1.3
Alle fag for Høyskole

1.3 Row A, lineærkombinasjoner og konstruksjonsvarianter

Radrommet Row A og dets basis, å skrive ikke-pivotkolonnene eksplisitt som lineærkombinasjoner via avhengighetsrelasjonene, og konstruksjonsvarianten: bygg en matrise B med AB = O og gitt rang ved å plassere Nul A-vektorer som kolonner.

50 min
9 oppgaver
Row Alineærkombinasjonerkonstruksjonsvarianter
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Kap. 1.1 — RREF, avhengighetsrelasjoner
- Kap. 1.2 — Col⁡A\operatorname{Col}A, Nul⁡A\operatorname{Nul}A, rang, dimensjonsteoremet
- Matriseregning (MAT1110) — matriseprodukt

Tre siste avlesninger fra samme RREF: radrommet Row⁡A\operatorname{Row}A, kolonnene skrevet eksplisitt som lineærkombinasjoner, og konstruksjonen av en matrise BB med AB=OAB=O. Til slutt introduserer vi koordinater relativt en basis — språket som bærer hele Del 2.

Kapitlet går i fire løkker (teori → eksempel → oppgave). Vi bruker gjennomgangsmatrisen
A=[123101240124711001−11],rref⁡(A)=[1204−3001−110000000000] (vedlegg).A=\begin{bmatrix}1&2&3&1&0\\1&2&4&0&1\\2&4&7&1&1\\0&0&1&-1&1\end{bmatrix},\qquad \operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&2&0&4&-3\\0&0&1&-1&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}\ \text{(vedlegg).}
Pivotkolonner: 1 og 3. Frie variabler: x2,x4,x5x_2,x_4,x_5.

Radrommet Row A (~14 min)

Row⁡A\operatorname{Row}A er spennet av radene i AA, et underrom av Rn\mathbb{R}^n (n=n= antall kolonner). Her er situasjonen motsatt av kolonnerommet: radreduksjon bevarer radrommet, fordi hver ny rad er en lineærkombinasjon av de gamle. Derfor er de ikke-null-radene i RREF en basis for Row⁡A\operatorname{Row}A — og denne gangen bruker du RREF-radene direkte.

Antall ikke-null-rader == antall pivoter, så dim⁡Row⁡A=rang⁡A=dim⁡Col⁡A\dim\operatorname{Row}A=\operatorname{rang}A=\dim\operatorname{Col}A.

Radrom Row⁡A\operatorname{Row}A

Spennet av radene i AA: Row⁡A=Span⁡{rader}⊆Rn\operatorname{Row}A=\operatorname{Span}\{\text{rader}\}\subseteq\mathbb{R}^n. Radreduksjon bevarer Row⁡A\operatorname{Row}A (i motsetning til Col⁡A\operatorname{Col}A), så en basis er de ikke-null-radene i RREF. Merk: Row⁡A=Col⁡AT\operatorname{Row}A=\operatorname{Col}A^{T}.

Basis for Row⁡A\operatorname{Row}A (regelen)

Basis for Row⁡A=\operatorname{Row}A= de ikke-null-radene i RREF. Her brukes RREF-radene direkte — motsatt av Col⁡A\operatorname{Col}A, der basisen måtte hentes fra den opprinnelige AA. Antall =rang⁡A=\operatorname{rang}A.

dim⁡Row⁡A=dim⁡Col⁡A=rang⁡A\dim\operatorname{Row}A=\dim\operatorname{Col}A=\operatorname{rang}A

Radrom og kolonnerom har alltid samme dimensjon (rangen), selv om de lever i ulike rom (Row⁡A⊆Rn\operatorname{Row}A\subseteq\mathbb{R}^n, Col⁡A⊆Rm\operatorname{Col}A\subseteq\mathbb{R}^m). Dette er rangens grunnleggende symmetri, rang⁡A=rang⁡AT\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}A^{T}.

✏️Eksempel 1: Basis for Row A

Finn en basis for Row⁡A\operatorname{Row}A for gjennomgangsmatrisen, og oppgi dim⁡Row⁡A\dim\operatorname{Row}A.

Fra vedlegget er de ikke-null-radene i RREF nettopp de to øverste. De danner en basis for Row⁡A\operatorname{Row}A:
{(1,2,0,4,−3), (0,0,1,−1,1)}.\{(1,2,0,4,-3),\ (0,0,1,-1,1)\}.
Her tar vi radene rett fra RREF (radrommet bevares av radreduksjon). dim⁡Row⁡A=2=rang⁡A\dim\operatorname{Row}A=2=\operatorname{rang}A.

Kontrast: for Col⁡A\operatorname{Col}A måtte vi tilbake til AA og ta kolonne 1 og 3 der. For Row⁡A\operatorname{Row}A er RREF-radene selve svaret — fordi rader og kolonner behandles ulikt av radreduksjon.

📝Oppgave 1

Vedlegget gir rref⁡(A)=[1−20500120000]\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&-2&0&5\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}.

a) Finn en basis for Row⁡A\operatorname{Row}A.

b) Hva er dim⁡Row⁡A\dim\operatorname{Row}A?

📝Oppgave 2

Forklar kort hvorfor man for Col⁡A\operatorname{Col}A må gå tilbake til AA, mens man for Row⁡A\operatorname{Row}A kan bruke RREF-radene direkte.

Kolonner som eksplisitte lineærkombinasjoner (~13 min)

Ofte ber oppgaven deg skrive hver ikke-pivotkolonne i AA eksplisitt som en lineærkombinasjon av Col⁡A\operatorname{Col}A-basisen. Koeffisientene står ferdig i RREF: tallene i ikke-pivotkolonnen, lest mot pivotradene, er nettopp vektene (kap. 1.1). Fordi radreduksjon bevarer kolonnesammenhengene, gjelder relasjonen i AA.

Eksplisitt lineærkombinasjon

En ikke-pivotkolonne aj\mathbf{a}_j skrevet ut som aj=∑irij api\mathbf{a}_j=\sum_i r_{ij}\,\mathbf{a}_{p_i}, der api\mathbf{a}_{p_i} er Col⁡A\operatorname{Col}A-basisvektorene (pivotkolonnene i AA) og rijr_{ij} er tallene i kolonne jj i RREF. Verifiser gjerne i AA.

✏️Eksempel 2: Kolonner som lineærkombinasjoner
Col⁡A\operatorname{Col}A-basisen er a1=(1,1,2,0)T\mathbf{a}_1=(1,1,2,0)^T og a3=(3,4,7,1)T\mathbf{a}_3=(3,4,7,1)^T. Skriv kolonne 2, 4 og 5 i AA som lineærkombinasjoner av disse.

Koeffisientene leses av RREF (pivotrad 1 ↔ a1\mathbf{a}_1, pivotrad 2 ↔ a3\mathbf{a}_3):

a) Kolonne 2 i RREF er (2,0)(2,0): a2=2 a1\mathbf{a}_2=2\,\mathbf{a}_1. Kontroll: 2(1,1,2,0)T=(2,2,4,0)T=a22(1,1,2,0)^T=(2,2,4,0)^T=\mathbf{a}_2. ✓

b) Kolonne 4 i RREF er (4,−1)(4,-1): a4=4 a1−a3\mathbf{a}_4=4\,\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_3. Kontroll: 4(1,1,2,0)T−(3,4,7,1)T=(1,0,1,−1)T=a44(1,1,2,0)^T-(3,4,7,1)^T=(1,0,1,-1)^T=\mathbf{a}_4. ✓

c) Kolonne 5 i RREF er (−3,1)(-3,1): a5=−3 a1+a3\mathbf{a}_5=-3\,\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_3. Kontroll: −3(1,1,2,0)T+(3,4,7,1)T=(0,1,1,1)T=a5-3(1,1,2,0)^T+(3,4,7,1)^T=(0,1,1,1)^T=\mathbf{a}_5. ✓

📝Oppgave 3

Vedlegget gir rref⁡(A)=[1−20−100120000]\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&-2&0&-1\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix} med Col⁡A\operatorname{Col}A-basis a1,a3\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_3. Skriv kolonne 2 og 4 i AA som lineærkombinasjoner av a1\mathbf{a}_1 og a3\mathbf{a}_3.

Konstruksjonsvarianten: AB = O (~15 min)

En egen sjanger (sett 2020) ber deg konstruere en matrise B≠OB\ne O med AB=OAB=O og en foreskrevet rang. Nøkkelen: ABAB har kolonnene Ab1,Ab2,…A\mathbf{b}_1,A\mathbf{b}_2,\dots (der bj\mathbf{b}_j er kolonnene i BB). At AB=OAB=O betyr Abj=0A\mathbf{b}_j=\mathbf{0} for hver jj — altså at hver kolonne i BB ligger i Nul⁡A\operatorname{Nul}A.

Så oppskriften er: plukk vektorer fra Nul⁡A\operatorname{Nul}A og sett dem som kolonner i BB. Vil du at rang⁡B=k\operatorname{rang}B=k, velger du kk lineært uavhengige nullromsvektorer (mulig så lenge k≤dim⁡Nul⁡Ak\le\dim\operatorname{Nul}A). Generelt gjelder også rang⁡(AB)≤min⁡(rang⁡A,rang⁡B)\operatorname{rang}(AB)\le\min(\operatorname{rang}A,\operatorname{rang}B).

Konstruksjonen AB=OAB=O
AB=OAB=O   ⟺  \iff hver kolonne i BB ligger i Nul⁡A\operatorname{Nul}A (fordi kolonne jj i ABAB er AbjA\mathbf{b}_j). For å bygge et slikt B≠OB\ne O med rang⁡B=k\operatorname{rang}B=k: velg kk lineært uavhengige vektorer fra Nul⁡A\operatorname{Nul}A som kolonner. Krever k≤dim⁡Nul⁡Ak\le\dim\operatorname{Nul}A.
rang⁡(AB)≤min⁡(rang⁡A,rang⁡B)\operatorname{rang}(AB)\le\min(\operatorname{rang}A,\operatorname{rang}B)

Rangen til et produkt overstiger aldri rangen til noen av faktorene. Derfor kan AB=OAB=O (rang 00) godt ha B≠OB\ne O: kolonnene i BB trenger bare ligge i Nul⁡A\operatorname{Nul}A. Kolonne jj i ABAB er AbjA\mathbf{b}_j, en lineærkombinasjon av kolonnene i AA.

✏️Eksempel 3: Konstruer B med AB = O

La A=[12−1324−17−1−20−4]A=\begin{bmatrix}1&2&-1&3\\2&4&-1&7\\-1&-2&0&-4\end{bmatrix} med vedlegg rref⁡(A)=[120400110000]\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&2&0&4\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}. Konstruer en 4×24\times2-matrise B≠OB\ne O med AB=OAB=O og rang⁡B=2\operatorname{rang}B=2.

Fra vedlegget er pivotkolonnene 1 og 3, frie variabler x2,x4x_2,x_4. Nullromslikningene: x1=−2x2−4x4x_1=-2x_2-4x_4, x3=−x4x_3=-x_4.

Spesielle løsninger: x2=1x_2=1 gir u1=(−2,1,0,0)T\mathbf{u}_1=(-2,1,0,0)^T; x4=1x_4=1 gir u2=(−4,0,−1,1)T\mathbf{u}_2=(-4,0,-1,1)^T. Disse er en basis for Nul⁡A\operatorname{Nul}A (dim⁡Nul⁡A=2\dim\operatorname{Nul}A=2).

Sett dem som kolonner i BB:
B=[−2−4100−101].B=\begin{bmatrix}-2&-4\\1&0\\0&-1\\0&1\end{bmatrix}.
Da er Au1=0A\mathbf{u}_1=\mathbf{0} og Au2=0A\mathbf{u}_2=\mathbf{0}, så AB=OAB=O. Kolonnene u1,u2\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2 er uavhengige, så rang⁡B=2\operatorname{rang}B=2. ✓

Merk: rang⁡B=2=dim⁡Nul⁡A\operatorname{rang}B=2=\dim\operatorname{Nul}A er størst mulig her — vi kan ikke få rang⁡B=3\operatorname{rang}B=3, for Nul⁡A\operatorname{Nul}A har bare dimensjon 2.

📝Oppgave 4

Med samme AA som i Eksempel 3: konstruer en 4×14\times1-matrise (kolonnevektor) b≠0\mathbf{b}\ne\mathbf{0} med Ab=0A\mathbf{b}=\mathbf{0}, og oppgi rang⁡\operatorname{rang} til den.

📝Oppgave 5

En 3×53\times5-matrise AA har rang⁡A=2\operatorname{rang}A=2.

a) Hva er den største rangen en matrise BB kan ha dersom AB=OAB=O?

b) Hvilke dimensjoner må BB ha for at produktet ABAB skal være definert?

Koordinater relativt en basis (bro til Del 2) (~10 min)

Siste byggekloss i Del 1 er koordinater. Er B={b1,…,bk}\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_k\} en basis for et underrom WW, kan hver v∈W\mathbf{v}\in W skrives entydig som v=c1b1+⋯+ckbk\mathbf{v}=c_1\mathbf{b}_1+\dots+c_k\mathbf{b}_k. Vektene samles i koordinatvektoren [v]B=(c1,…,ck)T[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}=(c_1,\dots,c_k)^T. Dette er språket hele Del 2 er skrevet i: å bytte til koordinater gjør abstrakte problemer om til vanlig regning i Rk\mathbb{R}^k.

Koordinatvektor [v]B[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}

For en ordnet basis B={b1,…,bk}\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_k\} og v=c1b1+⋯+ckbk\mathbf{v}=c_1\mathbf{b}_1+\dots+c_k\mathbf{b}_k er [v]B=(c1,…,ck)T[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}=(c_1,\dots,c_k)^T koordinatvektoren. Rekkefølgen teller (basisen er ordnet). Utvikles fullt i kap. 2.3.

Entydighet av koordinater

Gitt en fast basis B\mathcal{B} har hver vektor nøyaktig én koordinatvektor. Det følger av at basisvektorene er uavhengige: hadde v\mathbf{v} to ulike framstillinger, ville differansen gi en ikke-triviell lineærkombinasjon lik 0\mathbf{0} — umulig for en basis.

✏️Eksempel 4: Koordinater relativt en basis

La B={b1,b2}\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\} med b1=(1,1)T, b2=(1,−1)T\mathbf{b}_1=(1,1)^T,\ \mathbf{b}_2=(1,-1)^T (en basis for R2\mathbb{R}^2). Finn [v]B[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} for v=(4,2)T\mathbf{v}=(4,2)^T.

Vi løser c1b1+c2b2=vc_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2=\mathbf{v}, altså
c1+c2=4,c1−c2=2.c_1+c_2=4,\qquad c_1-c_2=2.
Adderer vi likningene: 2c1=6⇒c1=32c_1=6\Rightarrow c_1=3; da c2=1c_2=1. Altså
[v]B=[31].[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}.
Kontroll: 3(1,1)T+1(1,−1)T=(4,2)T=v3(1,1)^T+1(1,-1)^T=(4,2)^T=\mathbf{v}. ✓ Koordinatene er entydige fordi B\mathcal{B} er en basis.
📝Oppgave 6

Med samme basis B={(1,1)T,(1,−1)T}\mathcal{B}=\{(1,1)^T,(1,-1)^T\}: finn [w]B[\mathbf{w}]_{\mathcal{B}} for w=(2,6)T\mathbf{w}=(2,6)^T.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Transponert ATA^{T}
ATA^{T} har rader og kolonner byttet om. Radene i AA blir kolonnene i ATA^{T}, så Row⁡A=Col⁡AT\operatorname{Row}A=\operatorname{Col}A^{T} og rang⁡A=rang⁡AT\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}A^{T}. Nyttig når en oppgave om radrommet lettere løses som et kolonnromsspørsmål for ATA^{T}.
Hva radreduksjon bevarer

Radoperasjoner bevarer radrommet Row⁡A\operatorname{Row}A og kolonnesammenhengene (avhengighetsrelasjonene), men endrer generelt kolonnerommet Col⁡A\operatorname{Col}A. Derav de to ulike basisreglene: RREF-rader for Row⁡A\operatorname{Row}A, opprinnelige kolonner for Col⁡A\operatorname{Col}A.

Matriseprodukt kolonnevis

Kolonne jj i ABAB er AbjA\mathbf{b}_j, altså AA anvendt på kolonne jj i BB. Dette er hvorfor AB=OAB=O betyr Abj=0A\mathbf{b}_j=\mathbf{0} for hver kolonne — grunnlaget for AB=OAB=O-konstruksjonen.

Ordnet basis

En basis der rekkefølgen på vektorene er fastlagt. Koordinatvektoren [v]B[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} er bare veldefinert for en ordnet basis, siden komponent ii er vekten foran bi\mathbf{b}_i.

Standardbasis {e1,…,en}\{\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\}

Basisen for Rn\mathbb{R}^n der ei\mathbf{e}_i har 11 på plass ii og 00 ellers. Relativt standardbasisen er koordinatvektoren lik vektoren selv: [v]E=v[\mathbf{v}]_{\mathcal{E}}=\mathbf{v}. Andre baser gir andre koordinater.

Row⁡A\operatorname{Row}A og Nul⁡A\operatorname{Nul}A
Nul⁡A\operatorname{Nul}A består nettopp av vektorene som står vinkelrett på alle rader i AA (siden Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0} betyr rad⋅x=0\cdot\mathbf{x}=0 for hver rad). Row⁡A\operatorname{Row}A og Nul⁡A\operatorname{Nul}A er ortogonalkomplementer i Rn\mathbb{R}^n; utdypes i Del 4–5.
Dimensjonsteorem via radrommet

Siden dim⁡Row⁡A=rang⁡A\dim\operatorname{Row}A=\operatorname{rang}A, kan dimensjonsteoremet også leses: dim⁡Row⁡A+dim⁡Nul⁡A=n\dim\operatorname{Row}A+\dim\operatorname{Nul}A=n. Radrom og nullrom deler Rn\mathbb{R}^n mellom seg.

Hvorfor AB=OAB=O ikke tvinger B=OB=O
AB=OAB=O betyr bare at kolonnene i BB ligger i Nul⁡A\operatorname{Nul}A. Har AA et ikke-trivielt nullrom, finnes B≠OB\ne O med AB=OAB=O. (For invertible AA er Nul⁡A={0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf{0}\}, og da må B=OB=O.)
Nullmatrisen OO

Matrisen der alle oppføringene er 00. Den har rang 00, og Col⁡O={0}\operatorname{Col}O=\{\mathbf{0}\}. I AB=OAB=O er OO nullmatrisen av samme størrelse som produktet ABAB.

Radrang == kolonnerang

Antall lineært uavhengige rader == antall lineært uavhengige kolonner =rang⁡A=\operatorname{rang}A. Dette er den samme kjensgjerningen som rang⁡A=rang⁡AT\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}A^{T}, sett fra rad- og kolonnesiden samtidig.

Koordinatavbildningen (forvarsel)

Avbildningen v↦[v]B\mathbf{v}\mapsto[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} oversetter vektorer i WW til koordinatvektorer i Rk\mathbb{R}^k. Den er lineær og bijektiv (en isomorfi) — derfor kan uavhengighet, span og dimensjon regnes i koordinater. Bæresøylen i kap. 2.3.

Uavhengige rader fra RREF

De ikke-null-radene i RREF er automatisk lineært uavhengige (hver har en ledende ener der de andre har 00). Derfor er de ikke bare en utspennende mengde for Row⁡A\operatorname{Row}A, men en ekte basis.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.