Tilbake
1.1
Alle fag for Høyskole

1.1 Vedleggslesning: RREF, pivoter og avhengighetsrelasjoner

MAT1120s arbeidsmåte etablert: les RREF, pivotposisjoner og avhengighetsrelasjoner ut av vedlegget (Matlab-utskrift eller RREF-ark) i stedet for å radredusere for hånd — motoren under hele boka, med en rask repetisjon av span og lineær uavhengighet.

55 min
9 oppgaver
VedleggslesningRREFpivoteravhengighetsrelasjoner
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Radreduksjon og trappeform (MAT1110) — radreduksjon og matriseføring, som dette kapitlet bygger på
- Lineære likningssystem og Gauss-eliminasjon — innføring på innføringsnivå
- Vektorer i tre dimensjoner — vektorbegrepet i Rn\mathbb{R}^n, repetert der

Du trenger ikke å kunne regne radreduksjon raskt — poenget i MAT1120 er nettopp at vedlegget gjør den jobben. Du trenger å kunne lese en ferdig redusert trappeform. Begrepene span, lineær uavhengighet og underrom repeteres kort nederst i kapitlet (de forutsettes, men læres ikke fra grunnen).

Hele Del 1 hviler på én ferdighet: å lese en redusert trappeform (RREF) fra vedlegget og hente ut det oppgaven spør om — pivotkolonner, frie variabler, rang og avhengighetsrelasjoner. Dette er MAT1120s definerende arbeidsmåte, og den bærer den faste oppgave 1 gjennom hele arkivet.

Kapitlet er bygget som tre små læringsløkker (teori → eksempel → oppgave): (1) hva et vedlegg inneholder og hvordan det leses, (2) pivotposisjoner og frie variabler, (3) avhengighetsrelasjoner og hvorfor de gjelder i AA. Til slutt repeterer vi span, uavhengighet og underrom kort.

Løkke 1 — Hva et vedlegg er, og hvordan det leses (~15 min)

På eksamen er den store regnejobben — å radredusere en matrise — allerede gjort for deg i vedlegget. Det finnes i to former, med nøyaktig samme funksjon:

- Matlab-utskrift (arkivet 2018–2022): kommandoene rref⁡(A)\operatorname{rref}(A) (redusert trappeform), poly⁡(A)\operatorname{poly}(A) (karakteristisk polynom, brukes i Del 3) og eig⁡(A)\operatorname{eig}(A) eller [V, D]=eig⁡(A)[V,\,D]=\operatorname{eig}(A) (egenverdier og egenvektorer, Del 3 og 6).
- RREF-ark (fra og med 2024): et ark med de ferdige reduserte trappeformene, uten Matlab-syntaks.

Uansett form er beskjeden den samme: du skal lese resultatet, ikke regne det ut. Regel for hele boka: radreduser aldri en stor matrise (3×43\times4 eller større) for hånd — sitér vedlegget. Små 2×22\times2-kontroller for hånd er greit.

Vedlegg

Arket som deles ut sammen med eksamensoppgaven og gjør den rå regningen. Det inneholder ferdige reduserte trappeformer (og ved behov karakteristisk polynom og egenverdier) for oppgavens matriser. På eksamen siterer du vedlegget i stedet for å radredusere selv: «Fra vedlegget ser vi at RREF er …».

rref⁡(A)\operatorname{rref}(A)

Matlab-kommandoen som gir den reduserte trappeformen til AA. Utskriften er den ferdig radreduserte matrisen — den du leser pivoter og frie variabler ut av. Fra 2024 erstattes utskriften av et rent RREF-ark med samme innhold.

poly⁡(A)\operatorname{poly}(A)

Matlab-kommandoen som gir koeffisientene i det karakteristiske polynomet det⁡(A−λI)\det(A-\lambda I). Brukes i Del 3 (egenverdier). Nevnt her fordi den er en fast del av vedlegget; den er ikke i bruk i Del 1.

eig⁡(A)\operatorname{eig}(A) og [V, D]=eig⁡(A)[V,\,D]=\operatorname{eig}(A)

Matlab-kommandoene for egenverdier (eig⁡(A)\operatorname{eig}(A)) og for egenverdier med tilhørende egenvektorer ([V, D]=eig⁡(A)[V,\,D]=\operatorname{eig}(A): kolonnene i VV er egenvektorer, diagonalen i DD er egenverdiene). Brukes i Del 3 og 6; nevnt her for oversikt.

✏️Eksempel 1: Lese en RREF-utskrift
Vedlegget oppgir at den reduserte trappeformen til en 3×43\times4-matrise AA er
rref⁡(A)=[120100140000].\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}.
Hvor mange ledende enere har utskriften, og i hvilke kolonner står de?

Vi leser utskriften — ingen regning. En ledende ener er den første ener'en (fra venstre) i en rad som ikke er null.

Rad 1 har sin ledende ener i kolonne 1. Rad 2 har sin ledende ener i kolonne 3. Rad 3 er en nullrad og har ingen ledende ener.

Svar: to ledende enere, i kolonne 1 og kolonne 3. Disse to kolonnene er pivotkolonnene (neste løkke). At det er to av dem, betyr at AA har rang 2 — mer om det i kap. 1.2.

📝Oppgave 1
(Innstegsoppgave — ren avlesning.) Vedlegget gir
rref⁡(A)=[10501−2000].\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&0&5\\0&1&-2\\0&0&0\end{bmatrix}.

a) Hvor mange ledende enere har utskriften?

b) I hvilke kolonner står de?

Løkke 2 — Pivotposisjoner, pivotkolonner og frie variabler (~20 min)

Når du har RREF-en foran deg, er alt du trenger å avgjøre hvor pivotene står. Det bestemmer resten.

En pivotposisjon er plassen til en ledende ener i den reduserte trappeformen. Kolonnen den står i, er en pivotkolonne; de øvrige kolonnene svarer til frie variabler. I et likningssystem Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0} er de frie variablene dem du kan velge fritt, mens de bundne (pivot-) variablene bestemmes av dem.

Trappeform (echelon-form)

En matrise er i trappeform når (1) alle nullrader står nederst, og (2) den ledende oppføringen i hver rad står til høyre for den ledende oppføringen i raden over. «Trappen» av ledende oppføringer går nedover mot høyre.

Redusert trappeform (RREF)

En trappeform der i tillegg (3) hver ledende oppføring er tallet 11 (en ledende ener), og (4) hver ledende ener er det eneste tallet som ikke er null i sin kolonne. Hver matrise har nøyaktig én RREF — derfor kan vedlegget oppgi den entydig.

Ledende ener (pivot)

Den første oppføringen fra venstre i en rad som ikke er null; i RREF er den alltid 11. Posisjonen kalles en pivotposisjon, og tallet kalles en pivot.

Pivotposisjon

Plassen (i,j)(i,j) til en ledende ener i den reduserte trappeformen. Antallet pivotposisjoner er rangen til AA.

Pivotkolonne

En kolonne som inneholder en pivotposisjon. Pivotkolonnene i AA svarer til de bundne variablene og danner ryggraden i kolonnerommet (se kap. 1.2). Merk skillet: en pivotposisjon er en plass (i,j)(i,j); en pivotkolonne er hele kolonne jj.

Fri variabel

En variabel som svarer til en kolonne uten pivot. I løsningen av Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0} kan de frie variablene velges fritt, og hver av dem gir én basisvektor for nullrommet. Antall frie variabler == antall ikke-pivotkolonner.

Bunden (basis-)variabel

En variabel som svarer til en pivotkolonne. Den er bundet fordi verdien bestemmes av de frie variablene gjennom likningene i RREF.

✏️Eksempel 2: Pivotkolonner og frie variabler
Vedlegget gir for en 4×54\times5-matrise AA:
rref⁡(A)=[1300−10010−10001200000].\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&3&0&0&-1\\0&0&1&0&-1\\0&0&0&1&2\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}.
Angi pivotposisjonene, pivotkolonnene og de frie variablene.

Vi leser av vedlegget. De ledende enerne står i:

- rad 1, kolonne 1 → pivotposisjon (1,1)(1,1),
- rad 2, kolonne 3 → pivotposisjon (2,3)(2,3),
- rad 3, kolonne 4 → pivotposisjon (3,4)(3,4).

Pivotkolonner: 1, 3 og 4. Ikke-pivotkolonner (frie variabler): kolonne 2 og kolonne 5, altså variablene x2x_2 og x5x_5.

Kontroll: 3 pivoter ++ 2 frie variabler =5=5 kolonner. Det stemmer (dette er dimensjonsteoremet, kap. 1.2). Merk at x2x_2 og x5x_5 er frie fordi kolonne 2 og 5 mangler pivot — ikke fordi de står sist.

📝Oppgave 2
Vedlegget gir
rref⁡(A)=[1−20−110011200000].\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&-2&0&-1&1\\0&0&1&1&2\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}.

a) Angi pivotkolonnene.

b) Hvilke variabler er frie?

📝Oppgave 3

En matrise AA har 6 kolonner, og vedleggets RREF har ledende enere i kolonne 1, 2 og 5.

a) Hvor mange pivoter har AA?

b) Hvor mange frie variabler har systemet Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}, og hvilke er de?

Løkke 3 — Avhengighetsrelasjoner, og hvorfor de gjelder i AA (~20 min)

Det siste — og mest verdifulle — du kan lese rett av RREF, er hvordan hver ikke-pivotkolonne er en lineærkombinasjon av pivotkolonnene. Dette kalles en avhengighetsrelasjon, og koeffisientene står ferdig i RREF.

Ta en ikke-pivotkolonne jj i RREF. Tallene i den kolonnen, lest av mot pivotradene, er nettopp koeffisientene som uttrykker kolonne jj ved pivotkolonnene. Det avgjørende poenget: radoperasjoner endrer ikke lineære sammenhenger mellom kolonnene, så nøyaktig samme relasjon gjelder i den opprinnelige matrisen AA. Derfor kan du lese en relasjon fra RREF og bruke den på AA uten videre.

Avhengighetsrelasjon

En likning som uttrykker én kolonne i AA som en lineærkombinasjon av andre kolonner, f.eks. a5=2a4−a3−a1\mathbf{a}_5=2\mathbf{a}_4-\mathbf{a}_3-\mathbf{a}_1. Koeffisientene leses direkte av den tilhørende ikke-pivotkolonnen i RREF. Relasjonen gjelder like mye i AA som i RREF.

Radekvivalens

To matriser er radekvivalente når den ene kan lages fra den andre ved elementære radoperasjoner. AA og rref⁡(A)\operatorname{rref}(A) er radekvivalente. Radoperasjoner bevarer kolonnesammenhengene (avhengighetsrelasjonene) og radrommet, men endrer generelt kolonnerommet — derav skillet i kap. 1.2–1.3.

✏️Eksempel 3: Lese en avhengighetsrelasjon
For matrisen
A=[13−12426−159−1−321100135]A=\begin{bmatrix}1&3&-1&2&4\\2&6&-1&5&9\\-1&-3&2&1&1\\0&0&1&3&5\end{bmatrix}
gir vedlegget
rref⁡(A)=[1300−10010−10001200000].\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&3&0&0&-1\\0&0&1&0&-1\\0&0&0&1&2\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}.
Pivotkolonnene er 1, 3 og 4. Skriv kolonne 2 og kolonne 5 i AA som lineærkombinasjoner av pivotkolonnene.
Vi leser koeffisientene rett av RREF, kolonne for kolonne, mot pivotradene (rad 1 ↔ pivotkolonne 1, rad 2 ↔ pivotkolonne 3, rad 3 ↔ pivotkolonne 4).

Kolonne 2 i RREF er [3000]\begin{bmatrix}3\\0\\0\\0\end{bmatrix}, altså 33 mot pivotrad 1 og 00 ellers. Relasjonen er
a2=3 a1.\mathbf{a}_2=3\,\mathbf{a}_1.
Kontroll i AA: 3[12−10]=[36−30]=a23\begin{bmatrix}1\\2\\-1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\6\\-3\\0\end{bmatrix}=\mathbf{a}_2. ✓

Kolonne 5 i RREF er [−1−120]\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\\0\end{bmatrix}: koeffisient −1-1 mot pivotkolonne 1, −1-1 mot pivotkolonne 3, 22 mot pivotkolonne 4. Altså
a5=−a1−a3+2 a4.\mathbf{a}_5=-\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_3+2\,\mathbf{a}_4.
Kontroll i AA: −[12−10]−[−1−121]+2[2513]=[4915]=a5-\begin{bmatrix}1\\2\\-1\\0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\\1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}2\\5\\1\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\9\\1\\5\end{bmatrix}=\mathbf{a}_5. ✓

Legg merke til at relasjonene ble lest av RREF, men verifisert i AA — det er hele poenget: radreduksjon bevarer kolonnesammenhengene.

📝Oppgave 4
Bruk RREF-en fra Eksempel 2,
rref⁡(A)=[1−20−110011200000],\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&-2&0&-1&1\\0&0&1&1&2\\0&0&0&0&0\end{bmatrix},
med pivotkolonner 1 og 3. Skriv kolonne 2, 4 og 5 i AA som lineærkombinasjoner av pivotkolonnene a1\mathbf{a}_1 og a3\mathbf{a}_3.
📝Oppgave 5

Vedleggets RREF av en matrise AA har pivotkolonner 1 og 2, og kolonne 3 i RREF er [4−30]\begin{bmatrix}4\\-3\\0\end{bmatrix}.

a) Skriv a3\mathbf{a}_3 som en lineærkombinasjon av a1\mathbf{a}_1 og a2\mathbf{a}_2.

b) Kan du avgjøre om denne relasjonen også gjelder mellom kolonnene i AA selv, uten å regne mer?

Rask repetisjon: span, uavhengighet og underrom

Disse begrepene forutsettes fra MAT1110 og brukes aktivt fra og med kap. 1.2. Vi repeterer dem kort — de læres ikke fra grunnen her.

Lineærkombinasjon

En vektor på formen c1v1+c2v2+⋯+ckvkc_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\dots+c_k\mathbf{v}_k med skalarer cic_i. Matrise-vektor-produktet AxA\mathbf{x} er nettopp en lineærkombinasjon av kolonnene i AA med vektene fra x\mathbf{x}.

Span (utspenning)
Span⁡{v1,…,vk}\operatorname{Span}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\} er mengden av alle lineærkombinasjoner av vektorene v1,…,vk\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k. Det er alltid et underrom. At b∈Span⁡{… }\mathbf{b}\in\operatorname{Span}\{\dots\} betyr at b\mathbf{b} kan skrives som en slik kombinasjon.
Lineær uavhengighet
{v1,…,vk}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\} er lineært uavhengige dersom c1v1+⋯+ckvk=0c_1\mathbf{v}_1+\dots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0} bare har løsningen c1=⋯=ck=0c_1=\dots=c_k=0. For kolonnene i en matrise: uavhengige   ⟺  \iff hver kolonne er en pivotkolonne (ingen frie variabler).
Lineær avhengighet
{v1,…,vk}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\} er lineært avhengige dersom minst én av dem kan skrives som en lineærkombinasjon av de andre — likeverdig: c1v1+⋯+ckvk=0c_1\mathbf{v}_1+\dots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0} har en ikke-triviell løsning. Hver ikke-pivotkolonne gir en slik avhengighet.
Underrom

En delmengde WW av et vektorrom er et underrom dersom (1) 0∈W\mathbf{0}\in W; (2) WW er lukket under addisjon (u,v∈W⇒u+v∈W\mathbf{u},\mathbf{v}\in W\Rightarrow \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W); (3) WW er lukket under skalarmultiplikasjon (u∈W, c\mathbf{u}\in W,\ c skalar ⇒cu∈W\Rightarrow c\mathbf{u}\in W). Col⁡A\operatorname{Col}A og Nul⁡A\operatorname{Nul}A er de to sentrale eksemplene (kap. 1.2).

📝Oppgave 6
Vektorene v1=[102]\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}, v2=[011]\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, v3=[2−13]\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}2\\-1\\3\end{bmatrix} er kolonnene i en matrise AA. Vedlegget gir
rref⁡(A)=[10201−1000].\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}.

a) Er {v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} lineært uavhengige?

b) Uttrykk v3\mathbf{v}_3 ved v1\mathbf{v}_1 og v2\mathbf{v}_2.

Begrepsbank til eksamen

Her er kjernebegrepene fra kapitlet samlet i eksamensrettet kortform, sammen med noen støttebegreper fra MAT1110 du bør ha løst i ryggmargen.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Homogent system Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}

Et likningssystem med høyreside 0\mathbf{0}. Det har alltid minst løsningen x=0\mathbf{x}=\mathbf{0} (den trivielle). Løsningsmengden er nullrommet Nul⁡A\operatorname{Nul}A (kap. 1.2); ikke-trivielle løsninger finnes nøyaktig når systemet har minst én fri variabel.

Konsistent / inkonsistent system
Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} er konsistent om det har minst én løsning, ellers inkonsistent. Fra vedlegget: systemet er inkonsistent hvis totalmatrisens RREF har en pivot i den siste (høyreside-) kolonnen. Konsistent   ⟺  b∈Col⁡A\iff \mathbf{b}\in\operatorname{Col}A (kap. 1.2).
Matrise-vektor-produktet AxA\mathbf{x}
Ax=x1a1+x2a2+⋯+xnanA\mathbf{x}=x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\dots+x_n\mathbf{a}_n: en lineærkombinasjon av kolonnene i AA med vektene fra x\mathbf{x}. Dette er hvorfor Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} er løsbar nøyaktig når b\mathbf{b} ligger i kolonnerommet.
Elementære radoperasjoner

De tre operasjonene bak radreduksjon: (1) bytte to rader; (2) gange en rad med et tall ≠0\ne 0; (3) legge et multiplum av én rad til en annen. De bevarer løsningsmengden til systemet, radrommet og kolonnesammenhengene, men endrer generelt kolonnerommet.

Nullvektor og nullrad
Nullvektoren 0\mathbf{0} har alle komponenter lik null og ligger i ethvert underrom. En nullrad i RREF (bare nuller) svarer til en overflødig likning; antall nullrader == antall rader −- rang.
Koeffisientmatrise og totalmatrise

For systemet Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} er AA koeffisientmatrisen og [ A∣b ][\,A\mid\mathbf{b}\,] totalmatrisen (utvidet matrise). For Col⁡/Nul⁡/rang⁡\operatorname{Col}/\operatorname{Nul}/\operatorname{rang} leser du RREF av AA; for løsbarhet (b∈Col⁡A\mathbf{b}\in\operatorname{Col}A) leser du RREF av totalmatrisen.

Trivielle underrom

De to «ytterpunktene»: {0}\{\mathbf{0}\} (bare nullvektoren, dimensjon 00) og hele rommet Rn\mathbb{R}^n (dimensjon nn). Alle andre underrom ligger mellom disse i dimensjon.

Entydigheten av RREF

Hver matrise er radekvivalent med nøyaktig én redusert trappeform. Trappeformer (ikke-reduserte) er ikke entydige, men pivotposisjonene er de samme uansett hvordan man radreduserer. Derfor kan vedlegget oppgi RREF utvetydig.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.