4.1 Radianer og vinkelmål | Matematikk R2

Sammenhengen mellom grader og radianer.

45 min

35 oppgaver

RadianerGraderBuelengdeEnhetssirkelen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 35 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

4.2Enhetssirkelen og trigonometriske definisjoner

Hvorfor radianer?

Til nå har du mest sannsynlig brukt grader som vinkelmål. En hel omdreining er $360°$ , en rett vinkel er $90°$ , og så videre. Men i høyere matematikk, spesielt i kalkulus og trigonometri, er det mye mer praktisk å bruke et annet vinkelmål: radianer.

Radianer gjør mange formler enklere og mer elegante. For eksempel blir derivasjon av trigonometriske funksjoner mye penere når vi bruker radianer. I dette kapitlet skal vi lære:

- Hva en radian er
- Hvordan vi regner om mellom grader og radianer
- Viktige vinkler uttrykt i radianer
- Formler for buelengde og sektorareal
- Enhetssirkelen

Radian

s

Intuisjon bak radianer

Tenk deg at du har en sirkel med radius $r$ . Hvis du "ruller ut" en bue langs sirkelen som er nøyaktig like lang som radiusen, så er vinkelen denne buen spenner over nøyaktig 1 radian.

Siden omkretsen til en sirkel er $2\pi r$ , får vi plass til nøyaktig $2\pi$ slike buer rundt hele sirkelen. Derfor er en hel omdreining lik $2\pi$ radianer.

En radian er omtrent $57{,}3°$ (mer presist: $\displaystyle \frac{180°}{\pi} \approx 57{,}2958°$ ).

📊Utforsk: Én radian på enhetssirkelen

Vinkelen på 1 radian spenner over en sirkelbue som er nøyaktig like lang som radien. Punktet $B = (\cos 1, \sin 1)$ ligger der buen fra $A$ har lengde 1. Hele omkretsen tilsvarer $2\pi$ radianer.

📜Omregning mellom grader og radianer

Siden

360° = 2\pi

radianer, har vi:

$180° = \pi \text{ radianer}$

Fra grader til radianer:
$v_{\text{rad}} = v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}$

Fra radianer til grader:
$v_{\text{grad}} = v_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}$

Huskeregel: For å gå fra grader til radianer, ganger du med

\displaystyle \frac{\pi}{180}

. For å gå motsatt vei, ganger du med

\displaystyle \frac{180}{\pi}

Du kan også tenke på det slik: $\pi$ radianer = $180°$ , så brøken $\displaystyle \frac{\pi}{180}$ gir deg "radianer per grad".

✏️Eksempel 1: Omregning fra grader til radianer

Skriv om disse vinklene fra grader til radianer. Gi eksakt svar.

a) $90°$
b) $45°$
c) $60°$
d) $30°$
e) $120°$

Løsning:

Vi bruker formelen $\displaystyle v_{\text{rad}} = v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}$

a) $\displaystyle 90° = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$

b) $\displaystyle 45° = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$

c) $\displaystyle 60° = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$

d) $\displaystyle 30° = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$

e) $\displaystyle 120° = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$

✏️Eksempel 2: Omregning fra radianer til grader

Skriv om disse vinklene fra radianer til grader.

a) $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
b) $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$
c) $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$
d) $2\pi$
e) $\displaystyle \frac{7\pi}{4}$

Løsning:

Vi bruker formelen $\displaystyle v_{\text{grad}} = v_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}$

a) $\displaystyle \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{180}{2} = 90°$

b) $\displaystyle \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{3 \cdot 180}{4} = \frac{540}{4} = 135°$

c) $\displaystyle \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{5 \cdot 180}{6} = \frac{900}{6} = 150°$

d) $\displaystyle 2\pi = 2\pi \cdot \frac{180}{\pi} = 2 \cdot 180 = 360°$

e) $\displaystyle \frac{7\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{7 \cdot 180}{4} = \frac{1260}{4} = 315°$

Viktige vinkler i radianer

Det er noen vinkler du bør kunne utenat. Disse dukker opp igjen og igjen i matematikk og fysikk.

Grader	Radianer
$0°$	$0$
$30°$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$
$45°$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$
$60°$	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$
$90°$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$120°$	$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$
$135°$	$\displaystyle \frac{3\pi}{4}$
$150°$	$\displaystyle \frac{5\pi}{6}$
$180°$	$\pi$
$270°$	$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$
$360°$	$2\pi$

Hvordan huske disse?

- $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ tilsvarer $30°$ , $45°$ , $60°$ , $90°$
- Nevnerne synker: $6, 4, 3, 2$ mens vinklene i grader øker
- $\pi = 180°$ er en halv omdreining
- $2\pi = 360°$ er en hel omdreining

Vinkler i andre kvadranter kan du finne ved å bruke symmetri. For eksempel er $120° = 180° - 60°$ , så $\displaystyle \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ .

📝Oppgave 4.1.1

Skriv om fra grader til radianer. Gi eksakt svar.

180°

270°

150°

225°

315°

540°

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.2

Skriv om fra radianer til grader.

\displaystyle \frac{\pi}{3}

\displaystyle \frac{2\pi}{3}

\displaystyle \frac{5\pi}{4}

\displaystyle \frac{11\pi}{6}

\displaystyle \frac{4\pi}{3}

5\pi

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 3: Desimaltall til eksakt form

Skriv $1{,}5\pi$ radianer i grader, og skriv $72°$ i radianer på eksakt form.

Løsning:

$1{,}5\pi$ til grader:
$1{,}5\pi = \frac{3\pi}{2}$
$\frac{3\pi}{2} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{3 \cdot 180}{2} = \frac{540}{2} = 270°$

$72°$ til radianer:
$72° = 72 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{72\pi}{180}$

Vi forkorter med $\gcd(72, 180) = 36$ :
$\frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$

Så $\displaystyle 72° = \frac{2\pi}{5}$ radianer.

Buelengde

Når vi har definert radianer som $\displaystyle v = \frac{s}{r}$ , kan vi enkelt løse denne for buelengden $s$ .

📜Formel for buelengde

Buelengden

s

i en sirkelbue med radius

r

og sentralvinkel

v

(i radianer) er gitt ved:

$s = r \cdot v$

Dersom vinkelen er oppgitt i grader, må vi først regne om til radianer:

$s = r \cdot v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi r v_{\text{grad}}}{180}$

Legg merke til hvor enkel formelen $s = rv$ er når vinkelen er i radianer. Dette er en av grunnene til at radianer er så nyttige i matematikken.

✏️Eksempel 4: Buelengde med radian

En sirkelbue har radius $r = 8$ cm og sentralvinkel $\displaystyle v = \frac{3\pi}{4}$ radianer. Finn buelengden.

Løsning:

Vi bruker formelen $s = r \cdot v$ :

$s = 8 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{24\pi}{4} = 6\pi \text{ cm}$

Som desimaltall: $s \approx 18{,}85$ cm

✏️Eksempel 5: Buelengde med grader

En sirkelbue har radius $r = 10$ cm og sentralvinkel $v = 72°$ . Finn buelengden.

Løsning:

Metode 1: Regn om til radianer først
$v = 72° = 72 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5} \text{ radianer}$

$s = r \cdot v = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{20\pi}{5} = 4\pi \text{ cm}$

Metode 2: Bruk formelen direkte
$s = \frac{\pi r v_{\text{grad}}}{180} = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 72}{180} = \frac{720\pi}{180} = 4\pi \text{ cm}$

Som desimaltall: $s \approx 12{,}57$ cm

✏️Eksempel 6: Finne vinkelen

En sirkelbue har radius $r = 5$ cm og buelengde $s = 10$ cm. Finn sentralvinkelen i radianer og i grader.

Løsning:

Vi løser $s = rv$ for $v$ :
$v = \frac{s}{r} = \frac{10}{5} = 2 \text{ radianer}$

Omregning til grader:
$v = 2 \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{360}{\pi} \approx 114{,}6°$

📝Oppgave 4.1.3

Finn buelengden $s$ i hver sirkel. Gi eksakt svar.

r = 6

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{2}

r = 4

cm,

\displaystyle v = \frac{2\pi}{3}

r = 9

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{6}

r = 12

cm,

\displaystyle v = \frac{5\pi}{4}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.4

Finn buelengden $s$ når vinkelen er oppgitt i grader.

r = 5

cm,

v = 90°

r = 8

cm,

v = 45°

r = 3

cm,

v = 120°

r = 10

cm,

v = 36°

Løs oppgaven Tren

Sektorareal

En sirkelsektor er den "kakestykke-formede" delen av en sirkel som begrenses av to radier og en sirkelbue.

📜Formel for sektorareal

Arealet

A

av en sirkelsektor med radius

r

og sentralvinkel

v

(i radianer) er:

$A = \frac{1}{2}r^2 v$

Dersom vinkelen er i grader:

$A = \frac{\pi r^2 v_{\text{grad}}}{360}$

Alternativ formel: Siden $s = rv$ , kan vi også skrive:

$A = \frac{1}{2}rs$

der $s$ er buelengden.

Utledning av sektorarealformelen

En hel sirkel har areal

\pi r^2

og sentralvinkel

2\pi

radianer.

En sektor med vinkel $v$ utgjør andelen $\displaystyle \frac{v}{2\pi}$ av hele sirkelen.

Derfor er sektorarealet:
$A = \frac{v}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{v \cdot \pi r^2}{2\pi} = \frac{1}{2}r^2 v$

∎

✏️Eksempel 7: Sektorareal med radian

Finn arealet av en sirkelsektor med radius $r = 6$ cm og sentralvinkel $\displaystyle v = \frac{\pi}{3}$ .

Løsning:

Vi bruker formelen $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2 v$ :

$A = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\pi}{3} = 18 \cdot \frac{\pi}{3} = 6\pi \text{ cm}^2$

Som desimaltall: $A \approx 18{,}85$ cm $^2$

✏️Eksempel 8: Sektorareal med grader

Finn arealet av en sirkelsektor med radius $r = 10$ cm og sentralvinkel $v = 45°$ .

Løsning:

Metode 1: Regn om til radianer
$v = 45° = \frac{\pi}{4}$

$A = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{100\pi}{8} = \frac{25\pi}{2} \text{ cm}^2$

Metode 2: Bruk graderformelen
$A = \frac{\pi r^2 v_{\text{grad}}}{360} = \frac{\pi \cdot 100 \cdot 45}{360} = \frac{4500\pi}{360} = \frac{25\pi}{2} \text{ cm}^2$

Som desimaltall: $A \approx 39{,}27$ cm $^2$

✏️Eksempel 9: Fra areal til vinkel

En sirkelsektor har radius $r = 8$ cm og areal $A = 16\pi$ cm $^2$ . Finn sentralvinkelen i radianer.

Løsning:

Vi løser $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2 v$ for $v$ :

$16\pi = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot v$
$16\pi = 32v$
$v = \frac{16\pi}{32} = \frac{\pi}{2}$

Sentralvinkelen er $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ radianer (= $90°$ ).

📝Oppgave 4.1.5

Finn arealet av sirkelsektoren. Gi eksakt svar.

r = 4

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{2}

r = 6

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{4}

r = 5

cm,

\displaystyle v = \frac{2\pi}{5}

r = 3

cm,

v = \pi

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.6

Finn arealet av sirkelsektoren når vinkelen er i grader.

r = 8

cm,

v = 60°

r = 12

cm,

v = 30°

r = 9

cm,

v = 40°

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.7

Finn den ukjente størrelsen.

Radius: $r = 10$ cm, Areal: $A = 25\pi$ cm $^2$ . Finn vinkelen $v$ i radianer.

Radius: $r = ?$ , Vinkel: $\displaystyle v = \frac{\pi}{3}$ , Areal: $A = 6\pi$ cm $^2$ . Finn $r$ .

Buelengde: $s = 4\pi$ cm, Radius: $r = 8$ cm. Finn arealet av sektoren.

Løs oppgaven Tren

Enhetssirkelen

Enhetssirkelen er en sirkel med sentrum i origo og radius 1. Den er et uvurderlig verktøy for å forstå trigonometriske funksjoner.

Enhetssirkelen

x^2 + y^2 = 1

Hvordan bruke enhetssirkelen

Tenk deg at du starter i punktet $(1, 0)$ på $x$ -aksen og beveger deg mot klokken langs sirkelen. Etter å ha beveget deg en buelengde på $v$ (der $v$ er vinkelen i radianer), befinner du deg i punktet $(\cos v, \sin v)$ .

Siden omkretsen til enhetssirkelen er $2\pi$ , tilsvarer dette at en hel omdreining er $2\pi$ radianer.

Viktige punkter på enhetssirkelen:

Vinkel	Punkt	$\cos v$	$\sin v$
$0$	$(1, 0)$	$1$	$0$
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$(0, 1)$	$0$	$1$
$\pi$	$(-1, 0)$	$-1$	$0$
$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$	$(0, -1)$	$0$	$-1$
$2\pi$	$(1, 0)$	$1$	$0$

✏️Eksempel 10: Punkter på enhetssirkelen

Finn koordinatene til punktet på enhetssirkelen som tilsvarer vinkelen $\displaystyle v = \frac{\pi}{4}$ .

Løsning:

Vinkelen $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ tilsvarer $45°$ . Punktet ligger på linja $y = x$ (siden vinkelen er midt mellom $x$ -aksen og $y$ -aksen).

Punktet må tilfredsstille $x^2 + y^2 = 1$ og $x = y$ :
$x^2 + x^2 = 1$
$2x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Siden vi er i første kvadrant, er både $x$ og $y$ positive.

Punktet er $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Dette betyr at $\displaystyle \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ og $\displaystyle \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

✏️Eksempel 11: Trigonometriske verdier fra enhetssirkelen

Bruk enhetssirkelen til å finne $\displaystyle \cos\frac{2\pi}{3}$ og $\displaystyle \sin\frac{2\pi}{3}$ .

Løsning:

Vinkelen $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ radianer = $120°$ ligger i andre kvadrant.

Vi kan skrive $\displaystyle \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ , så dette er vinkelen $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ( $60°$ ) speilet om $y$ -aksen.

Fra tabeller eller trekanter vet vi at $\displaystyle \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ved speiling om $y$ -aksen endrer $x$ -koordinaten fortegn, mens $y$ -koordinaten beholder fortegnet:

$\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$
$\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

📜Viktige trigonometriske verdier

For standardvinklene har vi følgende eksakte verdier:

Vinkel	$\cos v$	$\sin v$
$0$	$1$	$0$
$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$0$	$1$

For vinkler i andre kvadranter, bruk symmetri:
-

\cos(\pi - v) = -\cos v

\sin(\pi - v) = \sin v

\cos(\pi + v) = -\cos v

\sin(\pi + v) = -\sin v

\cos(2\pi - v) = \cos v

\sin(2\pi - v) = -\sin v

Huskeregel for sinus og cosinus:

For vinklene $\displaystyle 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ :

Sinus-verdiene er: $\displaystyle \frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$

Det vil si: $\displaystyle 0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$

Cosinus-verdiene er de samme, men i omvendt rekkefølge: $\displaystyle 1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, 0$

✏️Eksempel 12: Vinkler utenfor første kvadrant

Finn eksakt verdi av:
a) $\displaystyle \sin\frac{5\pi}{6}$
b) $\displaystyle \cos\frac{7\pi}{4}$
c) $\displaystyle \sin\frac{4\pi}{3}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$ (andre kvadrant)

$\displaystyle \sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

b) $\displaystyle \frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$ (fjerde kvadrant)

$\displaystyle \cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $\displaystyle \frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$ (tredje kvadrant)

$\displaystyle \sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

✏️Eksempel 13: Buelengde på enhetssirkelen

På enhetssirkelen starter vi i punktet $(1, 0)$ og beveger oss en buelengde på $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ mot klokken. Hvor ender vi?

Løsning:

På enhetssirkelen er radius $r = 1$ , så buelengden er lik vinkelen i radianer.

Å bevege seg en buelengde på $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ tilsvarer å rotere vinkelen $\displaystyle v = \frac{2\pi}{3}$ .

Vi ender i punktet $\displaystyle (\cos\frac{2\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{3})$ .

Fra eksempel 11 vet vi at dette er $\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .

Kalkulator og vinkelmodus

Pass på at kalkulatoren din er satt til riktig modus:

- RAD (radianer) for oppgaver med radianer
- DEG (grader) for oppgaver med grader

En vanlig feil er å beregne $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}$ og få $0{,}027...$ i stedet for $1$ . Dette skjer når kalkulatoren er i gradermodus og tolker $\displaystyle \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ som grader.

Sjekk alltid at $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2} = 1$ for å verifisere at du er i radianmodus.

📝Oppgave 4.1.8

Finn eksakt verdi av følgende trigonometriske uttrykk.

\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}

\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}

\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}

\cos\pi

\displaystyle \sin\frac{3\pi}{2}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.9

Finn eksakt verdi av følgende. Bruk symmetri i enhetssirkelen.

\displaystyle \cos\frac{3\pi}{4}

\displaystyle \sin\frac{5\pi}{4}

\displaystyle \cos\frac{11\pi}{6}

\displaystyle \sin\frac{7\pi}{6}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.10

Finn koordinatene til punktet på enhetssirkelen.

Vinkelen $\displaystyle v = \frac{\pi}{3}$

Vinkelen $\displaystyle v = \frac{5\pi}{6}$

Vinkelen $\displaystyle v = \frac{5\pi}{3}$

✏️Eksempel 14: Praktisk anvendelse - hjul

Et hjul med radius 30 cm roterer med vinkelhastighet $\omega = 2$ rad/s.
a) Hvor langt beveger et punkt på kanten av hjulet seg på 5 sekunder?
b) Hvor mange hele omdreininger gjør hjulet på 10 sekunder?

Løsning:

a) På 5 sekunder roterer hjulet vinkelen:
$v = \omega \cdot t = 2 \cdot 5 = 10 \text{ radianer}$

Buelengden (distansen punktet beveger seg) er:
$s = r \cdot v = 30 \cdot 10 = 300 \text{ cm} = 3 \text{ m}$

b) På 10 sekunder roterer hjulet:
$v = 2 \cdot 10 = 20 \text{ radianer}$

Antall hele omdreininger:
$n = \frac{v}{2\pi} = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi} \approx 3{,}18$

Hjulet gjør 3 hele omdreininger.

✏️Eksempel 15: Kombinert oppgave

En sirkelsektor har buelengde $s = 12$ cm og areal $A = 36$ cm $^2$ . Finn radius og sentralvinkel.

Løsning:

Vi har to likninger:
- $s = rv$ , altså $12 = rv$
- $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2v$ , altså $\displaystyle 36 = \frac{1}{2}r^2v$

Fra den alternative arealformelen $\displaystyle A = \frac{1}{2}rs$ :
$36 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 12 = 6r$
$r = 6 \text{ cm}$

Nå kan vi finne vinkelen fra $s = rv$ :
$12 = 6v$
$v = 2 \text{ radianer}$

Svar: Radius er 6 cm og sentralvinkelen er 2 radianer (ca. $114{,}6°$ ).

📝Oppgave 4.1.11

Kombinerte oppgaver med buelengde og sektorareal.

En sektor har buelengde $s = 8$ cm og areal $A = 24$ cm $^2$ . Finn $r$ og $v$ .

En sektor har buelengde $s = 10$ cm og radius $r = 4$ cm. Finn arealet.

En sektor har areal $A = 50$ cm $^2$ og vinkel $v = 2$ rad. Finn radius og buelengde.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.12

Praktiske anvendelser.

En pendel med lengde 50 cm svinger gjennom en vinkel på $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ rad. Hvor lang er banen pendelspissen beskriver?

Et pariserhjul med radius 40 m roterer $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$ radianer. Hvor langt har en passasjer beveget seg langs kanten?

En pizzabit har form som en sirkelsektor med radius 15 cm og vinkel $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ . Finn arealet av pizzabiten.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.13

Regn ut uten kalkulator.

\displaystyle \sin^2\frac{\pi}{4} + \cos^2\frac{\pi}{4}

\displaystyle 2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}

\displaystyle \cos^2\frac{\pi}{3} - \sin^2\frac{\pi}{3}

\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{6}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4.1.14

Utfordrende oppgaver.

Vis at $1$ radian $\approx 57{,}3°$ ved å beregne $\displaystyle \frac{180}{\pi}$ .

Finn alle vinkler $v \in [0, 2\pi)$ slik at $\displaystyle \sin v = \frac{1}{2}$ .

Finn alle vinkler $v \in [0, 2\pi)$ slik at $\displaystyle \cos v = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

📝Oppgave 4.1.15

Tekstoppgaver med radianer.

Jordas radius ved ekvator er ca. 6378 km. Hvor lang er en breddegradslinje ved ekvator som dekker $15°$ ?

En CD-plate har indre radius 2{,}3 cm og ytre radius 5{,}8 cm. Finn arealet av "ringen" av musikk mellom disse radiene for en sektor på $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ .

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

Radianer:
- En radian er vinkelen som tilsvarer en bue med lengde lik radiusen
- $180° = \pi$ radianer, $360° = 2\pi$ radianer
- Omregning: $\displaystyle v_{\text{rad}} = v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}$

Buelengde og sektorareal:
- Buelengde: $s = rv$ (når $v$ er i radianer)
- Sektorareal: $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2v$ eller $\displaystyle A = \frac{1}{2}rs$

Enhetssirkelen:
- Sirkel med radius 1 og sentrum i origo
- Punktet for vinkel $v$ er $(\cos v, \sin v)$
- Viktige verdier bør pugges for standardvinklene

Viktige vinkler å huske:

$\displaystyle \frac{\pi}{6} = 30°$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4} = 45°$ , $\displaystyle \frac{\pi}{3} = 60°$ , $\displaystyle \frac{\pi}{2} = 90°$ , $\pi = 180°$ , $2\pi = 360°$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Oppgaver

Lett5 oppgaver

4.1.1

4.1.2

4.1.3

4.1.5

4.1.8

Medium6 oppgaver

4.1.4

4.1.6

4.1.7

4.1.9

4.1.10

4.1.13

Vanskelig4 oppgaver

4.1.11

4.1.12

4.1.14

4.1.15

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.