2.1 Lineære likninger | Matematikk for økonomer

Løsning av førstegradslikninger med ulike metoder.

45 min

16 oppgaver

Lineære likningerLikningsløsningParenteslikningerBrøklikninger

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.3Brøkregning

Brukes videre i

2.2Andregradslikninger 2.3Likningssett 2.6Praktisk bruk av likninger

Likninger med addisjon og subtraksjon

Før du begynner på dette kapitlet er det viktig at du har pluss og minus (med parenteser) ordentlig på plass.

Hovedprinsippet for å løse likninger er at vi alltid gjør det samme på begge sider av likhetstegnet. Når vi skriver $| - 5$ betyr det at vi trekker fra 5 på begge sider av likheten.

✏️Eksempel 1

Løs likningene:

a) $x + 5 = 4$

b) $x - 1 = 4$

Løsning:

a) $x + 5 = 4 \quad | - 5$
$x + 5 - 5 = 4 - 5$
$x = -1$

b) $x - 1 = 4 \quad | + 1$
$x - 1 + 1 = 4 + 1$
$x = 5$

📝Oppgave 1

Løs likningene

x + 3 = 5

x - 9 = 3

x - 20 = 0

x + 200 = -100

x + 22 = 10

x + 10 = -2

Løs oppgaven Tren

Likninger med variabler på begge sider

For å forstå denne delen er det viktig å forstå veldig enkel algebra.

Eksempler på det du må kunne er at:
- $2x + 3x = 5x$
- $7x - 6x = x$

Vi får heller ikke lov til å blande konstanter og variabler. $3x + 3 + 2x = 5x + 3$ - vi kan ikke legge sammen $5x$ og $3$ uten å vite hva $x$ er.

✏️Eksempel 2

Løs likningene:

a) $4 = x - 2$

b) $2x + 4 = x$

Løsning:

a) $4 = x - 2 \quad | + 2$
$6 = x$
$x = 6$ (Når $6 = x$ så er også $x = 6$ )

b) $2x + 4 = x \quad | - 4$
$2x = x - 4 \quad | - x$
$2x - x = x - 4 - x$
$x = -4$

📝Oppgave 2

Løs likningene

3 = x - 5

4 = x + 3

2x - 2 = x

3x + 31 = 2x

x + 22 = 2x

4x + 10 = 3x - 2

Løs oppgaven Tren

Likninger med multiplikasjon og divisjon

Når vi har likninger der $x$ er ganget med et tall, må vi dele begge sider på dette tallet for å finne $x$ .

✏️Eksempel 3

Løs likningene:

a) $3x = 12$

b) $4x - 3 = 17$

Løsning:

a) $3x = 12 \quad | \div 3$
$\displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{12}{3}$
$x = 4$

b) $4x - 3 = 17 \quad | + 3$
$4x = 20 \quad | \div 4$
$x = 5$

📝Oppgave 3

Løs likningene

5x = 20

4x = -12

5x + 10 = 15

30x - 100 = 200

9x - 22 = -40

4x + 18 = 10

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4

Løs likningene:

a) $8x + 15 = 3x$

b) $4x - 5 = 2x + 11$

c) $-4x = 20$

Løsning:

a) $8x + 15 = 3x \quad | - 3x$
$5x + 15 = 0 \quad | - 15$
$5x = -15 \quad | \div 5$
$x = -3$

b) $4x - 5 = 2x + 11 \quad | - 2x$
$2x - 5 = 11 \quad | + 5$
$2x = 16 \quad | \div 2$
$x = 8$

c) $-4x = 20 \quad | \div (-4)$
$\displaystyle \frac{-4x}{-4} = \frac{20}{-4}$
$x = -5$

📝Oppgave 4

Løs likningene

10x - 9 = 7x

4x + 10 = -x

5x + 10 = 4x + 5

-3x = 30

-7x = -10 + 3x

-4x + 8 = 2x + 44

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 5

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} = 5$

b) $\displaystyle \frac{x}{-3} + 2 = 6$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} = 5 \quad | \cdot 2$
$\displaystyle \frac{x}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2$
$x = 10$

b) $\displaystyle \frac{x}{-3} + 2 = 6 \quad | - 2$
$\displaystyle \frac{x}{-3} = 4 \quad | \cdot (-3)$
$x = -12$

📝Oppgave 5

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{3} = 2

\displaystyle \frac{x}{-5} = -2

\displaystyle \frac{x}{2} + 10 = 12

\displaystyle \frac{x}{4} - 3 = -5

\displaystyle 110 = \frac{x}{8} + 10

\displaystyle 10 = 8 + \frac{x}{-3}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 6

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3} = 6$

b) $\displaystyle \frac{5x}{2} - 4 = -9$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3} = 6 \quad | \cdot 3$
$2x = 18 \quad | \div 2$
$x = 9$

b) $\displaystyle \frac{5x}{2} - 4 = -9 \quad | + 4$
$\displaystyle \frac{5x}{2} = -5 \quad | \cdot 2$
$5x = -10 \quad | \div 5$
$x = -2$

📝Oppgave 6

Løs likningene

\displaystyle \frac{3x}{5} = 6

\displaystyle \frac{2x}{3} = -8

\displaystyle \frac{3x}{2} - 2 = 7

\displaystyle -15 + \frac{5x}{4} = -5

\displaystyle 3 = \frac{3x}{8} + 6

\displaystyle \frac{10x}{-30} + 8 = -2

Løs oppgaven Tren

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 7 oppgaver

Grunnleggende likninger del 2

Likninger med brøker og parenteser

Før du begynner på del to av grunnleggende likninger er det viktig at du har brøkregning ordentlig på plass.

✏️Eksempel 7

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{30}{2x} = 5$

b) $\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 2$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{30}{2x} = 5 \quad | \cdot 2x$
$30 = 10x$
$10x = 30 \quad | \div 10$
$x = 3$

b) $\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 2 \quad | \cdot (x + 2)$
$\displaystyle \frac{3(x + 2)}{x + 2} = 2(x + 2)$
$3 = 2(x + 2)$
$3 = 2x + 4$
$2x + 4 = 3 \quad | - 4$
$2x = -1 \quad | \div 2$
$\displaystyle x = -\frac{1}{2}$

📝Oppgave 7

Løs likningene

\displaystyle \frac{6}{x} = 2

\displaystyle \frac{2}{3x} = 2

\displaystyle \frac{2}{x} - 2 = 7

\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 1

\displaystyle 3 = \frac{-2}{x - 3} + 6

\displaystyle \frac{2}{2x - 5} = -2

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 8

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{x - 3}{2} = x + 1$

b) $\displaystyle \frac{3x + 1}{x + 3} = 2$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{x - 3}{2} = x + 1 \quad | \cdot 2$
$x - 3 = 2(x + 1)$
$x - 3 = 2x + 2 \quad | + 3$
$x = 2x + 5 \quad | - 2x$
$-x = 5 \quad | \cdot (-1)$
$x = -5$

b) $\displaystyle \frac{3x + 1}{x + 3} = 2 \quad | \cdot (x + 3)$
$3x + 1 = 2(x + 3)$
$3x + 1 = 2x + 6 \quad | - 1$
$3x = 2x + 5 \quad | - 2x$
$x = 5$

📝Oppgave 8

Løs likningene

\displaystyle \frac{4x - 6}{3} = x + 3

\displaystyle \frac{3x}{x + 1} = 2

\displaystyle \frac{13x + 2}{2x} = 7

\displaystyle \frac{x + 1}{4} - 15 = -5

\displaystyle 3 = \frac{x - 1}{8} + 6

\displaystyle \frac{3 - x}{x} + 8 = -2

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 9

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{2}{3} = 1$

b) $\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{5} = 1$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{2}{3} = 1 \quad | - \frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{1}{3} \quad | \cdot 2$
$\displaystyle x = \frac{2}{3}$

b) $\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{5} = 1 \quad | + \frac{2}{5}$
$\displaystyle \frac{2x}{3} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$
$\displaystyle \frac{2x}{3} = \frac{7}{5} \quad | \cdot 3$
$\displaystyle 2x = \frac{21}{5} \quad | \div 2$
$\displaystyle x = \frac{21}{10}$

📝Oppgave 9

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{1}{3} = 1

\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{x}{10} + \frac{3}{2} = \frac{1}{5}

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{1}{5} - 2

\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{x}{2} - 3

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 10

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1$

Løsning alternativ 1 (finn fellesnevner):

\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1

\displaystyle \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = 1

\displaystyle \frac{3x + 2x}{6} = 1

\displaystyle \frac{5x}{6} = 1 \quad | \cdot 6

5x = 6 \quad | \div 5

\displaystyle x = \frac{6}{5}

Løsning alternativ 2 (gang med fellesnevner):
$\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1 \quad | \cdot 6$
$\displaystyle \frac{6 \cdot x}{2} + \frac{6 \cdot x}{3} = 1 \cdot 6$
$3x + 2x = 6$
$5x = 6 \quad | \div 5$
$\displaystyle x = \frac{6}{5}$

📝Oppgave 10

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{x}{3} = 1

\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{x}{2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{x}{4}

\displaystyle \frac{2x}{5} = -\frac{x}{2} + 10

\displaystyle 4 = \frac{3x}{7} + x

\displaystyle \frac{x}{2} - \frac{x}{6} = \frac{x}{4} - 1

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 11

Løs likningene:

a) $3(x - 2) = 4$

b) $4 - 2(x + 1) = 22$

Løsning:

a) $3(x - 2) = 4$
$3x - 6 = 4 \quad | + 6$
$3x = 10 \quad | \div 3$
$\displaystyle x = \frac{10}{3}$

b) $4 - 2(x + 1) = 22 \quad | - 4$
$-2(x + 1) = 18$
$-2x - 2 = 18 \quad | + 2$
$-2x = 20 \quad | \div (-2)$
$x = -10$

📝Oppgave 11

Løs likningene

2(x - 1) = 4

5(x - 2) = 3

2 + 3(x - 1) = 5

5(x + 1) = 2(x - 1)

6 - 3(x + 2) = x

-2(3x - 15) = 8x - (-x)

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 12

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{2x - 4}{2} = 5$

b) $\displaystyle \frac{2x}{x + 1} - \frac{3}{2} = 2$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{2x - 4}{2} = 5 \quad | \cdot 2$
$1 - (2x - 4) = 10$
$1 - 2x + 4 = 10 \quad | - 1 - 4$
$-2x = 5 \quad | \div (-2)$
$\displaystyle x = -\frac{5}{2}$

b) Vi ser at fellesnevner blir $2(x + 1)$ . Gang med dette på begge sider:
$\displaystyle \frac{2x}{x + 1} - \frac{3}{2} = 2$
$\displaystyle \frac{2 \cdot 2x}{2(x + 1)} - \frac{3(x + 1)}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{4x - 3(x + 1)}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{4x - 3x - 3}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 2} = 2 \quad | \cdot (2x + 2)$
$x - 3 = 4x + 4 \quad | - 4x + 3$
$-3x = 7 \quad | \div (-3)$
$\displaystyle x = -\frac{7}{3}$

📝Oppgave 12

Løs likningene

\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{x + 1}{2} = 4

\displaystyle \frac{1}{3} - \frac{x - 2}{2} = 2

\displaystyle \frac{x}{x + 2} - \frac{1}{2} = 1

\displaystyle \frac{2x - 1}{x + 5} = -\frac{3}{2}

\displaystyle \frac{5x - 1}{2x + 1} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}

\displaystyle \frac{5x - 1}{-x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{5}{3}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 13

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{3}{4}\left(\frac{1}{3} - x\right) + 2x = 5$

Løsning:

\displaystyle \frac{3}{4}\left(\frac{1}{3} - x\right) + 2x = 5

\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} - \frac{3}{4} \cdot x + 2x = 5

\displaystyle \frac{1}{4} - \frac{3x}{4} + 2x = 5 \quad | \cdot 4

1 - 3x + 8x = 20 \quad | - 1

5x = 19 \quad | \div 5

\displaystyle x = \frac{19}{5}

📝Oppgave 13

Løs likningene

\displaystyle \frac{1}{2}(1 - x) = 5

\displaystyle \frac{1}{4}\left(\frac{x}{3} - 1\right) = 1

\displaystyle \frac{3}{5}\left(5 - \frac{x}{3}\right) + 2x = 2

\displaystyle \frac{3}{7}\left(x - \frac{1}{2}\right) = 5 - x

\displaystyle \frac{5x}{4}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{x}{2} - 1

\displaystyle \frac{x}{4} - 1 = x\left(\frac{1}{3} - 2\right)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Disse oppgavene tester forståelsen din av kapittelet om lineære likninger.

Finn feilen. En student løser likningen

2(x+3) = 10

slik:

2(x+3) = 10 \Rightarrow 2x + 3 = 10 \Rightarrow x = 3{,}5

. Hvor er feilen, og hva er riktig svar?

En lineær likning på formen $ax + b = 0$ har normalt én løsning. Når har den ingen løsning, og når har den uendelig mange? Gi konkrete eksempler.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Lineære likninger

Begrep/Regel	Formel/Forklaring
Standardform	$ax + b = c$ , med $a \neq 0$
Løsning	$x = \dfrac{c - b}{a}$
Antall løsninger (én)	Hvis $a \neq 0$ — nøyaktig én løsning
Antall løsninger (ingen)	Hvis $a = 0$ og $b \neq c$ — ingen løsning
Antall løsninger (uendelig)	Hvis $a = 0$ og $b = c$ — alle $x \in \mathbb{R}$
Ekvivalent operasjon 1	Legg til/trekk fra samme tall på begge sider
Ekvivalent operasjon 2	Gang/divider begge sider med samme tall ( $\neq 0$ )
Parenteser	Distribuér før du flytter ledd: $a(b+c) = ab + ac$
Brøklikning	Gang begge sider med fellesnevner for å fjerne brøker
Sjekk	Sett løsningen inn i den opprinnelige likningen

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Likninger: Du gjør det samme på begge sider for å bevare likheten.
- Variabler på begge sider: Samle x-ledd på én side og tall på den andre.
- Multiplikasjon og divisjon: Del på koeffisienten foran x.
- Brøker og parenteser: Fjern nevnere og parenteser før du løser.

Viktige formler

ax + b = c \quad \Rightarrow \quad x = \frac{c - b}{a}

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Likning	Uttrykk med likhetstegn
Variabel	Den ukjente, ofte x
Koeffisient	Tallet foran variabelen
Standardform	$ax + b = c$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.