2.4 Ulikheter

Når kravet ikke er et likhetstegn

Du planlegger en produktlansering. Du må selge minst $200$ enheter for å dekke kostnadene, men leverandøren kan levere maks $800$ enheter. Hvor mange skal du bestille? Dette er ikke en likning -- det er en ulikhet. Der en likning krever at to størrelser er nøyaktig like, sier en ulikhet at den ene er større enn, mindre enn eller forskjellig fra den andre. Slik styres nesten alle økonomiske beslutninger: kostnader $\leq$ budsjett, produksjon $\leq$ kapasitet, inntekt $>$ kostnad.

Vi har fire tegn. $A<B$ betyr at $A$ er mindre enn $B$, $A>B$ at $A$ er større, og $A\leq B$ og $A\geq B$ tar med likhet i tillegg. De strenge tegnene $<$ og $>$ inkluderer ikke endepunktet, mens de ikke-strenge $\leq$ og $\geq$ gjør det.

Løsningen på en ulikhet er som regel et helt intervall av tall, ikke ett enkelt svar. Vi skriver det med intervallnotasjon: $x>a$ blir $(a,\infty)$, $x\leq b$ blir $(-\infty,b]$, og $a\leq x<b$ blir $[a,b)$. Hakeparentes betyr at endepunktet er med, rund parentes at det ikke er med. Mot $\pm\infty$ bruker vi alltid rund parentes -- uendelig er ikke et tall vi kan inkludere.

Er koeffisienten foran $x$ positiv, løser vi ulikheten akkurat som en likning. For $3x+9<12$ trekker vi fra $9$ ($3x<3$) og deler på $3$: $x<1$, altså $L=(-\infty,1)$. Og $\displaystyle \frac{2x-2}{3}\geq 4$ gir etter å gange med $3$ at $2x-2\geq 12$, så $2x\geq 14$ og $x\geq 7$, altså $L=[7,\infty)$.

Når tegnet snur

Her kommer den feilen som oftest velter en ellers riktig løsning: når du ganger eller deler en ulikhet med et negativt tall, snur ulikhetstegnet. Hvorfor? Tenk på tallinjen. $2<5$ betyr at $2$ ligger til venstre for $5$. Ganger vi begge med $-1$, bytter de side: $-2$ ligger nå til høyre for $-5$, altså $-2>-5$. Multiplikasjon med et negativt tall speilvender tallene om null, så retningen snur.

Se på $-5x>20$. Vi deler på $-5$ og snur tegnet: $x<-4$, altså $L=(-\infty,-4)$. Vi sjekker med $x=-10$: $-5\cdot(-10)=50>20$, riktig. Også brøker med minus foran krever omtanke: $\displaystyle -\frac{x-2}{5}\geq 3$ ganger vi med $-1$ (tegnet snur) til $\displaystyle \frac{x-2}{5}\leq -3$, så $x-2\leq -15$ og $x\leq -13$. Står variabler på begge sider, samler vi først: $-3x-1>2x+4$ gir $-5x>5$, og divisjon på $-5$ snur tegnet til $x<-1$.

Noen ganger skal en variabel ligge mellom to verdier -- en dobbel ulikhet som $-3\leq 2x+1<7$. Den betyr at $2x+1$ samtidig er $\geq -3$ og $<7$, og vi gjør samme operasjon på alle tre delene. Trekk fra $1$: $-4\leq 2x<6$, og del på $2$: $-2\leq x<3$, altså $L=[-2,3)$. Venstre endepunkt er med (lukket), høyre ikke (streng). Og husk: ganger du en dobbel ulikhet med $-1$, må begge tegn snu samtidig.

Andregradsulikheter og fortegnsskjema

Overskuddet til en bedrift er ofte et andregradsuttrykk, og spørsmålet «for hvilke verdier er overskuddet positivt?» blir da en andregradsulikhet på formen $ax^2+bx+c>0$. Da kan vi ikke bare flytte ledd -- vi faktoriserer og bruker et fortegnsskjema. Oppskriften er: flytt alt til én side, faktoriser til $a(x-x_1)(x-x_2)$, sett opp én linje per faktor, og les av produktraden.

Ta $x^2-3x-10>0$. Vi søker to tall med sum $-3$ og produkt $-10$ -- det er $-5$ og $2$, så $x^2-3x-10=(x+2)(x-5)$ med nullpunkter $x=-2$ og $x=5$. Vi vil ha produktet positivt, og fortegnsskjemaet viser at produktraden er $+$ utenfor nullpunktene. Løsningen blir derfor to intervaller: $L=(-\infty,-2)\cup(5,\infty)$, der $\cup$ betyr «eller».

Tilbake til bedriften med overskuddsfunksjonen $O(x)=-x^2+30x-200$, der $x$ er antall solgte enheter i tusen. Vi løser $-x^2+30x-200>0$. Først ganger vi med $-1$ og snur tegnet: $x^2-30x+200<0$. To tall med sum $30$ og produkt $200$ er $10$ og $20$, så $(x-10)(x-20)<0$. Nå vil vi ha produktet negativt, noe det bare er mellom nullpunktene: $10<x<20$. Bedriften går altså med overskudd når salget er mellom $10\,000$ og $20\,000$ enheter; break-even ligger ved $x=10$ og $x=20$, og maksimalt overskudd midt imellom, ved $x=15$.

Et siste varsel for rasjonale ulikheter, der $x$ står i nevneren. Det er fristende å løse $\displaystyle \frac{1}{x}>0$ ved å gange med $x$ og få $1>0$ -- men det er feil, for $x$ kan være negativ. Aldri gang med et uttrykk som inneholder den ukjente. Bruk fortegnsskjema i stedet: $\displaystyle \frac{1}{x}$ er negativ når $x<0$, udefinert ved $x=0$ (et hull), og positiv når $x>0$. For $\displaystyle \frac{x-1}{x+3}\geq 0$ er teller null ved $x=1$ og nevner null (udefinert) ved $x=-3$; løsningen blir $L=(-\infty,-3)\cup[1,\infty)$, der $x=-3$ får rund parentes og $x=1$ hakeparentes.

Oppsummering

En ulikhet beskriver at en størrelse er større, mindre eller ulik en annen, og løsningen er gjerne et helt intervall. Vi skriver det med intervallnotasjon, der hakeparentes tar med endepunktet og rund parentes ikke gjør det -- og mot $\pm\infty$ alltid rund parentes. Med positiv koeffisient løser vi ulikheten som en likning.

Den gylne regelen er at tegnet snur når vi ganger eller deler med et negativt tall, slik at $-5x>20$ gir $x<-4$. Doble ulikheter som $-3\leq 2x+1<7$ behandles på alle tre deler samtidig. Og når uttrykket er av andre grad eller har $x$ i nevneren, faktoriserer vi og leser av et fortegnsskjema -- aldri gang en rasjonal ulikhet med den ukjente. Slik fant vi at bedriften med $O(x)=-x^2+30x-200$ går med overskudd når salget ligger mellom $10\,000$ og $20\,000$ enheter. Ulikheter er språket for budsjettgrenser, kapasitet og lønnsomhetsområder.