2.1 Lineære likninger

Vekten som alltid må være i balanse

Tenk deg en gammeldags skålvekt. Så lenge det er like mye på begge sider, står den i balanse. En likning er akkurat en slik vekt: alt på venstre side av likhetstegnet veier nøyaktig like mye som det på høyre side. Hovedprinsippet for å løse en likning er derfor enkelt -- vi gjør alltid det samme på begge sider, så balansen bevares. Skriver vi $\,|-5$ ved siden av en likning, betyr det at vi trekker fra $5$ på begge sider.

I dette kapitlet skal vi løse førstegradslikninger, der den ukjente -- ofte kalt $x$ -- bare opptrer i første potens. Slike likninger dukker stadig opp i økonomi: hvor mange enheter må du selge for å dekke kostnadene, eller hvilken pris gir akkurat det overskuddet du ønsker? Svaret finner du ved tålmodig å isolere $x$, ett balansert grep om gangen.

Legg til og trekk fra

La oss begynne der likningene er enklest. I $x+5=4$ vil vi ha $x$ alene, så vi trekker fra $5$ på begge sider: $x+5-5=4-5$, altså $x=-1$. På samme måte løser vi $x-1=4$ ved å legge til $1$ på begge sider: $x=5$. Det spiller ingen rolle hvilken side den ukjente står på -- av $4=x-2$ får vi $x=6$ ved å legge til $2$, og $6=x$ betyr selvsagt at $x=6$.

Når variabelen står på begge sider, samler vi $x$-leddene på én side. I $2x+4=x$ trekker vi først fra $4$ og deretter $x$: $2x-x=-4$, så $x=-4$. Her er det greit å huske litt enkel algebra: $2x+3x=5x$ og $7x-6x=x$.

Et lite varsku på veien: vi kan ikke blande tall og variabler. I uttrykket $3x+3+2x$ kan vi legge sammen $3x+2x=5x$, men ikke $5x$ og $3$ -- de blir stående som $5x+3$ helt til vi vet hva $x$ er. Å holde tallene og $x$-leddene fra hverandre er selve nøkkelen til å rydde i en likning.

Gang og del bort koeffisienten

Når $x$ er ganget med et tall -- en koeffisient -- må vi dele begge sider på dette tallet for å få $x$ alene. I $3x=12$ deler vi på $3$ og får $x=4$. Ofte må vi rydde litt først. Likningen $4x-3=17$ løser vi ved å legge til $3$ ($4x=20$) og så dele på $4$: $x=5$. Rekkefølgen er gjerne: bli kvitt tallene som legges til eller trekkes fra, og del til slutt på koeffisienten.

Variabler på begge sider behandles likt. I $8x+15=3x$ trekker vi fra $3x$ ($5x+15=0$), trekker fra $15$ ($5x=-15$) og deler på $5$: $x=-3$. Og $4x-5=2x+11$ gir $2x-5=11$, så $2x=16$ og $x=8$. Pass på fortegnet når koeffisienten er negativ: $-4x=20$ løses ved å dele på $-4$, som gir $x=-5$.

Står $x$ i en brøk, ganger vi vekk nevneren. I $\displaystyle \frac{x}{2}=5$ ganger vi begge sider med $2$ og får $x=10$. Vi kombinerer gjerne flere steg: $\displaystyle \frac{x}{-3}+2=6$ gir først $\displaystyle \frac{x}{-3}=4$, og etter å gange med $-3$ får vi $x=-12$. Selv $\displaystyle \frac{2x}{3}=6$ er grei: gang med $3$ ($2x=18$) og del på $2$, så $x=9$.

Brøklikninger og parenteser

De vanskeligste likningene har den ukjente nede i nevneren eller gjemt bak parenteser. Trikset er det samme: gang bort nevneren, så er du tilbake til en vanlig likning. Tar vi $\displaystyle \frac{30}{2x}=5$, ganger vi begge sider med $2x$ og får $30=10x$, altså $x=3$. Når den ukjente står i nevneren, må vi gange med hele nevneren: $\displaystyle \frac{3}{x+2}=2$ blir til $3=2(x+2)=2x+4$, så $2x=-1$ og $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$.

Når vi ganger inn en parentes, må vi distribuere -- gange tallet inn på hvert ledd. I $\displaystyle \frac{x-3}{2}=x+1$ ganger vi med $2$: $x-3=2(x+1)=2x+2$. Da blir $x-3=2x+2$, og etter å samle leddene får vi $-x=5$, altså $x=-5$. Husk å gange ut hele parentesen, ikke bare første ledd.

Helt til slutt: hvor mange løsninger har en lineær likning? Skriver vi den på standardformen $ax+b=c$, er løsningen $\displaystyle x=\frac{c-b}{a}$ så lenge $a\neq 0$ -- da finnes nøyaktig én løsning. Blir $a=0$ men $b\neq c$, er det ingen løsning (en umulig påstand), og er $a=0$ med $b=c$, stemmer det for alle $x$. Sjekk alltid svaret ved å sette det inn i den opprinnelige likningen.

Oppsummering

En likning er en vekt i balanse: alt vi gjør, må gjøres likt på begge sider av likhetstegnet. For å finne den ukjente samler vi $x$-leddene på én side og tallene på den andre, og deler til slutt på koeffisienten foran $x$. Står $x$ i en brøk eller bak en parentes, ganger vi bort nevneren og distribuerer parentesene før vi løser videre.

På standardformen $ax+b=c$ er løsningen $\displaystyle x=\frac{c-b}{a}$ når $a\neq 0$. Da har likningen nøyaktig én løsning; er $a=0$ kan den ha ingen eller uendelig mange. Det lureste du gjør, er å sette svaret tilbake i den opprinnelige likningen og sjekke at balansen holder. Disse teknikkene er fundamentet for alt du senere skal regne på i økonomi, fra kostnadsbalanse til prisberegninger.