2.5 Rasjonale likninger

Likninger som inneholder brøker

Mange økonomiproblemer ender opp som likninger med brøker -- en gjennomsnittskostnad, en andel av et budsjett, en pris per enhet. Slike rasjonale likninger løser vi med ett enkelt grep: vi ganger begge sider med nevneren for å bli kvitt brøken, og står igjen med en vanlig likning.

Se på $\displaystyle \frac{x}{3}=2$. Vi ganger begge sider med $3$ og får $x=6$. Når den ukjente står i nevneren, ganger vi med hele nevneren: $\displaystyle \frac{8}{2x}=2$ blir til $8=4x$, så $x=2$. Og $\displaystyle \frac{3}{7x}=1$ gir $3=7x$, altså $\displaystyle x=\frac{3}{7}$.

Står det en parentes i telleren, ganger vi bort nevneren først og rydder etterpå: $\displaystyle \frac{x+2}{2}=4$ blir $x+2=8$, så $x=6$. Et nyttig prinsipp er at å dele med et tall er det samme som å gange nevneren med tallet -- derfor er $\displaystyle -3x=\frac{6}{7}$ enkelt: del på $-3$, og $\displaystyle x=-\frac{6}{21}=-\frac{2}{7}$.

Når flere brøker står sammen, ganger vi med fellesnevneren til alle på én gang. I $\displaystyle \frac{2x}{3}+\frac{x}{5}=-2$ er fellesnevneren $15$. Ganger vi gjennom, blir det $5\cdot 2x+3x=-30$, altså $13x=-30$ og $\displaystyle x=-\frac{30}{13}$. Å gange bort alle nevnerne med en gang sparer deg for mye utviding.

Produktregelen: når er en brøk lik null?

En helt spesiell situasjon oppstår når en brøk skal være lik null. Da trenger vi ikke gange bort nevneren i det hele tatt, for en brøk er null nøyaktig når telleren er null. Nevneren spiller ingen rolle her -- bortsett fra at den ikke selv kan være null.

Ta $\displaystyle \frac{x+1}{2}=0$. Vi spør bare: når er telleren null? $x+1=0$ gir $x=-1$, og det er hele løsningen. Dette er produktregelen brukt på brøker: hele brøken får verdien null så snart telleren gjør det.

Knepet blir riktig kraftig når telleren er et andregradsuttrykk. I $\displaystyle \frac{x^2+5x+6}{x-1}=0$ faktoriserer vi telleren: $\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)}{x-1}=0$. Produktregelen sier at et produkt er null når minst én faktor er null, så $x+2=0$ gir $x=-2$ og $x+3=0$ gir $x=-3$. Begge gjør telleren null, så begge er løsninger.

Men pass på nevneren! Den må aldri bli null, for da er brøken udefinert. Her er $x-1=0$ ved $x=1$, men det gir ingen løsning -- tvert imot er $x=1$ en verdi vi må holde utenfor. Sjekk derfor alltid at en løsning ikke gjør nevneren null.

Ingen løsning, alle løsninger, og $x$ i nevneren

Iblant fører regningen til noe rart. Tar vi $\displaystyle \frac{x-3}{3}-\frac{x-2}{3}=0$ og ganger med $3$, får vi $x-3-(x-2)=0$, altså $x-3-x+2=-1=0$. Men $-1$ er aldri lik $0$, uansett hva $x$ er. Da finnes det ingen løsning.

Det motsatte kan også skje. I $\displaystyle \frac{2x+3}{5}=\frac{4x+6}{10}$ ganger vi med $10$ og får $2(2x+3)=4x+6$, altså $4x+6=4x+6$. Dette stemmer for enhver verdi av $x$, så løsningen er alle reelle tall, $x\in\mathbb{R}$. Når variablene forsvinner og det står noe sant igjen, gjelder likningen alltid; står det noe usant, gjelder den aldri.

Den vanskeligste typen har den ukjente i nevneren og et tall på den andre siden. I $\displaystyle \frac{x-3}{2x+4}=-2$ ganger vi begge sider med hele nevneren $(2x+4)$: telleren forenkles til $x-3$, og høyresiden blir $-2(2x+4)=-4x-8$. Da har vi en vanlig likning: $x-3=-4x-8$, som gir $5x=-5$ og $x=-1$. Til slutt sjekker vi at $x=-1$ ikke gjør nevneren null: $2\cdot(-1)+4=2\neq 0$, så svaret er gyldig.

Oppsummering

Rasjonale likninger løser vi som regel ved å gange begge sider med nevneren -- eller med fellesnevneren når flere brøker står sammen -- slik at vi sitter igjen med en vanlig likning. Husk at å dele med et tall er det samme som å gange nevneren med tallet.

Når en brøk skal være lik null, holder det å sette telleren lik null, for det er der hele brøken blir null. Står telleren som et produkt, bruker vi produktregelen og setter hver faktor lik null -- men vi sjekker alltid at løsningen ikke gjør nevneren null. Iblant forsvinner variabelen helt: står det noe usant igjen, finnes ingen løsning; står det noe sant, gjelder likningen for alle reelle tall. Og når den ukjente står i nevneren, ganger vi bort hele nevneren og kontrollregner svaret til slutt. Med disse grepene kan du temme enhver brøklikning du møter i økonomien.