1.4
Alle fag for Høyskole

1.4 Drill: oppgave 1-kjeden — Col/Nul/basis/rang fra vedlegg

Hele oppgave 1-repertoaret drillet til automatikk: fra én vedleggs-RREF høster du Col/Nul-basis (riktig kilde), rang, dimensjonsteorem-kontroll, lineærkombinasjoner og løsbarhet — med korrekt vedleggssitering hele veien.

85 min
13 oppgaver
Drilloppgave 1-kjedenCol/Nul/basis/rang fra vedlegg
Din fremgang i kapitlet
0 / 13 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Løsningsoppskrift — oppgave 1 steg for steg

Møter du en sjanger A-oppgave, kjør denne algoritmen:

1. Les vedleggets RREF — radreduser aldri selv. Skriv «Fra vedlegget (rref⁡\operatorname{rref}) ser vi at RREF er …».
2. Marker pivotkolonner og frie variabler direkte i RREF.
3. Les av det oppgaven ber om:
- Col⁡A\operatorname{Col}A-basis == de opprinnelige pivotkolonnene i AA (ikke RREF-kolonnene).
- Nul⁡A\operatorname{Nul}A-basis == spesielle løsninger (én fri variabel =1=1, resten 00).
- Row⁡A\operatorname{Row}A-basis == ikke-null-radene i RREF.
- rang⁡A=\operatorname{rang}A= antall pivoter.
- Lineærkombinasjoner: koeffisientene i ikke-pivotkolonnene i RREF.
- b∈Col⁡A\mathbf{b}\in\operatorname{Col}A? Les RREF av [ A∣b ][\,A\mid\mathbf{b}\,]: pivot i høyresiden ⇒\Rightarrow nei.
- AB=OAB=O: kolonner i BB hentes fra Nul⁡A\operatorname{Nul}A.
4. Konkluder med navngitt kriterium og bruk dimensjonsteoremet (rang⁡A+dim⁡Nul⁡A=n\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=n) som kontroll. Skriv en verbal konklusjonssetning.

Vedleggssitering (føringspoeng)

Start hvert sjanger A-svar med «Fra vedlegget (rref⁡\operatorname{rref}) ser vi at RREF er …». Sensor gir uttelling for å bruke og referere vedlegget; manuell radreduksjon av en ≥3×4\ge3\times4-matrise gir ikke poeng og koster tid.

Col A-regelen (drill)

Basis for Col⁡A=\operatorname{Col}A= de opprinnelige kolonnene i AA på pivotplassene — aldri RREF-kolonnene. Dette er det ene stedet flest taper poeng på oppgave 1.

Nul A-regelen (drill)

Basis for Nul⁡A=\operatorname{Nul}A= spesielle løsninger: sett én fri variabel =1=1, resten =0=0, les de bundne av RREF-likningene. Én basisvektor per fri variabel.

Row A-regelen (drill)

Basis for Row⁡A=\operatorname{Row}A= de ikke-null-radene i RREF (brukes direkte). dim⁡Row⁡A=dim⁡Col⁡A=rang⁡A\dim\operatorname{Row}A=\dim\operatorname{Col}A=\operatorname{rang}A.

Dimensjonsteorem-kontrollen

Etter at du har funnet Col⁡\operatorname{Col}- og Nul⁡\operatorname{Nul}-basis: sjekk rang⁡A+dim⁡Nul⁡A=n\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=n (antall søyler). Stemmer ikke summen, er det en tellefeil et sted.

b ∈ Col A-testen
Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} konsistent   ⟺  b∈Col⁡A  ⟺  rang⁡[ A∣b ]=rang⁡A\iff\mathbf{b}\in\operatorname{Col}A\iff\operatorname{rang}[\,A\mid\mathbf{b}\,]=\operatorname{rang}A. Les RREF av totalmatrisen: en pivot i høyresidekolonnen betyr inkonsistent (da ligger b\mathbf{b} utenfor Col⁡A\operatorname{Col}A).
✏️Gjennomregnet oppgave 1-case (sensor-kommentert)
La
A=[1−12032−23141−1111001−12].A=\begin{bmatrix}1&-1&2&0&3\\2&-2&3&1&4\\1&-1&1&1&1\\0&0&1&-1&2\end{bmatrix}.
Vedlegget gir rref⁡(A)=[1−102−1001−120000000000]\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&-1&0&2&-1\\0&0&1&-1&2\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}.

a) Finn en basis for Col⁡A\operatorname{Col}A og en for Nul⁡A\operatorname{Nul}A. Oppgi rang⁡A\operatorname{rang}A og kontroller med dimensjonsteoremet.

b) Skriv kolonne 4 i AA som en lineærkombinasjon av Col⁡A\operatorname{Col}A-basisen.

c) Ligger b=(−1,−1,0,−1)T\mathbf{b}=(-1,-1,0,-1)^T i Col⁡A\operatorname{Col}A?

Fra vedlegget (rref⁡\operatorname{rref}) ser vi at pivotkolonnene er 1 og 3, og de frie variablene er x2,x4,x5x_2,x_4,x_5. [Sensornotat: her siteres vedlegget — føringspoeng.]

a) Col⁡A\operatorname{Col}A-basis == de opprinnelige kolonnene 1 og 3 i AA:
{(1,2,1,0)T, (2,3,1,1)T}.\Big\{(1,2,1,0)^T,\ (2,3,1,1)^T\Big\}.
[Sensornotat: basis fra ORIGINAL AA, ikke RREF — det andre føringspoenget.]

Nul⁡A\operatorname{Nul}A-basis: RREF-likningene er x1=x2−2x4+x5x_1=x_2-2x_4+x_5 og x3=x4−2x5x_3=x_4-2x_5. Spesielle løsninger:
- x2=1x_2=1: (1,1,0,0,0)T(1,1,0,0,0)^T
- x4=1x_4=1: (−2,0,1,1,0)T(-2,0,1,1,0)^T
- x5=1x_5=1: (1,0,−2,0,1)T(1,0,-2,0,1)^T

rang⁡A=2\operatorname{rang}A=2 (to pivoter). Dimensjonsteoremet: rang⁡A+dim⁡Nul⁡A=2+3=5=\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=2+3=5= antall søyler. ✓

b) Kolonne 4 i RREF er (2,−1)(2,-1) mot pivotradene, så a4=2 a1−a3\mathbf{a}_4=2\,\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_3. Kontroll i AA: 2(1,2,1,0)T−(2,3,1,1)T=(0,1,1,−1)T=a42(1,2,1,0)^T-(2,3,1,1)^T=(0,1,1,-1)^T=\mathbf{a}_4. ✓

c) Vi sjekker b\mathbf{b}. Legg merke til at b=a1−a3=(1,2,1,0)T−(2,3,1,1)T=(−1,−1,0,−1)T\mathbf{b}=\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_3=(1,2,1,0)^T-(2,3,1,1)^T=(-1,-1,0,-1)^T. Altså er b\mathbf{b} en lineærkombinasjon av Col⁡A\operatorname{Col}A-basisen, så b∈Col⁡A\mathbf{b}\in\operatorname{Col}A (med x=(1,0,−1,0,0)T\mathbf{x}=(1,0,-1,0,0)^T som én løsning). Ekvivalent: rang⁡[ A∣b ]=rang⁡A=2\operatorname{rang}[\,A\mid\mathbf{b}\,]=\operatorname{rang}A=2.

[Sensornotat: verbal konklusjonssetning og eksakte svar — full uttelling.]

Oppgavebank — stigende vanskelighet

Oppgavene bygger på den samme metoden. Har du gjort casen over, har du sett alt du trenger. Signalbokser om hva hver oppgave tester står etter løsningen.

📝Oppgave 1

Vedlegget gir rref⁡(A)=[10201−1000]\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix} for A=[11101−1213]A=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&-1\\2&1&3\end{bmatrix}. Oppgi rang⁡A\operatorname{rang}A og dim⁡Nul⁡A\dim\operatorname{Nul}A.

📝Oppgave 2

Med samme AA som i oppgave 1: finn en basis for Col⁡A\operatorname{Col}A.

📝Oppgave 3

For A=[1−21032−431800112]A=\begin{bmatrix}1&-2&1&0&3\\2&-4&3&1&8\\0&0&1&1&2\end{bmatrix} gir vedlegget rref⁡(A)=[1−20−110011200000]\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&-2&0&-1&1\\0&0&1&1&2\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}.

a) Finn basis for Col⁡A\operatorname{Col}A og Nul⁡A\operatorname{Nul}A.

b) Oppgi rang⁡A\operatorname{rang}A og kontroller med dimensjonsteoremet.

📝Oppgave 4

Med matrisen fra oppgave 3: skriv kolonne 4 og 5 i AA som lineærkombinasjoner av Col⁡A\operatorname{Col}A-basisen a1,a3\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_3.

📝Oppgave 5

For A=[12031001−242414612115]A=\begin{bmatrix}1&2&0&3&1\\0&0&1&-2&4\\2&4&1&4&6\\1&2&1&1&5\end{bmatrix} gir vedlegget rref⁡(A)=[12031001−240000000000]\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&2&0&3&1\\0&0&1&-2&4\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}. Finn en basis for Row⁡A\operatorname{Row}A og for Col⁡A\operatorname{Col}A.

📝Oppgave 6

For matrisen AA i den gjennomregnede casen (den 4×54\times5): ligger b=(0,0,0,1)T\mathbf{b}=(0,0,0,1)^T i Col⁡A\operatorname{Col}A? Vedlegget viser at rref⁡[ A∣b ]\operatorname{rref}[\,A\mid\mathbf{b}\,] har en pivot i den siste kolonnen.

📝Oppgave 7

La A=[12−1324−17−1−20−4]A=\begin{bmatrix}1&2&-1&3\\2&4&-1&7\\-1&-2&0&-4\end{bmatrix} med rref⁡(A)=[120400110000]\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&2&0&4\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}. Konstruer en 4×24\times2-matrise B≠OB\ne O med AB=OAB=O.

📝Oppgave 8

En 4×64\times6-matrise AA har rang⁡A=3\operatorname{rang}A=3. Hva er dim⁡Nul⁡A\dim\operatorname{Nul}A og dim⁡Col⁡A\dim\operatorname{Col}A?

📝Oppgave 9

En kjedet oppgave på A=[1−12032−23141−1111001−12]A=\begin{bmatrix}1&-1&2&0&3\\2&-2&3&1&4\\1&-1&1&1&1\\0&0&1&-1&2\end{bmatrix} (samme som casen).

a) Er kolonnene i AA lineært uavhengige? Begrunn.

b) Angi to lineært uavhengige vektorer i Col⁡A\operatorname{Col}A som du siden kan bruke som utgangspunkt for en Gram–Schmidt-prosess (Del 4).

c) Hvor mange vektorer vil en ortogonal basis for Col⁡A\operatorname{Col}A inneholde?

📝Oppgave 10

En 3×53\times5-matrise AA har rang⁡A=3\operatorname{rang}A=3.

a) Er Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} løsbar for enhver b∈R3\mathbf{b}\in\mathbb{R}^3? Begrunn.

b) Hva er den største rangen et BB kan ha dersom AB=OAB=O, og hvilke dimensjoner må BB ha?

📝Oppgave 11

En student oppgir at basis for Col⁡A\operatorname{Col}A er de tre standardvektorene e1,e2,e3\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 fordi RREF hadde pivoter i kolonne 1, 2 og 3. Forklar hva som er galt og hvordan det rettes.

📝Oppgave 12

For A=[21344279−2−1−1−1]A=\begin{bmatrix}2&1&3&4\\4&2&7&9\\-2&-1&-1&-1\end{bmatrix} gir vedlegget rref⁡(A)=[1120000100001]\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&\tfrac12&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}.

a) Finn rang⁡A\operatorname{rang}A og en basis for Col⁡A\operatorname{Col}A.

b) Finn en basis for Nul⁡A\operatorname{Nul}A.

c) Er Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} løsbar for enhver b∈R3\mathbf{b}\in\mathbb{R}^3?

📝Oppgave 13

En matrise AA er 4×44\times4 og har Nul⁡A={0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf{0}\}.

a) Hva er rang⁡A\operatorname{rang}A?

b) Er AA invertibel?

c) Finnes det B≠OB\ne O med AB=OAB=O?

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.