ledd -- altså flere biter skilt av pluss eller minus -- kan vi ofte trekke ut det som er felles for alle. Tanken er at $ab + ac = a(b+c)$: vi setter den felles faktoren utenfor en parentes, og det som er igjen havner inni.

Se på $4x + 8$. Begge ledd er delelige på $4$, så vi skriver $4x + 8 = 4(x+2)$. Vi kan alltid kontrollere ved å gange ut igjen. På samme måte er $6x^2 - 3x = 3x(2x-1)$, der vi trakk ut både tallet $3$ og en $x$, og $15x^2 y^2 - 20x^2 y = 5x^2 y(3y - 4)$. Et godt knep er at det som blir igjen i parentesen, er det opprinnelige leddet delt på det vi faktoriserte ut.

Noen ganger faktoriserer vi ut et negativt tall: $-3x + 9 = -3(x - 3)$. Pass på fortegnet inni -- $9$ delt på $-3$ er $-3$. Og noen ganger trekker vi ut det som står foran $x^2$, selv om det er en brøk: $\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + 2x + 2 = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4)$. Fordelen med å faktorisere ut tallet foran $x$ er at vi lett ser hvilken $x$-verdi som gjør parentesen lik null -- noe vi får stor glede av når vi skal løse likninger.

De tre kvadratsetningene

Kvadratsetningene kan virke som rene snarveier for å gange ut parenteser i annen potens, men de er mye mer enn det -- spesielt den tredje. La oss møte dem.

Første kvadratsetning sier at $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Hvorfor? Fordi $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2$, og siden $ba = ab$ blir midtleddet $2ab$. Slik blir $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$, og $(2x+5y)^2 = 4x^2 + 20xy + 25y^2$.

Andre kvadratsetning er nesten lik, men med minus i midten: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Derfor er $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$, og $(x^2 - 2y)^2 = x^4 - 4x^2 y + 4y^2$.

Tredje kvadratsetning, også kalt konjugatsetningen, er den smarteste: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Her forsvinner midtleddet helt, fordi $-ab + ab = 0$. Slik blir $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$, og $(x^2 + 3y)(x^2 - 3y) = x^4 - 9y^2$. Legg merke til mønsteret: produktet av en sum og en differanse blir en differanse av to kvadrater.

Kvadratsetningene baklengs -- faktorisering

Det virkelig kraftige er at vi kan lese kvadratsetningene baklengs og dermed faktorisere uttrykk vi ellers ville slitt med. Et andregradsuttrykk på formen $x^2 + bx + c$ er et perfekt kvadrat hvis $\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2 = c$. Da kan vi skrive det som $(x \pm \tfrac{b}{2})^2$.

Ta $x^2 + 4x + 4$. Her er $b=4$, og $\displaystyle \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$, som stemmer med $c=4$. Altså er $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Når det står et tall foran $x^2$, trekker vi det ut først: $2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9) = 2(x-3)^2$.

Mest brukt er konjugatsetningen baklengs: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$. En differanse av to kvadrater kan alltid faktoriseres. Slik blir $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$, og $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x+5)(2x-5)$. Selv når kvadratet ikke er pent, fungerer det: $4x^2 - 12 = 4(x^2 - 3) = 4(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$. Denne evnen til å gjenkjenne mønstre og snu dem om er nettopp det som gjør faktorisering til et så slagkraftig verktøy videre i kurset, blant annet når vi løser andregradslikninger.

Oppsummering

Å faktorisere er å skrive et uttrykk som et produkt. De minste byggeklossene er primtallene, og når vi forkorter brøker, leter vi etter størst mulig felles faktor. I uttrykk med flere ledd trekker vi ut det som er felles for alle: $ab+ac=a(b+c)$.

De tre kvadratsetningene er både snarveier og faktoriseringsverktøy: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ og konjugatsetningen $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Lest baklengs lar de oss faktorisere perfekte kvadrater som $x^2+4x+4=(x+2)^2$ og -- aller viktigst -- differanser av kvadrater som $x^2-9=(x+3)(x-3)$. Denne evnen til å gjenkjenne og snu mønstre er det som åpner døren til å løse andregradslikninger i neste kapittel.