9.1 Matriser og matriseregning

Når tabellen blir et tall-objekt

Tenk deg at du driver en kjede med to butikker, i Oslo og Bergen, og selger sko og vesker. Salgstallene for januar setter du naturlig opp i en tabell: én rad per by, én kolonne per vare. Dette oppsettet -- et rektangel av tall ordnet i rader og kolonner -- er nettopp det matematikerne kaller en matrise.

En matrise $A$ skriver vi gjerne med en stor bokstav, og hvert tall inni kaller vi et element. Elementet i rad $i$ og kolonne $j$ skrives $a_{ij}$, der raden alltid nevnes først. Dimensjonen til matrisen er $m \times n$, der $m$ er antall rader og $n$ antall kolonner. Matrisen $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ har to rader og tre kolonner, altså dimensjon $2 \times 3$. Her er $a_{12} = -1$ (rad 1, kolonne 2), $a_{21} = 0$ og $a_{23} = 4$.

Noen former dukker opp så ofte at de har egne navn. En kvadratisk matrise har like mange rader som kolonner. En radmatrise har bare én rad, en kolonnematrise bare én kolonne. Identitetsmatrisen $I_n$ er kvadratisk med 1 på diagonalen og 0 ellers -- den blir matriseverdenens «1», som vi snart skal se. Det fine er at vi kan regne med slike tabeller nesten som med tall, og det åpner for alt fra produksjonsanalyse til porteføljemodeller.

Å snu matrisen på siden -- transponering

Før vi begynner å legge sammen og gange, trenger vi ett enkelt, men kraftig grep: transponering. Å transponere en matrise betyr å bytte om rader og kolonner. Den transponerte til $A$ skriver vi $A^T$, og regelen er at element $(i,j)$ i $A^T$ er det samme som element $(j,i)$ i $A$ -- altså $(A^T)_{ij} = a_{ji}$. Hvis $A$ har dimensjon $m \times n$, blir $A^T$ av dimensjon $n \times m$.

La oss prøve med $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}$. Denne er $2 \times 3$, så $A^T$ blir $3 \times 2$. Vi tar den første raden $(2, 5, -1)$ og lar den bli første kolonne, og den andre raden $(3, 0, 4)$ blir andre kolonne:

$$A^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$$

Transponering har noen egenskaper du får bruk for igjen og igjen. Å transponere to ganger fører deg tilbake til start: $(A^T)^T = A$. Transponering fordeler seg pent over addisjon, $(A + B)^T = A^T + B^T$, og over skalering, $(kA)^T = kA^T$. Den mest overraskende regelen gjelder produkter: $(AB)^T = B^T A^T$ -- legg merke til at rekkefølgen snur! Vi kommer tilbake til hvorfor når vi har møtt matrise-multiplikasjon.

Legge sammen og skalere

Nå som tabellene er på plass, kan vi begynne å regne. Tilbake til butikkjeden: i januar solgte du $J = \begin{pmatrix} 120 & 60 \\ 90 & 40 \end{pmatrix}$ (rader Oslo og Bergen, kolonner sko og vesker), og i februar $F = \begin{pmatrix} 100 & 80 \\ 110 & 50 \end{pmatrix}$. Det totale salget over de to månedene finner du ved å addere matrisene element for element:

$$J + F = \begin{pmatrix} 120+100 & 60+80 \\ 90+110 & 40+50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 220 & 140 \\ 200 & 90 \end{pmatrix}$$

Oslo solgte altså 220 sko og 140 vesker til sammen. Subtraksjon fungerer på akkurat samme måte. Men her gjelder en streng regel: du kan bare addere eller subtrahere matriser som har nøyaktig samme dimensjon. Forsøker du å legge sammen en $2 \times 2$ og en $1 \times 3$, er operasjonen rett og slett ikke definert.

Vi kan også skalere en matrise, det vil si gange den med et enkelt tall -- en skalar. Da ganger vi hvert eneste element med tallet. Dobler en produsent produksjonen sin $P = \begin{pmatrix} 30 & 50 \\ 20 & 40 \end{pmatrix}$, blir det $2P = \begin{pmatrix} 60 & 100 \\ 40 & 80 \end{pmatrix}$, mens halv produksjon blir $\tfrac{1}{2}P = \begin{pmatrix} 15 & 25 \\ 10 & 20 \end{pmatrix}$. Addisjon og skalering kombineres fritt: $2A - 3B$ regner vi ved å skalere først og så trekke fra, element for element.

Matrise-multiplikasjon -- salg ganger pris

Den viktigste og mest egensindige regnemåten er matrise-multiplikasjon. Her gjelder en streng dimensjonsregel: produktet $AB$ er bare definert når antall kolonner i $A$ er lik antall rader i $B$. Hvis $A$ er $m \times p$ og $B$ er $p \times n$, blir $AB$ av dimensjon $m \times n$ -- de «indre» tallene må matche, de «ytre» bestemmer resultatet. Element $(i,j)$ i produktet er skalarproduktet av rad $i$ i $A$ og kolonne $j$ i $B$, altså $\sum_k a_{ik} b_{kj}$.

La oss se det i praksis. Med $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ og $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ får vi $(AB)_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$, $(AB)_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$, $(AB)_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$ og $(AB)_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$, så $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$. Den økonomiske kraften kommer fram når vi ganger salg med pris: solgte enheter $S = \begin{pmatrix} 30 & 20 & 10 \\ 40 & 15 & 25 \end{pmatrix}$ (rader Oslo, Bergen) ganget med priser $P = \begin{pmatrix} 100 \\ 150 \\ 200 \end{pmatrix}$ gir $SP = \begin{pmatrix} 8000 \\ 11\,250 \end{pmatrix}$ -- omsetningen per by.

Du må passe på rekkefølgen, for matrise-multiplikasjon er ikke kommutativ: vanligvis er $AB \neq BA$, og iblant er bare den ene definert. Den er derimot assosiativ, $(AB)C = A(BC)$, og distributiv, $A(B+C) = AB + AC$. Identitetsmatrisen oppfører seg som tallet 1: $IA = AI = A$. Og nå ser vi hvorfor $(AB)^T = B^T A^T$ snur rekkefølgen -- det er den eneste måten dimensjonene fortsatt passer på.

Oppsummering

En matrise er en tabell av tall ordnet i rader og kolonner, med dimensjon $m \times n$ og elementer $a_{ij}$. Ved å transponere bytter vi rader og kolonner, og får $A^T$ med egenskaper som $(A^T)^T = A$ og den snedige $(AB)^T = B^T A^T$.

Vi kan addere og subtrahere matriser av samme dimensjon element for element, og skalere dem ved å gange hvert element med et tall. Den mektigste operasjonen er matrise-multiplikasjonen: $AB$ er definert når kolonner i $A$ er lik rader i $B$, og element $(i,j)$ er skalarproduktet av rad $i$ og kolonne $j$. Den modellerer blant annet salg ganger pris, er assosiativ og distributiv, men -- viktig å huske -- generelt ikke kommutativ, så $AB \neq BA$. Med disse byggesteinene på plass er vi klare for determinanter og inverse matriser i neste kapittel.