2.2 Andregradslikninger | Matematikk for økonomer

ABC-formelen, faktorisering og løsning av andregradslikninger.

50 min

14 oppgaver

AndregradslikningerABC-formelenFaktoriseringDiskriminanten

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Lineære likninger

Brukes videre i

2.4Ulikheter 2.7Praktisk bruk av andregradslikninger 3.2Andregradsfunksjoner 3.5Nullpunkter og fortegn

abc-formelen

For å finne nullpunktene til en andregradslikning på formen $ax^2 + bx + c = 0$ bruker vi formelen under.

📜abc-formelen

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

✏️Eksempel 1

Løs likningene ved hjelp av abc-formelen:

a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
b) $2x^2 - 12x = -16$

Løsning:

a) $1x^2 - 5x + 6 = 0$ (Vi skriver vanligvis ikke 1-tallet)

Her ser vi at $a = 1$ , $b = -5$ og $c = 6$

Vi setter inn i abc-formelen og løser for $x_1$ og $x_2$ :

$\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

$\displaystyle = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$

$\displaystyle x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ og $\displaystyle x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

b) $2x^2 - 12x = -16$

Vi skriver først om til formen $ax^2 + bx + c = 0$ :
$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Vi ser at $a = 2$ , $b = -12$ og $c = 16$

Vi setter inn i abc-formelen:

$\displaystyle x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16}}{2 \cdot 2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{4}$

$\displaystyle x = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{12 \pm 4}{4}$

$\displaystyle x_1 = \frac{12 + 4}{4} = \frac{16}{4} = 4$ og $\displaystyle x_2 = \frac{12 - 4}{4} = \frac{8}{4} = 2$

📝Oppgave 1

Løs likningene ved hjelp av abc-formelen

x^2 + 5x + 6 = 0

2x^2 - 6x + 4 = 0

-x^2 - 3x + 10 = 0

x^2 = 4x + 12

x^2 + 10 = -7x

-3x^2 = 15 - 18x

Løs oppgaven Tren

Spesialtilfeller

En løsning:
Dersom det som står under rottegnet blir null så vil vi få $\pm 0$ i abc-formelen vår. Vi vil i dette tilfellet kun stå igjen med ett svar siden det å legge til 0 ikke er forskjellig fra å trekke fra 0.

Ingen løsninger:
Vi ender noen ganger opp med negative tall under rottegnet vårt. Ettersom kvadratrøtter av negative tall ikke er definert så vil vi ikke ende opp med noen svar i disse tilfellene. $L = \emptyset$ .

✏️Eksempel 2

Løs likningene ved hjelp av abc-formelen:

a) $x^2 + 10x + 25 = 0$
b) $x^2 - 5x + 8 = 0$

Løsning:

a) $x^2 + 10x + 25 = 0$

Her ser vi at $a = 1$ , $b = 10$ og $c = 25$

Vi setter inn i abc-formelen:

$\displaystyle x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

$\displaystyle = \frac{-10 \pm \sqrt{0}}{2} = -\frac{10}{2} = -5$

Vi har altså her kun én løsning $x = -5$

b) $x^2 - 5x + 8 = 0$

Her ser vi at $a = 1$ , $b = -5$ og $c = 8$

$\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{-7}}{2}$

Ettersom $\sqrt{-7}$ ikke er definert så vil det heller ikke finnes noen løsninger på likningen.

Svar: $L = \emptyset$

📝Oppgave 2

Løs om mulig likningene ved hjelp av abc-formelen

x^2 - 10x + 25 = 0

x^2 - 7x + 15 = 0

x^2 - 20x + 100 = 0

2x^2 - 10x + 16 = 0

x^2 - 15x + 50 = 0

-x^2 - 2x - 1 = 0

Løs oppgaven Tren

Nullpunktsfaktorisering (ved bruk av abc-formelen)

Vi kan bruke nullpunktene vi finner når vi løser likningen:

$ax^2 + bx + c = 0$

Svarene på denne likningen blir $x_1$ og $x_2$ . Disse kan vi sette inn i formelen under for å faktorisere andregraduttrykk.

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

NB: Om vi kun får én løsning på abc-formelen så setter vi inn denne løsningen for både $x_1$ og $x_2$ .

✏️Eksempel 3

Faktoriser uttrykkene ved å bruke nullpunktsfaktorisering:

a) $x^2 - 5x + 6$
b) $2x^2 - 12x + 16$
c) $3x^2 + 18x + 27$

Løsning:

a) Vi begynner med å løse $x^2 - 5x + 6 = 0$ med abc-formelen vil vi få $x_1 = 2$ og $x_2 = 3$ . Disse løsningene kan vi nå bruke til å faktorisere uttrykket.

Vi bruker formelen for nullpunktsfaktorisering:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

$1x^2 - 5x + 6 = 1(x - 2)(x - 3)$

$x^2 - 5x + 6$ kan altså faktoriseres til $(x - 2)(x - 3)$

b) Når vi løser $2x^2 - 12x + 16 = 0$ med abc-formelen får vi $x_1 = 2$ og $x_2 = 4$ .

Vi bruker formelen for nullpunktsfaktorisering:

$2x^2 - 12x + 16 = 2(x - 2)(x - 4)$

c) Når vi løser $3x^2 + 18x + 27 = 0$ bør vi først faktorisere ut 3:

$3(x^2 + 6x + 9) = 0$

Dette gir $x = -3$ (én løsning).

$3x^2 + 18x + 27 = 3(x + 3)^2$

📝Oppgave 3

Faktoriser uttrykkene ved å bruke nullpunktsfaktorisering (NB: Husk at du må begynne med å finne $x_1$ og $x_2$ ved å bruke abc-formelen)

x^2 + 5x + 6

x^2 + 3x - 10

2x^2 + 8x + 6

2x^2 - 10x + 12

3x^2 - 3x - 6

-x^2 - 2x - 1

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Faktoriser og forkort ved hjelp av kvadratsetningene og nullpunktsfaktorisering dersom det er mulig.

\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 3}

\displaystyle \frac{x^2 - 10x + 24}{x^2 - 16}

\displaystyle \frac{2x^2 - 16x + 30}{4x^2 - 100}

\displaystyle \frac{-3x - 12}{3x^2 + 48}

\displaystyle \frac{-2x^2 + 32}{3x^2 - 3x - 60}

\displaystyle \frac{-x^2 - 18x - 81}{-x - 9}

Løs oppgaven Tren

Produktregelen

Dersom $a \cdot b = 0$ så vil enten $a = 0$ eller $b = 0$ (eller både $a = 0$ og $b = 0$ ).

Av dette følger det at om vi ønsker å finne svaret på en likning med flere faktorer $(x + x_1)(x - x_2) = 0$ så vil enten $x + x_1 = 0$ altså $x = -x_1$ eller $x - x_2 = 0$ altså $x = x_2$ .

✏️Eksempel 4

Løs likningene ved hjelp av produktregelen:

a) $2(x + 3) = 0$
b) $(x - 4)(x + 2) = 0$
c) $\displaystyle 3\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 0.3)(x - \sqrt{5}) = 0$

Løsning:

a) $2(x + 3) = 0$

Her ser vi enkelt at dersom $x = -3$ så vil venstresiden bli lik høyresiden.
Svaret på likningen er altså $x = -3$ .

b) $(x - 4)(x + 2) = 0$

Her sier produktregelen at venstresiden vil bli 0 dersom minst en av faktorene er 0. Det vil si at enten $x - 4 = 0$ eller $x + 2 = 0$ .
Vi ser at $x = 4$ og $x = -2$ da er løsningene på denne likningen.

c) $\displaystyle 3\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 0.3)(x - \sqrt{5}) = 0$

Nok engang holder det at en av faktorene er lik 0 for at vi skal ha en løsning. Her blir løsningene $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$ , $x = 0.3$ og $x = \sqrt{5}$

📝Oppgave 5

Løs likningene ved hjelp av produktregelen

2(x + 9) = 0

-3(x + 1) = 0

(x + 2)(x - 3) = 0

(x - k)(x + \sqrt{2}) = 0

2x + 6 = 0

-5x + 20 = 10

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Disse oppgavene tester forståelsen din av andregradslikninger og diskriminanten.

Finn feilen. En student har regnet ut diskriminanten i en andregradslikning og fått

D = -4

. Studenten konkluderer: "Siden $D \neq 0$ , har likningen to løsninger." Hva er feil i denne konklusjonen, og hva sier diskriminanten egentlig om antall løsninger?

Forklar geometrisk (uten regning) hvorfor en andregradslikning kan ha 0, 1 eller 2 løsninger. Tegn gjerne en skisse.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Tilleggsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- abc-formelen: Løser andregradslikninger på formen $ax^2 + bx + c = 0$ .
- Spesialtilfeller: Null under rottegnet gir én løsning; negativt gir ingen reelle løsninger.
- Nullpunktsfaktorisering: Bruk løsningene til å faktorisere uttrykket.
- Produktregelen: Hvis $a \cdot b = 0$ , er $a = 0$ eller $b = 0$ .

Viktige formler

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
abc-formelen	Løser andregradslikninger
Andregradslikning	$ax^2 + bx + c = 0$
Diskriminant	$b^2 - 4ac$ under rottegnet
Produktregelen	$ab = 0 \Rightarrow a=0$ eller $b=0$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.