9.1 Matriser og matriseregning | Matematikk for økonomer

Matriser, transponering, addisjon, skalarmultiplikasjon og matrise-multiplikasjon.

60 min

18 oppgaver

MatriseTransponeringIdentitetsmatriseMatrise-multiplikasjonSalgsmatrise

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

9.2Determinanter og invers matrise

I økonomi og statistikk møter vi ofte store mengder tall organisert i tabeller — for eksempel salgstall for flere produkter over flere måneder, eller priser fra ulike leverandører. Matriser er den matematiske måten å håndtere slike tabeller på.

En matrise er rett og slett et rektangulært oppsett med tall, og vi har egne regneregler for å addere, subtrahere og multiplisere matriser. Matriseregning er fundamentet i moderne kvantitative metoder — fra produksjonsanalyse til porteføljeoptimering.

Matrise

A

✏️Eksempel 1: Identifisere dimensjon og elementer

Gitt matrisen

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

a) Hva er dimensjonen til $A$ ?

b) Hva er $a_{12}$ , $a_{21}$ og $a_{23}$ ?

a) Matrisen har 2 rader og 3 kolonner, så dimensjonen er

2 \times 3

b)
- $a_{12}$ er elementet i rad 1, kolonne 2: $a_{12} = -1$
- $a_{21}$ er elementet i rad 2, kolonne 1: $a_{21} = 0$
- $a_{23}$ er elementet i rad 2, kolonne 3: $a_{23} = 4$

📝Oppgave 1

Gitt matrisene

$A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}$

Hva er dimensjonen til $A$ ?

Hva er dimensjonen til $B$ ?

Hva er $a_{32}$ ?

Hva er $b_{14}$ ?

Hva er $b_{23}$ ?

Løs oppgaven Tren

Spesielle matriser

m = n

Hvorfor matriser i økonomi?

Tenk deg at en butikk selger tre produkter i to butikker. Vi kan organisere salgstallene slik:

$S = \begin{pmatrix} 120 & 80 & 50 \\ 90 & 110 & 70 \end{pmatrix}$

Her er $s_{ij}$ antall solgte enheter av produkt $j$ i butikk $i$ . Matriser lar oss regne med slike tabeller på samme måte som vi regner med tall — vi kan summere salg over måneder, beregne totalinntekt, sammenligne med fjoråret, og mye mer.

Transponering

A^T

✏️Eksempel 2: Transponering

Finn

A^T

når

$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

Vi gjør rader om til kolonner og omvendt.

A

2 \times 3

, så

A^T

blir

3 \times 2

$A^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$

Legg merke til at den første raden i $A$ , $(2,5,-1)$ , blir første kolonne i $A^T$ .

📜Egenskaper ved transponering

For matriser

A

B

med passende dimensjoner og skalar

k

$\left(A^T\right)^T = A$

$\left(A + B\right)^T = A^T + B^T$

$\left(kA\right)^T = k A^T$

$\left(AB\right)^T = B^T A^T$

(Merk at rekkefølgen snur i siste regel!)

📝Oppgave 2

Finn den transponerte matrisen.

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 7 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix}

Addisjon og subtraksjon av matriser

To matriser kan adderes (eller subtraheres) bare hvis de har samme dimensjon. Vi adderer komponent for komponent.

📜Matriseaddisjon

For

m \times n

-matriser

A

B

$\left(A + B\right)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

Resultatet er en $m \times n$ -matrise.

✏️Eksempel 3: Addisjon av matriser

Butikken Eik AS har solgt sko og vesker i to byer i januar og februar. Salgsmatrisene er:

$\text{Januar:} \quad J = \begin{pmatrix} 120 & 60 \\ 90 & 40 \end{pmatrix}, \quad \text{Februar:} \quad F = \begin{pmatrix} 100 & 80 \\ 110 & 50 \end{pmatrix}$

Radene er Oslo og Bergen, kolonnene er sko og vesker. Finn totalt salg for de to månedene.

Vi adderer komponent for komponent:

$J + F = \begin{pmatrix} 120+100 & 60+80 \\ 90+110 & 40+50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 220 & 140 \\ 200 & 90 \end{pmatrix}$

Oslo har solgt 220 sko og 140 vesker, Bergen har solgt 200 sko og 90 vesker i januar og februar til sammen.

Pass på dimensjonen!

Hvis $A$ er $2 \times 3$ og $B$ er $3 \times 2$ , er $A + B$ ikke definert. Du kan kun addere matriser med eksakt samme dimensjon.

📝Oppgave 3

Regn ut.

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}

Er $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 & 7 \end{pmatrix}$ definert?

Skalar-multiplikasjon

Vi kan multiplisere en matrise med et tall (en skalar) ved å multiplisere alle elementene med tallet.

📜Skalar-multiplikasjon

For en matrise

A

og en skalar

k

$\left(kA\right)_{ij} = k \cdot a_{ij}$

✏️Eksempel 4: Skalar-multiplikasjon

En produsent dobler produksjonen. Den nye produksjonsmatrisen er

2P

, der

$P = \begin{pmatrix} 30 & 50 \\ 20 & 40 \end{pmatrix}$

Finn $2P$ , og finn også $\displaystyle \frac{1}{2}P$ (halv produksjon).

2P = \begin{pmatrix} 2 \cdot 30 & 2 \cdot 50 \\ 2 \cdot 20 & 2 \cdot 40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 & 100 \\ 40 & 80 \end{pmatrix}

$\frac{1}{2}P = \begin{pmatrix} 15 & 25 \\ 10 & 20 \end{pmatrix}$

📝Oppgave 4

La $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ og $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ . Regn ut:

3A

-2B

2A + B

A - 3B

Matrise-multiplikasjon

Dette er den viktigste — og litt mer komplekse — regnemåten med matriser. Matrise-multiplikasjon er bygd opp slik at den modellerer sammensetning av lineære avbildninger, og den dukker opp overalt fra økonomi til datamaskin-grafikk.

Matrise-multiplikasjon

AB

Huskeregel:

\underbrace{(m \times p)}_{A} \cdot \underbrace{(p \times n)}_{B} = \underbrace{(m \times n)}_{AB}

De «indre» tallene må være like ( $p = p$ ), de «ytre» tallene bestemmer dimensjonen til produktet.

✏️Eksempel 5: Multiplikasjon av $2 \times 2$-matriser

Regn ut

AB

når

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

Begge matrisene er

2 \times 2

, så produktet

AB

blir

2 \times 2

Vi finner hvert element ved å ta skalarprodukt av rad i $A$ med kolonne i $B$ :

$\left(AB\right)_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19$

$\left(AB\right)_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 6 + 16 = 22$

$\left(AB\right)_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 15 + 28 = 43$

$\left(AB\right)_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 18 + 32 = 50$

$AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

✏️Eksempel 6: Salg ganger pris

En butikk har solgt produkter i to filialer:

$S = \begin{pmatrix} 30 & 20 & 10 \\ 40 & 15 & 25 \end{pmatrix} \quad \text{(rader: Oslo, Bergen; kolonner: A, B, C)}$

Prisene er:

$P = \begin{pmatrix} 100 \\ 150 \\ 200 \end{pmatrix}$

Finn $SP$ , og tolk resultatet.

S

2 \times 3

P

3 \times 1

. Produktet

SP

blir

2 \times 1

$SP = \begin{pmatrix} 30 \cdot 100 + 20 \cdot 150 + 10 \cdot 200 \\ 40 \cdot 100 + 15 \cdot 150 + 25 \cdot 200 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3000 + 3000 + 2000 \\ 4000 + 2250 + 5000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8000 \\ 11\,250 \end{pmatrix}$

Tolkning: Oslo har en samlet omsetning på 8 000 kr, og Bergen har en samlet omsetning på 11 250 kr.

✏️Eksempel 7: Når dimensjonene ikke passer

La $A$ være $2 \times 3$ og $B$ være $2 \times 2$ . Er $AB$ definert? Er $BA$ definert?

$AB$ :

A

har 3 kolonner og

B

har 2 rader.

3 \neq 2

, så $AB$ er ikke definert.

$BA$ : $B$ har 2 kolonner og $A$ har 2 rader. $2 = 2$ , så $BA$ er definert og blir en $2 \times 3$ -matrise.

📝Oppgave 5

Regn ut $AB$ .

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Egenskaper ved matrise-multiplikasjon

Matrise-multiplikasjon er assosiativ og distributiv, men ikke kommutativ generelt — det betyr at $AB \neq BA$ vanligvis.

📜Regneregler for matrise-multiplikasjon

For matriser $A$ , $B$ , $C$ med passende dimensjoner og skalar $k$ :

1. Assosiativ: $\left(AB\right)C = A\left(BC\right)$
2. Distributiv: $A\left(B + C\right) = AB + AC$ og $\left(A+B\right)C = AC + BC$
3. Skalar: $k\left(AB\right) = \left(kA\right)B = A\left(kB\right)$
4. Identitet: $I_n A = A I_n = A$ når $A$ er $n \times n$
5. Generelt: $AB \neq BA$ (matrise-multiplikasjon er ikke kommutativ)

✏️Eksempel 8: $AB \neq BA$

Vis at

AB \neq BA

for

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}

$BA = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$

Vi ser at $AB \neq BA$ . Rekkefølgen er avgjørende!

Pass på rekkefølgen!

Når du multipliserer matriser, må du være nøye med rekkefølgen. $AB$ og $BA$ er vanligvis forskjellige, og noen ganger er bare den ene definert.

✏️Eksempel 9: Identitetsmatrisen

Vis at

I_2 A = A

for

$A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

I_2 A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 0 \cdot (-1) & 1 \cdot 5 + 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 5 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = A

Identitetsmatrisen virker som «1» i matriseverdenen.

📝Oppgave 6

La $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ og $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ .

Regn ut $AB$ .

Regn ut $BA$ .

Er $AB = BA$ ?

Regn ut $A I_2$ .

Anvendelser i økonomi

Matrise-multiplikasjon brukes mye i økonomi. Noen typiske eksempler:

- Produksjons-kostnad: En produksjonsmatrise ganges med en pris-/kostnadsmatrise.
- Lønnskostnader: Antall timer per ansatt per oppgave, ganger timekostnad.
- Markedsandeler: Overganger mellom markedsandeler over tid modelleres som $\mathbf{x}_{t+1} = M \mathbf{x}_t$ .
- Porteføljevekt × avkastning for å regne porteføljeavkastning.

✏️Eksempel 10: Produksjon og kostnader

En bedrift produserer to varer (V1 og V2). Per enhet bruker den arbeid, materialer og strøm:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{(rader: arbeid, materialer, strøm; kolonner: V1, V2)}$

Kostnaden per enhet av hver innsatsfaktor er:

$\mathbf{k} = \begin{pmatrix} 200 & 100 & 50 \end{pmatrix} \quad \text{(arbeid, materialer, strøm)}$

Finn kostnaden per enhet av V1 og V2.

Vi regner

\mathbf{k} A

(en

1 \times 3

ganger

3 \times 2

, gir

1 \times 2

$\mathbf{k} A = \begin{pmatrix} 200 & 100 & 50 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 200 \cdot 2 + 100 \cdot 4 + 50 \cdot 1 & 200 \cdot 3 + 100 \cdot 1 + 50 \cdot 2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 400 + 400 + 50 & 600 + 100 + 100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 850 & 800 \end{pmatrix}$

V1 koster 850 kr per enhet å produsere, og V2 koster 800 kr per enhet.

📝Oppgave 7

En bilforhandler selger små biler (S), mellomstore (M) og store biler (L) i to filialer:

$Q = \begin{pmatrix} 12 & 18 & 6 \\ 8 & 15 & 10 \end{pmatrix} \quad \text{(rad 1: Oslo, rad 2: Trondheim)}$

Prisene i tusen kroner er:

$\mathbf{p} = \begin{pmatrix} 200 \\ 350 \\ 600 \end{pmatrix}$

Hva er dimensjonen til $Q\mathbf{p}$ ?

Regn ut $Q\mathbf{p}$ og tolk svaret.

Anta at prisene øker med 5 % neste år. Hvilken matrise-operasjon gir den nye omsetningen?

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 8

La $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ og $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Regn ut $A(B + C)$ .

Regn ut $AB + AC$ og kontroller at det er likt svaret i a).

Regn ut $(AB)^T$ og $B^T A^T$ . Bekreft at de er like.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Matriser

Operasjon	Krav	Resultat
Addisjon $A + B$	Samme dimensjon	Element for element
Subtraksjon $A - B$	Samme dimensjon	Element for element
Skalar $kA$	—	Multipliser alt med $k$
Transp. $A^T$	—	Bytt rader og kolonner
Produkt $AB$	Kolonner i $A$ = rader i $B$	$(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$
Identitet	$A$ kvadratisk	$I A = A I = A$

Viktige regler:
- Assosiativ:

(AB)C = A(BC)

- Distributiv:

A(B+C) = AB + AC

- IKKE kommutativ:

AB \neq BA

generelt
-

(AB)^T = B^T A^T

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Matrise: Et rektangulært oppsett av tall i rader og kolonner.
- Transponert matrise: Bytter om rader og kolonner.
- Addisjon og skalarmultiplikasjon: Utføres komponent for komponent.
- Matrisemultiplikasjon: Definert når antall kolonner i $A$ er lik antall rader i $B$ ; ikke kommutativ.

Viktige formler

(m \times p) \cdot (p \times n) = (m \times n), \qquad AB \neq BA

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Matrise	Tabell av tall i rader og kolonner
Transponert	$A^T$ , rader og kolonner byttet
Skalar	Et enkelt tall
Matrisemultiplikasjon	Indre dimensjoner må stemme

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.