2.2 Andregradslikninger

Når $x$ kommer i annen potens

I forrige kapittel løste vi likninger der $x$ sto alene. Men hva gjør du når den ukjente er opphøyd i andre, slik som $x^2-5x+6=0$? Slike andregradslikninger har formen $ax^2+bx+c=0$, og de dukker opp overalt i økonomi -- for eksempel når en inntektsfunksjon er en parabel og du leter etter hvilke priser som gir null fortjeneste. Heldigvis finnes det én formel som alltid virker.

abc-formelen sier at løsningene er $\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Her er $a$, $b$ og $c$ tallene foran henholdsvis $x^2$, $x$ og konstantleddet. Tegnet $\pm$ betyr at vi regner ut to ganger: én gang med pluss og én gang med minus -- derfor får andregradslikninger ofte to løsninger.

La oss prøve på $x^2-5x+6=0$. Her er $a=1$, $b=-5$ og $c=6$. Vi setter inn: $\displaystyle x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}$. Det gir $\displaystyle x_1=\frac{4}{2}=2$ og $\displaystyle x_2=\frac{6}{2}=3$. Står likningen ikke på riktig form, rydder vi først: $2x^2-12x=-16$ blir til $2x^2-12x+16=0$, og med $a=2$, $b=-12$, $c=16$ får vi $\displaystyle x=\frac{12\pm\sqrt{144-128}}{4}=\frac{12\pm 4}{4}$, altså $x_1=4$ og $x_2=2$.

Når det blir én eller ingen løsning

Uttrykket under rottegnet, $b^2-4ac$, kalles diskriminanten, og det avgjør hvor mange løsninger likningen har. Vanligvis er det positivt, og vi får to løsninger. Men to spesialtilfeller er verdt å kjenne.

Blir diskriminanten null, står det $\pm\sqrt{0}$ i formelen. Å legge til eller trekke fra null gir samme resultat, så de to løsningene smelter sammen til én. Ta $x^2+10x+25=0$ med $a=1$, $b=10$, $c=25$: $\displaystyle x=\frac{-10\pm\sqrt{100-100}}{2}=\frac{-10\pm 0}{2}=-5$. Her finnes altså bare den ene løsningen $x=-5$.

Blir diskriminanten negativ, havner vi i trøbbel: kvadratrøtter av negative tall er ikke definert blant de reelle tallene. Da finnes ingen løsning. Se på $x^2-5x+8=0$: $\displaystyle x=\frac{5\pm\sqrt{25-32}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{-7}}{2}$. Siden $\sqrt{-7}$ ikke gir mening, skriver vi løsningsmengden som den tomme mengden, $L=\emptyset$. Et raskt blikk på diskriminanten forteller deg altså med én gang om du venter to, én eller ingen løsninger.

Faktorisering og produktregelen

Når vi først har funnet nullpunktene $x_1$ og $x_2$, kan vi bruke dem til å faktorisere andregradsuttrykket. Formelen er $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$. For $x^2-5x+6$ fant vi $x_1=2$ og $x_2=3$, så uttrykket blir $1(x-2)(x-3)=(x-2)(x-3)$. For $2x^2-12x+16$, der $x_1=2$ og $x_2=4$, husker vi $a=2$ foran: $2(x-2)(x-4)$. Får vi bare én løsning, setter vi den inn for begge: $3x^2+18x+27=3(x^2+6x+9)$ har den ene løsningen $x=-3$, så det faktoriseres til $3(x+3)^2$.

Faktorisering peker rett mot et annet kraftig verktøy: produktregelen. Den sier at hvis $a\cdot b=0$, så må enten $a=0$ eller $b=0$ -- et produkt blir bare null hvis minst én faktor er null. Står likningen allerede som et produkt lik null, slipper vi abc-formelen helt.

I $(x-4)(x+2)=0$ er løsningen at enten $x-4=0$ eller $x+2=0$, altså $x=4$ eller $x=-2$. Regelen gjelder uansett hvor mange faktorer du har: i $\displaystyle 3\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-0{,}3)(x-\sqrt{5})=0$ blir hver parentes lik null i tur og orden, og løsningene er $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$, $x=0{,}3$ og $x=\sqrt{5}$. Tallet $3$ foran kan aldri bli null, så det gir ingen løsning.

Oppsummering

En andregradslikning har formen $ax^2+bx+c=0$, og den løser vi med abc-formelen $\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Tegnet $\pm$ gir oss to regnestykker og dermed gjerne to løsninger. Uttrykket $b^2-4ac$, diskriminanten, avslører antallet: positivt gir to løsninger, null gir nøyaktig én, og negativt gir ingen reell løsning ($L=\emptyset$).

Nullpunktene lar oss faktorisere: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, slik at $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Og motsatt vei gir produktregelen oss løsningene direkte når likningen alt er et produkt: er $a\cdot b=0$, må minst én faktor være null. Disse tre grepene -- formelen, diskriminanten og produktregelen -- gir deg full kontroll over andregradslikninger, som du snart skal bruke på inntekts- og kostnadsmodeller.