1.6 Rasjonale uttrykk

Når brøkene får bokstaver

Du kjenner brøker fra før: $\displaystyle \frac{2}{3}$ av en pizza, eller $\displaystyle \frac{3}{4}$ av et budsjett. Men i økonomi og algebra dukker det ofte opp brøker der teller og nevner inneholder bokstaver -- vi kaller dem rasjonale uttrykk. Tenk deg at du deler en fast kostnad $K$ på antallet enheter $x$ du produserer; da får du kostnaden per enhet som brøken $\displaystyle \frac{K}{x}$. Skal du regne videre med slike uttrykk, trenger du de samme reglene som for vanlige tallbrøker -- pluss ett ekstra verktøy: faktorisering.

Det aller viktigste prinsippet er at vi bare kan stryke felles faktorer, aldri enkeltledd. Se på $\displaystyle \frac{2x}{3x}$. Her er $x$ en faktor i både teller og nevner, så vi stryker den og sitter igjen med $\displaystyle \frac{2}{3}$. Like enkelt blir $\displaystyle \frac{3x-6}{6}$: vi faktoriserer telleren til $3(x-2)$ og nevneren til $3\cdot 2$, stryker treeren, og får $\displaystyle \frac{x-2}{2}$.

Når uttrykkene blir mer sammensatte, faktoriserer vi alt vi kan først. For $\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$ skriver vi telleren som $(x-2)(x-3)$ og nevneren som $(x-2)(x+2)$. Den felles faktoren $(x-2)$ stryker vi, og svaret blir $\displaystyle \frac{x-3}{x+2}$. Husk regelen: stryk hele faktorer, ikke ledd inne i en sum.

Forkort, gang og del

La oss ta de tre regnemåtene som ligner mest på det du gjør med tallbrøker. Vi starter med multiplikasjon, der vi ganger teller med teller og nevner med nevner -- og helst forkorter underveis. Tar vi $\displaystyle \frac{2}{3x}\cdot\frac{x+3}{4}$, blir det $\displaystyle \frac{2(x+3)}{3x\cdot 4}$, og siden $4=2\cdot 2$ stryker vi en tør mot toeren i telleren og får $\displaystyle \frac{x+3}{6x}$.

Noen ganger forsvinner nesten alt. I $\displaystyle \frac{x}{2x+8}\cdot\frac{x+4}{3x}$ faktoriserer vi $2x+8=2(x+4)$, slik at uttrykket blir $\displaystyle \frac{x(x+4)}{2(x+4)\cdot 3x}$. Både $x$ og $(x+4)$ stryker, og igjen står bare $\displaystyle \frac{1}{6}$. Et heltall ganges ved å sette det over $1$: $\displaystyle 3x^2\cdot\frac{x+3}{3x^2-27}=\frac{3x^2}{1}\cdot\frac{x+3}{3(x^2-9)}$. Med $x^2-9=(x+3)(x-3)$ stryker vi treeren og $(x+3)$, og står igjen med $\displaystyle \frac{x^2}{x-3}$.

Divisjon løser vi ved å snu den andre brøken og gange. Så $\displaystyle \frac{x}{2}:\frac{2x}{3}=\frac{x}{2}\cdot\frac{3}{2x}=\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}$. Et tall delt på en brøk fungerer likt: $\displaystyle 4x:\frac{x}{x^2-16}=\frac{4x}{1}\cdot\frac{x^2-16}{x}$, og etter at $x$ stryker, blir det $4(x-4)(x+4)$.

Trekk sammen med fellesnevner

Skal vi legge sammen eller trekke fra brøker, må nevnerne være like. Har de allerede samme nevner, jobber vi bare med tellerne -- men husk parentes når vi trekker fra! Se på $\displaystyle \frac{9x+3y}{4x}-\frac{x-3y}{4x}$. Vi samler tellerne: $9x+3y-(x-3y)=9x+3y-x+3y=8x+6y$, og resultatet $\displaystyle \frac{8x+6y}{4x}$ forkortes til $\displaystyle \frac{4x+3y}{2x}$.

Når nevnerne er ulike, må vi utvide brøkene til en felles nevner. Vi utvider ved å gange teller og nevner med samme faktor. For $\displaystyle \frac{5x}{2y}+\frac{3}{2}$ utvider vi den siste med $y$: $\displaystyle \frac{5x}{2y}+\frac{3y}{2y}=\frac{5x+3y}{2y}$. Hele tall regnes også som brøker; i $\displaystyle \frac{4}{x+2}-2$ skriver vi $\displaystyle 2=\frac{2(x+2)}{x+2}$ og får $\displaystyle \frac{4-(2x+4)}{x+2}=\frac{-2x}{x+2}$.

Det smarteste trikset er å faktorisere nevnerne for å finne minste fellesnevner. I $\displaystyle \frac{2}{x-4}-\frac{1}{x+4}$ er fellesnevneren $(x-4)(x+4)$. Vi utvider hver brøk og får $\displaystyle \frac{2(x+4)-1(x-4)}{(x-4)(x+4)}=\frac{2x+8-x+4}{x^2-16}=\frac{x+12}{x^2-16}$. Og når en nevner inneholder en faktor av den andre, som i $\displaystyle \frac{2}{x+3}-\frac{1}{2x+6}$, ser vi at $2x+6=2(x+3)$, så fellesnevneren er bare $2(x+3)$: $\displaystyle \frac{4-1}{2(x+3)}=\frac{3}{2(x+3)}$.

Oppsummering

Et rasjonalt uttrykk er en brøk der teller og nevner inneholder algebra. Den gylne regelen er at vi bare kan stryke felles faktorer, aldri enkeltledd inne i en sum -- derfor faktoriserer vi alltid før vi forkorter, slik at $\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$ blir $\displaystyle \frac{x-3}{x+2}$.

Ved multiplikasjon ganger vi teller med teller og nevner med nevner, og forkorter underveis. Ved divisjon snur vi den andre brøken og ganger. Skal vi addere eller subtrahere, trenger vi en fellesnevner: vi utvider brøkene ved å gange teller og nevner med samme faktor, og faktoriserer nevnerne for å finne den minste felles nevneren. Husk parentes når du trekker fra en hel teller, og husk at nevneren aldri kan være null. Disse grepene gir deg full kontroll når du senere skal forenkle kostnads- og inntektsfunksjoner og løse brøklikninger.