9.2 Determinanter og invers matrise

Determinant for 2× 2 og 3× 3 (Sarrus, kofaktorutvikling), invers matrise og invertibilitet.

55 min

16 oppgaver

DeterminantSarrus-regelKofaktorInvers matriseInvertibilitet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.1Matriser og matriseregning

Brukes videre i

9.3Lineære likningssystem og Gauss-eliminasjon

En determinant er et tall som vi kan regne ut fra en kvadratisk matrise. Determinanten forteller oss mye om matrisen — blant annet om den er invertibel (om det finnes en «inversmatrise» $A^{-1}$ ), og om det tilhørende likningssystemet har en entydig løsning.

Den inverse matrisen $A^{-1}$ er motstykket til divisjon: i vanlig regning kan vi løse $ax = b$ ved å dele med $a$ (når $a \neq 0$ ). For matriser løser vi $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ved å multiplisere med $A^{-1}$ — når $A^{-1}$ finnes.

Determinant av en

2 \times 2

-matrise

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

Notasjon: Vi skriver determinanten både som

\det(A)

og som

\left|A\right|

. Inne i absoluttverdistreker bytter vi gjerne ut parenteser:

$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

✏️Eksempel 1: Determinant av

2 \times 2

Regn ut determinanten til

a) $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

b) $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

c) $C = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}$

\det(A) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 1 = 12 - 2 = 10

b) $\det(B) = 5 \cdot 12 - 6 \cdot 10 = 60 - 60 = 0$

c) $\det(C) = (-1)(-5) - 3 \cdot 2 = 5 - 6 = -1$

I eksempel 1b er $\det(B) = 0$ . Dette betyr at matrisen $B$ ikke er invertibel — kolonnene (og radene) er proporsjonale: andre rad er nøyaktig 2 ganger første rad.

📝Oppgave 1

Regn ut determinanten.

\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 6 & -8 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}

Løs oppgaven

Determinanten til en $3 \times 3$ -matrise

Det finnes flere måter å regne $3 \times 3$ -determinant på. Vi gjennomgår to:

1. Sarrus' regel — en kort og praktisk metode som kun virker for $3 \times 3$ .
2. Kofaktorutvikling — en mer generell metode som også fungerer for større matriser.

Sarrus' regel for

3 \times 3

-determinanter

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

Praktisk huskeregel for Sarrus: Skriv de to første kolonnene én gang til på høyre side av matrisen. Plusser de tre diagonalene som går \\ nedover og minus de tre som går / oppover.

$\begin{array}{|ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array}$

Pluss-diagonaler: $a_{11}a_{22}a_{33}$ , $a_{12}a_{23}a_{31}$ , $a_{13}a_{21}a_{32}$ .

Minus-diagonaler: $a_{13}a_{22}a_{31}$ , $a_{11}a_{23}a_{32}$ , $a_{12}a_{21}a_{33}$ .

✏️Eksempel 2:

3 \times 3

med Sarrus

Regn ut

\det(A)

når

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

Pluss-diagonaler:
-

1 \cdot 4 \cdot 6 = 24

2 \cdot 5 \cdot 1 = 10

3 \cdot 0 \cdot 0 = 0

Minus-diagonaler:
- $3 \cdot 4 \cdot 1 = 12$
- $1 \cdot 5 \cdot 0 = 0$
- $2 \cdot 0 \cdot 6 = 0$

$\det(A) = (24 + 10 + 0) - (12 + 0 + 0) = 34 - 12 = 22$

Kofaktorutvikling langs første rad

3 \times 3

✏️Eksempel 3:

3 \times 3

med kofaktorutvikling

Regn ut

\det(A)

ved kofaktorutvikling langs første rad:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

\det(A) = 2 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + (-1)\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix}

$= 2(3 \cdot 2 - 4 \cdot 0) - 1(0 \cdot 2 - 4 \cdot 5) + (-1)(0 \cdot 0 - 3 \cdot 5)$

$= 2 \cdot 6 - 1 \cdot (-20) + (-1)(-15) = 12 + 20 + 15 = 47$

Tips: Du kan utvikle langs hvilken som helst rad eller kolonne — velg den med flest nuller, så slipper du å regne ut små minorer som likevel ganges med 0. Fortegnsmønsteret er:

$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$

📝Oppgave 2

Regn ut determinanten ved å bruke Sarrus' regel eller kofaktorutvikling.

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 5 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 1 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}

Løs oppgaven

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Egenskaper ved determinanter

Determinanten har flere nyttige egenskaper som vi kan bruke til å regne raskere.

📜Egenskaper ved determinanter

For kvadratiske matriser $A, B$ av samme størrelse:

1. $\det(I) = 1$
2. $\det\left(A^T\right) = \det(A)$
3. $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$
4. $\det(kA) = k^n \det(A)$ for en $n \times n$ -matrise og skalar $k$
5. $\displaystyle \det\left(A^{-1}\right) = \frac{1}{\det(A)}$ (når $A^{-1}$ finnes)
6. Hvis to rader (eller kolonner) er like, er $\det(A) = 0$
7. Hvis en hel rad eller kolonne er null, er $\det(A) = 0$
8. For en triangulær (øvre eller nedre) matrise: $\det(A)$ = produktet av diagonalelementene

✏️Eksempel 4: Bruk av egenskaper

La $\det(A) = 5$ og $\det(B) = -2$ , der $A$ og $B$ er $3 \times 3$ -matriser. Regn ut:

a) $\det(AB)$

b) $\det(2A)$

c) $\det\left(A^{-1}\right)$

\det(AB) = \det(A) \det(B) = 5 \cdot (-2) = -10

b) Siden $A$ er $3 \times 3$ , gjelder $\det(2A) = 2^3 \det(A) = 8 \cdot 5 = 40$

c) $\displaystyle \det\left(A^{-1}\right) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{5}$

Invers matrise

For et tall $a \neq 0$ vet vi at det finnes et tall $\displaystyle \frac{1}{a}$ slik at $\displaystyle a \cdot \frac{1}{a} = 1$ . Vi gjør det samme for matriser.

Invers matrise

A

📜Når er

A

invertibel?

En kvadratisk matrise $A$ er invertibel hvis og bare hvis $\det(A) \neq 0$ .

- Hvis $\det(A) = 0$ , kalles $A$ singulær og $A^{-1}$ finnes ikke.
- Hvis $\det(A) \neq 0$ , kalles $A$ ikke-singulær og $A^{-1}$ finnes og er entydig.

📜Invers av

2 \times 2

-matrise

For

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \text{med } \det(A) = ad - bc \neq 0,$

så er

$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

Husk: bytt $a$ og $d$ , bytt fortegn på $b$ og $c$ , og del på determinanten.

✏️Eksempel 5: Invers av

2 \times 2

Finn

A^{-1}

når

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

Verifiser at $AA^{-1} = I_2$ .

Determinant:

\det(A) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 1 = 10

Siden $\det(A) \neq 0$ , finnes $A^{-1}$ :

$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4 & -0{,}2 \\ -0{,}1 & 0{,}3 \end{pmatrix}$

Kontroll:

$AA^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 12 - 2 & -6 + 6 \\ 4 - 4 & -2 + 12 \end{pmatrix} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} = I_2 \checkmark$

✏️Eksempel 6: Matrise uten invers

Vis at

$B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$

ikke har en invers.

\det(B) = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 12 - 12 = 0

Siden $\det(B) = 0$ , er $B$ singulær og $B^{-1}$ finnes ikke.

Legg merke til at andre rad er $1{,}5 \cdot$ første rad — radene er proporsjonale, og matrisen «inneholder ikke nok informasjon» til å være invertibel.

📝Oppgave 3

Avgjør om matrisen er invertibel. Hvis ja, finn $A^{-1}$ .

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 10 & 4 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Å løse likningssystem med invers matrise

Den viktigste anvendelsen av invers matrise er å løse likningssett. Hvis vi har systemet $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ og $A$ er invertibel, kan vi multiplisere på begge sider med $A^{-1}$ :

$A^{-1}A\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$

$I \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$

✏️Eksempel 7: Løse likningssett via invers

Løs likningssystemet ved hjelp av invers matrise:

$\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x + 4y = 12 \end{cases}$

Vi skriver systemet på matriseform

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

med

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 16 \\ 12 \end{pmatrix}$

Fra eksempel 5 har vi $\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ .

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 16 \\ 12 \end{pmatrix} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 64 - 24 \\ -16 + 36 \end{pmatrix} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 40 \\ 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

Løsning: $x = 4$ og $y = 2$ .

Kontroll: $3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 12 + 4 = 16$ ✓ og $4 + 4 \cdot 2 = 12$ ✓.

📝Oppgave 4

Løs likningssettet ved hjelp av invers matrise.

\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x + 3y = 9 \end{cases}

\begin{cases} 4x - y = 7 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}

\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 5y = 13 \end{cases}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Kort om invers av $3 \times 3$ -matriser

For $3 \times 3$ - og større matriser blir formelen mer omfattende. Den vanligste metoden er Gauss-Jordan-eliminasjon: man skriver $[A \,|\, I]$ ved siden av hverandre og bruker radoperasjoner til venstre side blir $I$ . Da står $A^{-1}$ på høyre side.

Vi viser ideen med ett eksempel. (En mer fullstendig gjennomgang av Gauss-eliminasjon kommer i kapittel 9.3.)

✏️Eksempel 8: Invers av

3 \times 3

(Gauss-Jordan)

Finn

A^{-1}

når

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Vi setter opp

[A \,|\, I]

$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

For å få $0$ i posisjon $(1,3)$ tar vi rad 1 minus 2 ganger rad 3:

$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

Venstresiden er nå $I$ , så

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Kontroller: $A \cdot A^{-1} = I_3$ ✓.

I praksis: For større systemer bruker vi datamaskiner (Excel, Python, R, GeoGebra, kalkulator). Det viktige er at du kan tolke resultatet, og at du forstår når en invers finnes — nemlig når

\det(A) \neq 0

📝Oppgave 5

Regn ut $\det(A)$ for $3 \times 3$ -matrisene. Er $A$ invertibel?

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Løs oppgaven

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Anvendelse i økonomi

Den inverse matrisen brukes blant annet til å:

- Løse likningssystem for likevektspriser, optimal produksjon eller portefølje-allokering.
- Snu en Leontief input-output-modell for å finne hvor mye totalproduksjon som trengs for en gitt sluttetterspørsel (mer i kapittel 9.4).
- Sjekke om en lineær modell er konsistent — null determinant indikerer at noe må endres.

✏️Eksempel 9: Markedslikevekt

Etterspørselen (

Q_D

) og tilbudet (

Q_S

) etter et produkt avhenger av prisen

p

på produktet og prisen

q

på et substitutt:

$Q_D = 100 - 2p + q$
$Q_S = -20 + 3p$

Med et tilsvarende sett av likninger for substituttet ender vi (etter forenkling) opp med likningssettet

$\begin{cases} 5p - q = 120 \\ -p + 3q = 40 \end{cases}$

Finn likevektsprisene $p$ og $q$ ved å bruke invers matrise.

Skriv som

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

med

$A = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 120 \\ 40 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 15 - 1 = 14$

$A^{-1} = \frac{1}{14}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} = \frac{1}{14}\begin{pmatrix} 360 + 40 \\ 120 + 200 \end{pmatrix} = \frac{1}{14}\begin{pmatrix} 400 \\ 320 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 28{,}57 \\ 22{,}86 \end{pmatrix}$

Likevektsprisen for produktet er $p \approx 28{,}57$ og for substituttet $q \approx 22{,}86$ kr.

📝Oppgave 6

En produsent har to fabrikker som produserer to varer. Etter en kort analyse skal mengdene

x_1

(fabrikk 1) og

x_2

(fabrikk 2) tilfredsstille:

$\begin{cases} 4x_1 + 3x_2 = 200 \\ 2x_1 + 5x_2 = 200 \end{cases}$

Sett opp $A$ og $\mathbf{b}$ .

Regn ut $\det(A)$ .

Finn $A^{-1}$ .

Løs likningssettet.

Løs oppgaven

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Determinanter og invers

Begrep	Formel / Tolkning
Det. $2 \times 2$	$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
Det. $3 \times 3$	Sarrus eller kofaktorutvikling
Triangulær	Produkt av diagonalen
$\det(A^T)$	$= \det(A)$
$\det(AB)$	$= \det(A)\det(B)$
$\det(kA)$	$= k^n \det(A)$ for $n \times n$
Invertibel?	$A^{-1}$ finnes $\Leftrightarrow$ $\det(A) \neq 0$
$A^{-1}$ for $2 \times 2$	$\displaystyle \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
Løs $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$	$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ (når $A^{-1}$ finnes)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Determinant: Et tall regnet ut fra en kvadratisk matrise.
- 2x2 og 3x3: $\det = ad - bc$ for 2x2; Sarrus' regel eller kofaktorutvikling for 3x3.
- Invertibilitet: En matrise er invertibel hvis og bare hvis determinanten ikke er null.
- Invers matrise: Brukes til å løse likningssystem $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ .

Viktige formler

\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Determinant	Tall fra en kvadratisk matrise
Sarrus' regel	Determinant av 3x3-matrise
Invertibel	$\det(A) \neq 0$
Singulær	$\det(A) = 0$ , ingen invers

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

Determinanten til en 3×33 \times 33×3-matrise

Egenskaper ved determinanter

Invers matrise

Å løse likningssystem med invers matrise

Kort om invers av 3×33 \times 33×3-matriser

Anvendelse i økonomi

Oppsummering

Viktige formler

Nøkkelbegreper

Determinanten til en $3 \times 3$ -matrise

Kort om invers av $3 \times 3$ -matriser