9.2 Determinanter og invers matrise

Tallet som avgjør alt

I vanlig regning kan vi løse likningen $ax = b$ ved å dele med $a$ -- men bare når $a \neq 0$. For matriser løser vi systemet $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ved å gange med en invers matrise $A^{-1}$, og spørsmålet blir da: finnes det en slik invers? Svaret ligger gjemt i ett eneste tall vi kan regne ut fra matrisen -- determinanten.

For en $2 \times 2$-matrise $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ er determinanten definert som $\det(A) = ad - bc$. Vi skriver den både som $\det(A)$ og med loddrette streker, $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$. La oss regne noen: $\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 3\cdot 4 - 2\cdot 1 = 10$, mens $\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 10 & 12 \end{vmatrix} = 60 - 60 = 0$ og $\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} = 5 - 6 = -1$.

Legg merke til den i midten: determinanten ble $0$. Det er ikke tilfeldig -- her er andre rad nøyaktig 2 ganger første rad, radene er proporsjonale. Som vi skal se, er en nulldeterminant det røde flagget som forteller at matrisen ikke kan inverteres.

Større matriser: Sarrus, kofaktorer og smarte snarveier

For en $3 \times 3$-matrise trenger vi mer enn $ad - bc$. Sarrus' regel er en praktisk metode: vi summerer de tre «nedover»-diagonalene og trekker fra de tre «oppover»-diagonalene. For $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ blir pluss-diagonalene $1\cdot 4\cdot 6 + 2\cdot 5\cdot 1 + 3\cdot 0\cdot 0 = 24 + 10 + 0 = 34$, og minus-diagonalene $3\cdot 4\cdot 1 + 1\cdot 5\cdot 0 + 2\cdot 0\cdot 6 = 12$. Dermed er $\det(A) = 34 - 12 = 22$.

Et mer fleksibelt alternativ er kofaktorutvikling, der vi bryter determinanten ned i mindre $2 \times 2$-biter, kalt minorer. Utvikler vi langs første rad, veksler fortegnet $+, -, +$. Trikset er å velge den raden eller kolonnen med flest nuller, for da slipper vi mye arbeid. For en triangulær matrise -- der alt over eller under diagonalen er null -- er det aller enklest: determinanten er bare produktet av diagonalelementene.

Determinanten har flere nyttige egenskaper. Det gjelder at $\det(I) = 1$, at $\det(A^T) = \det(A)$, og den vakre produktregelen $\det(AB) = \det(A)\det(B)$. For en $n \times n$-matrise er $\det(kA) = k^n \det(A)$, og $\det(A^{-1}) = \tfrac{1}{\det(A)}$. Er to rader like, eller en hel rad null, blir determinanten $0$. Har vi for eksempel $\det(A) = 5$ for en $3 \times 3$-matrise, blir $\det(2A) = 2^3 \cdot 5 = 40$.

Den inverse matrisen -- å dele i matriseverdenen

For et tall $a \neq 0$ finnes alltid $\tfrac{1}{a}$ slik at $a \cdot \tfrac{1}{a} = 1$. For en kvadratisk matrise $A$ leter vi etter en invers $A^{-1}$ slik at $A A^{-1} = A^{-1} A = I$. Den finnes -- og er entydig -- hvis og bare hvis $\det(A) \neq 0$. Da kaller vi $A$ invertibel. Er $\det(A) = 0$, kalles $A$ singulær, og inversen finnes ikke; matrisen «inneholder rett og slett ikke nok informasjon».

For en $2 \times 2$-matrise er det en pen formel: bytt om $a$ og $d$, snu fortegnet på $b$ og $c$, og del på determinanten:

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

For $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ med $\det(A) = 10$ får vi $A^{-1} = \tfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$. Ganger du $A A^{-1}$ ender du på $I_2$, akkurat som det skal være. For $3 \times 3$ og større bruker man Gauss-Jordan-eliminasjon eller datamaskin.

Nytten kommer for fullt når vi løser likningssystem. Har vi $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ og kjenner $A^{-1}$, ganger vi begge sider med inversen: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$. For systemet $3x + 2y = 16$, $x + 4y = 12$ med samme $A$ som over blir $\mathbf{x} = \tfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 16 \\ 12 \end{pmatrix} = \tfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 40 \\ 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, altså $x = 4$, $y = 2$. I økonomien bruker vi nettopp dette til å finne likevektspriser og til å snu Leontief-modeller.

Oppsummering

Determinanten er ett tall regnet ut fra en kvadratisk matrise. For $2 \times 2$ er den $ad - bc$; for $3 \times 3$ bruker vi Sarrus' regel eller kofaktorutvikling, og for triangulære matriser er den ganske enkelt produktet av diagonalen. Nyttige regler er $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ og $\det(kA) = k^n \det(A)$.

Determinanten er nøkkelen til invertibilitet: en matrise har en invers $A^{-1}$ hvis og bare hvis $\det(A) \neq 0$. For $2 \times 2$ finner vi inversen ved å bytte $a$ og $d$, snu fortegn på $b$ og $c$, og dele på determinanten. Den store gevinsten er at vi kan løse likningssystem direkte: $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ gir $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$. Når systemene blir større, trenger vi en mer systematisk metode -- og det er nettopp Gauss-eliminasjon, som venter i neste kapittel.