4.1 Radianer og enhetssirkelen | Matematikk R2

Radianer, buelengde og sektorareal, og enhetssirkelen: sin, cos og tan for alle vinkler, fortegn, referansevinkler og den pytagoreiske identiteten.

45 min

31 oppgaver

RadianerGraderBuelengdeSektorarealEnhetssirkelenTangensFortegnReferansevinkelPytagoreisk identitet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 31 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

4.3Sinuslikninger 4.4Cosinuslikninger 4.5Tangenslikninger 4.6Trigonometriske formler

Hvorfor radianer?

Til nå har du mest sannsynlig brukt grader som vinkelmål. En hel omdreining er $360°$ , en rett vinkel er $90°$ , og så videre. Men i høyere matematikk, spesielt i analyse (derivasjon og integrasjon) og trigonometri, er det mye mer praktisk å bruke et annet vinkelmål: radianer.

Radianer gjør mange formler enklere og mer elegante. For eksempel blir derivasjon av trigonometriske funksjoner mye penere når vi bruker radianer. I dette kapitlet skal vi lære:

- Hva en radian er
- Hvordan vi regner om mellom grader og radianer
- Viktige vinkler uttrykt i radianer
- Formler for buelengde og sektorareal
- Enhetssirkelen: sinus, cosinus og tangens for alle vinkler
- Fortegn, referansevinkler og den pytagoreiske identiteten

Radian

s

Intuisjon bak radianer

Tenk deg at du har en sirkel med radius $r$ . Hvis du "ruller ut" en bue langs sirkelen som er nøyaktig like lang som radiusen, så er vinkelen denne buen spenner over nøyaktig 1 radian.

Siden omkretsen til en sirkel er $2\pi r$ , får vi plass til nøyaktig $2\pi$ slike buer rundt hele sirkelen. Derfor er en hel omdreining lik $2\pi$ radianer.

En radian er omtrent $57{,}3°$ (mer presist: $\displaystyle \frac{180°}{\pi} \approx 57{,}2958°$ ).

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Én radian på enhetssirkelen

Vinkelen på 1 radian spenner over en sirkelbue som er nøyaktig like lang som radien. Punktet

B = (\cos 1, \sin 1)

ligger der buen fra

A

har lengde 1. Hele omkretsen tilsvarer

2\pi

radianer.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

O = (0, 0)
A = (1, 0)
c = Circle(O, 1)
B = (cos(1), sin(1))
b = CircularArc(O, A, B)
Angle(A, O, B)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📜Omregning mellom grader og radianer

Siden

360° = 2\pi

radianer, har vi:

$180° = \pi \text{ radianer}$

Fra grader til radianer:
$v_{\text{rad}} = v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}$

Fra radianer til grader:
$v_{\text{grad}} = v_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}$

Huskeregel: For å gå fra grader til radianer, ganger du med

\displaystyle \frac{\pi}{180}

. For å gå motsatt vei, ganger du med

\displaystyle \frac{180}{\pi}

Du kan også tenke på det slik: $\pi$ radianer = $180°$ , så brøken $\displaystyle \frac{\pi}{180}$ gir deg "radianer per grad".

✏️Eksempel 1: Omregning fra grader til radianer

Skriv om disse vinklene fra grader til radianer. Gi eksakt svar.

a) $90°$
b) $45°$
c) $60°$
d) $30°$
e) $120°$

Løsning:

Vi bruker formelen $\displaystyle v_{\text{rad}} = v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}$

a) $\displaystyle 90° = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$

b) $\displaystyle 45° = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$

c) $\displaystyle 60° = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$

d) $\displaystyle 30° = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$

e) $\displaystyle 120° = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$

Svar: a) $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ b) $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ c) $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ d) $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ e) $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$

✏️Eksempel 2: Omregning fra radianer til grader

Skriv om disse vinklene fra radianer til grader.

a) $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
b) $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$
c) $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$
d) $2\pi$
e) $\displaystyle \frac{7\pi}{4}$

Løsning:

Vi bruker formelen $\displaystyle v_{\text{grad}} = v_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}$

a) $\displaystyle \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{180}{2} = 90°$

b) $\displaystyle \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{3 \cdot 180}{4} = \frac{540}{4} = 135°$

c) $\displaystyle \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{5 \cdot 180}{6} = \frac{900}{6} = 150°$

d) $\displaystyle 2\pi = 2\pi \cdot \frac{180}{\pi} = 2 \cdot 180 = 360°$

e) $\displaystyle \frac{7\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{7 \cdot 180}{4} = \frac{1260}{4} = 315°$

Svar: a) $90°$ b) $135°$ c) $150°$ d) $360°$ e) $315°$

Viktige vinkler i radianer

Det er noen vinkler du bør kunne utenat. Disse dukker opp igjen og igjen i matematikk og fysikk.

Grader	Radianer
$0°$	$0$
$30°$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$
$45°$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$
$60°$	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$
$90°$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$120°$	$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$
$135°$	$\displaystyle \frac{3\pi}{4}$
$150°$	$\displaystyle \frac{5\pi}{6}$
$180°$	$\pi$
$270°$	$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$
$360°$	$2\pi$

Hvordan huske disse?

- $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ tilsvarer $30°$ , $45°$ , $60°$ , $90°$
- Nevnerne synker: $6, 4, 3, 2$ mens vinklene i grader øker
- $\pi = 180°$ er en halv omdreining
- $2\pi = 360°$ er en hel omdreining

Vinkler i andre kvadranter kan du finne ved å bruke symmetri. For eksempel er $120° = 180° - 60°$ , så $\displaystyle \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ .

📝Oppgave 4.1.1

Skriv om fra grader til radianer. Gi eksakt svar.

180°

270°

150°

225°

315°

540°

Løs oppgaven

📝Oppgave 4.1.2

Skriv om fra radianer til grader.

\displaystyle \frac{\pi}{3}

\displaystyle \frac{2\pi}{3}

\displaystyle \frac{5\pi}{4}

\displaystyle \frac{11\pi}{6}

\displaystyle \frac{4\pi}{3}

5\pi

Løs oppgaven

✏️Eksempel 3: Desimaltall til eksakt form

Skriv $1{,}5\pi$ radianer i grader, og skriv $72°$ i radianer på eksakt form.

Løsning:

$1{,}5\pi$ til grader:
$1{,}5\pi = \frac{3\pi}{2}$
$\frac{3\pi}{2} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{3 \cdot 180}{2} = \frac{540}{2} = 270°$

$72°$ til radianer:
$72° = 72 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{72\pi}{180}$

Vi forkorter med $\gcd(72, 180) = 36$ :
$\frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$

Svar: $1{,}5\pi = 270°$ og $\displaystyle 72° = \frac{2\pi}{5}$

Buelengde

Når vi har definert radianer som $\displaystyle v = \frac{s}{r}$ , kan vi enkelt løse denne for buelengden $s$ .

📜Formel for buelengde

Buelengden

s

i en sirkelbue med radius

r

og sentralvinkel

v

(i radianer) er gitt ved:

$s = r \cdot v$

Dersom vinkelen er oppgitt i grader, må vi først regne om til radianer:

$s = r \cdot v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi r v_{\text{grad}}}{180}$

Legg merke til hvor enkel formelen $s = rv$ er når vinkelen er i radianer. Dette er en av grunnene til at radianer er så nyttige i matematikken.

✏️Eksempel 4: Buelengde med radian

En sirkelbue har radius $r = 8$ cm og sentralvinkel $\displaystyle v = \frac{3\pi}{4}$ radianer. Finn buelengden.

Løsning:

Vi bruker formelen $s = r \cdot v$ :

$s = 8 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{24\pi}{4} = 6\pi \text{ cm}$

Som desimaltall: $s \approx 18{,}85$ cm

Svar: Buelengden er $6\pi$ cm $\approx 18{,}85$ cm.

✏️Eksempel 5: Buelengde med grader

En sirkelbue har radius $r = 10$ cm og sentralvinkel $v = 72°$ . Finn buelengden.

Løsning:

Metode 1: Regn om til radianer først
$v = 72° = 72 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5} \text{ radianer}$

$s = r \cdot v = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{20\pi}{5} = 4\pi \text{ cm}$

Metode 2: Bruk formelen direkte
$s = \frac{\pi r v_{\text{grad}}}{180} = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 72}{180} = \frac{720\pi}{180} = 4\pi \text{ cm}$

Som desimaltall: $s \approx 12{,}57$ cm

Svar: Buelengden er $4\pi$ cm $\approx 12{,}57$ cm.

✏️Eksempel 6: Finne vinkelen

En sirkelbue har radius $r = 5$ cm og buelengde $s = 10$ cm. Finn sentralvinkelen i radianer og i grader.

Løsning:

Vi løser $s = rv$ for $v$ :
$v = \frac{s}{r} = \frac{10}{5} = 2 \text{ radianer}$

Omregning til grader:
$v = 2 \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{360}{\pi} \approx 114{,}6°$

Svar: Sentralvinkelen er $2$ radianer $\approx 114{,}6°$ .

📝Oppgave 4.1.3

Finn buelengden $s$ i hver sirkel. Gi eksakt svar.

r = 6

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{2}

r = 4

cm,

\displaystyle v = \frac{2\pi}{3}

r = 9

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{6}

r = 12

cm,

\displaystyle v = \frac{5\pi}{4}

Løs oppgaven

📝Oppgave 4.1.4

Finn buelengden $s$ når vinkelen er oppgitt i grader.

r = 5

cm,

v = 90°

r = 8

cm,

v = 45°

r = 3

cm,

v = 120°

r = 10

cm,

v = 36°

Løs oppgaven

Sektorareal

En sirkelsektor er den "kakestykke-formede" delen av en sirkel som begrenses av to radier og en sirkelbue.

📜Formel for sektorareal

Arealet

A

av en sirkelsektor med radius

r

og sentralvinkel

v

(i radianer) er:

$A = \frac{1}{2}r^2 v$

Dersom vinkelen er i grader:

$A = \frac{\pi r^2 v_{\text{grad}}}{360}$

Alternativ formel: Siden $s = rv$ , kan vi også skrive:

$A = \frac{1}{2}rs$

der $s$ er buelengden.

Utledning av sektorarealformelen

En hel sirkel har areal

\pi r^2

og sentralvinkel

2\pi

radianer.

En sektor med vinkel $v$ utgjør andelen $\displaystyle \frac{v}{2\pi}$ av hele sirkelen.

Derfor er sektorarealet:
$A = \frac{v}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{v \cdot \pi r^2}{2\pi} = \frac{1}{2}r^2 v$

∎

✏️Eksempel 7: Sektorareal med radian

Finn arealet av en sirkelsektor med radius $r = 6$ cm og sentralvinkel $\displaystyle v = \frac{\pi}{3}$ .

Løsning:

Vi bruker formelen $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2 v$ :

$A = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\pi}{3} = 18 \cdot \frac{\pi}{3} = 6\pi \text{ cm}^2$

Som desimaltall: $A \approx 18{,}85$ cm $^2$

Svar: Arealet er $6\pi$ cm $^2$ $\approx 18{,}85$ cm $^2$ .

✏️Eksempel 8: Sektorareal med grader

Finn arealet av en sirkelsektor med radius $r = 10$ cm og sentralvinkel $v = 45°$ .

Løsning:

Metode 1: Regn om til radianer
$v = 45° = \frac{\pi}{4}$

$A = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{100\pi}{8} = \frac{25\pi}{2} \text{ cm}^2$

Metode 2: Bruk graderformelen
$A = \frac{\pi r^2 v_{\text{grad}}}{360} = \frac{\pi \cdot 100 \cdot 45}{360} = \frac{4500\pi}{360} = \frac{25\pi}{2} \text{ cm}^2$

Som desimaltall: $A \approx 39{,}27$ cm $^2$

Svar: Arealet er $\displaystyle \frac{25\pi}{2}$ cm $^2$ $\approx 39{,}27$ cm $^2$ .

✏️Eksempel 9: Fra areal til vinkel

En sirkelsektor har radius $r = 8$ cm og areal $A = 16\pi$ cm $^2$ . Finn sentralvinkelen i radianer.

Løsning:

Vi løser $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2 v$ for $v$ :

$16\pi = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot v$
$16\pi = 32v$
$v = \frac{16\pi}{32} = \frac{\pi}{2}$

Svar: Sentralvinkelen er $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ radianer ( $90°$ ).

📝Oppgave 4.1.5

Finn arealet av sirkelsektoren. Gi eksakt svar.

r = 4

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{2}

r = 6

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{4}

r = 5

cm,

\displaystyle v = \frac{2\pi}{5}

r = 3

cm,

v = \pi

Løs oppgaven

📝Oppgave 4.1.6

Finn arealet av sirkelsektoren når vinkelen er i grader.

r = 8

cm,

v = 60°

r = 12

cm,

v = 30°

r = 9

cm,

v = 40°

Løs oppgaven

📝Oppgave 4.1.7

Finn den ukjente størrelsen.

Radius: $r = 10$ cm, Areal: $A = 25\pi$ cm $^2$ . Finn vinkelen $v$ i radianer.

Radius: $r = ?$ , Vinkel: $\displaystyle v = \frac{\pi}{3}$ , Areal: $A = 6\pi$ cm $^2$ . Finn $r$ .

Buelengde: $s = 4\pi$ cm, Radius: $r = 8$ cm. Finn arealet av sektoren.

Løs oppgaven

Enhetssirkelen

Enhetssirkelen er en sirkel med sentrum i origo og radius 1. Den er et uvurderlig verktøy for å forstå trigonometriske funksjoner.

Enhetssirkelen

x^2 + y^2 = 1

Hvordan bruke enhetssirkelen

Tenk deg at du starter i punktet $(1, 0)$ på $x$ -aksen og beveger deg mot klokken langs sirkelen. Etter å ha beveget deg en buelengde på $v$ (der $v$ er vinkelen i radianer), befinner du deg i punktet $(\cos v, \sin v)$ .

Siden omkretsen til enhetssirkelen er $2\pi$ , tilsvarer dette at en hel omdreining er $2\pi$ radianer.

Viktige punkter på enhetssirkelen:

Vinkel	Punkt	$\cos v$	$\sin v$
$0$	$(1, 0)$	$1$	$0$
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$(0, 1)$	$0$	$1$
$\pi$	$(-1, 0)$	$-1$	$0$
$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$	$(0, -1)$	$0$	$-1$
$2\pi$	$(1, 0)$	$1$	$0$

✏️Eksempel 10: Punkter på enhetssirkelen

Finn koordinatene til punktet på enhetssirkelen som tilsvarer vinkelen $\displaystyle v = \frac{\pi}{4}$ .

Løsning:

Vinkelen $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ tilsvarer $45°$ . Punktet ligger på linja $y = x$ (siden vinkelen er midt mellom $x$ -aksen og $y$ -aksen).

Punktet må tilfredsstille $x^2 + y^2 = 1$ og $x = y$ :
$x^2 + x^2 = 1$
$2x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Siden vi er i første kvadrant, er både $x$ og $y$ positive.

Punktet er $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Dette betyr at $\displaystyle \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ og $\displaystyle \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Svar: Punktet er $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

✏️Eksempel 11: Trigonometriske verdier fra enhetssirkelen

Bruk enhetssirkelen til å finne $\displaystyle \cos\frac{2\pi}{3}$ og $\displaystyle \sin\frac{2\pi}{3}$ .

Løsning:

Vinkelen $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ radianer = $120°$ ligger i andre kvadrant.

Vi kan skrive $\displaystyle \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ , så dette er vinkelen $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ( $60°$ ) speilet om $y$ -aksen.

Den halve likesidede trekanten er en $30°$ - $60°$ - $90°$ -trekant. Med hypotenus $1$ har den kateter $\displaystyle \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Derfor er $\displaystyle \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ved speiling om $y$ -aksen endrer $x$ -koordinaten fortegn, mens $y$ -koordinaten beholder fortegnet:

$\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$
$\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Svar: $\displaystyle \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ og $\displaystyle \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

📜Viktige trigonometriske verdier

For standardvinklene har vi følgende eksakte verdier:

Vinkel	$\cos v$	$\sin v$	$\tan v$
$0$	$1$	$0$	$0$
$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\sqrt{3}$
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$0$	$1$	udef.

For vinkler i andre kvadranter, bruk symmetri:
-

\cos(\pi - v) = -\cos v

\sin(\pi - v) = \sin v

\cos(\pi + v) = -\cos v

\sin(\pi + v) = -\sin v

\cos(2\pi - v) = \cos v

\sin(2\pi - v) = -\sin v

Huskeregel for sinus og cosinus:

For vinklene $\displaystyle 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ :

Sinus-verdiene er: $\displaystyle \frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$

Det vil si: $\displaystyle 0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$

Cosinus-verdiene er de samme, men i omvendt rekkefølge: $\displaystyle 1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, 0$

✏️Eksempel 12: Vinkler utenfor første kvadrant

Finn eksakt verdi av:
a) $\displaystyle \sin\frac{5\pi}{6}$
b) $\displaystyle \cos\frac{7\pi}{4}$
c) $\displaystyle \sin\frac{4\pi}{3}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$ (andre kvadrant)

$\displaystyle \sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

b) $\displaystyle \frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$ (fjerde kvadrant)

$\displaystyle \cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $\displaystyle \frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$ (tredje kvadrant)

$\displaystyle \sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Svar: a) $\displaystyle \frac{1}{2}$ b) $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ c) $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}$

✏️Eksempel 13: Buelengde på enhetssirkelen

På enhetssirkelen starter vi i punktet $(1, 0)$ og beveger oss en buelengde på $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ mot klokken. Hvor ender vi?

Løsning:

På enhetssirkelen er radius $r = 1$ , så buelengden er lik vinkelen i radianer.

Å bevege seg en buelengde på $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ tilsvarer å rotere vinkelen $\displaystyle v = \frac{2\pi}{3}$ .

Vi ender i punktet $\displaystyle (\cos\frac{2\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{3})$ .

Fra eksempel 11 vet vi at dette er $\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .

Svar: Vi ender i punktet $\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .

Kalkulator og vinkelmodus

Pass på at kalkulatoren din er satt til riktig modus:

- RAD (radianer) for oppgaver med radianer
- DEG (grader) for oppgaver med grader

En vanlig feil er å beregne $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}$ og få $0{,}027...$ i stedet for $1$ . Dette skjer når kalkulatoren er i gradermodus og tolker $\displaystyle \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ som grader.

Sjekk alltid at $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2} = 1$ for å verifisere at du er i radianmodus.

📝Oppgave 4.1.8

Finn eksakt verdi av følgende trigonometriske uttrykk.

\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}

\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}

\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}

\cos\pi

\displaystyle \sin\frac{3\pi}{2}

Løs oppgaven

📝Oppgave 4.1.9

Finn eksakt verdi av følgende. Bruk symmetri i enhetssirkelen.

\displaystyle \cos\frac{3\pi}{4}

\displaystyle \sin\frac{5\pi}{4}

\displaystyle \cos\frac{11\pi}{6}

\displaystyle \sin\frac{7\pi}{6}

Løs oppgaven

📝Oppgave 4.1.10

Finn koordinatene til punktet på enhetssirkelen.

Vinkelen $\displaystyle v = \frac{\pi}{3}$

Vinkelen $\displaystyle v = \frac{5\pi}{6}$

Vinkelen $\displaystyle v = \frac{5\pi}{3}$

Tangens og vinkler i alle kvadranter

Vi måler vinkler fra den positive $x$ -aksen:
- Positive vinkler måles mot klokken (mot urviseren)
- Negative vinkler måles med klokken

En vinkel $v$ bestemmer et punkt $P$ på enhetssirkelen ved å starte fra punktet $(1, 0)$ og bevege seg langs sirkelen.

Sinus, cosinus og tangens for alle vinkler

v

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Punkt på enhetssirkelen

Punktet

P = (\cos t, \sin t)

på enhetssirkelen. Dra i glideren

t

og se hvordan førstekoordinaten er

\cos t

og andrekoordinaten er

\sin t

— for alle vinkler, også over

90°

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

c: x^2 + y^2 = 1
t = Slider(0, 2pi)
P = (cos(t), sin(t))
s = Segment((0, 0), P)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 4.1.11

Finn $\tan v$ for $v = 0°$ , $45°$ , $180°$ og $270°$ . For hvilke vinkler er tangens ikke definert?

Fortegn i de fire kvadrantene

Enhetssirkelen deles inn i fire kvadranter:

- 1. kvadrant: $0° < v < 90°$ (begge koordinater positive)
- 2. kvadrant: $90° < v < 180°$ ( $x < 0$ , $y > 0$ )
- 3. kvadrant: $180° < v < 270°$ (begge koordinater negative)
- 4. kvadrant: $270° < v < 360°$ ( $x > 0$ , $y < 0$ )

📜Fortegn for de trigonometriske funksjonene

Kvadrant	$\cos v$	$\sin v$	$\tan v$
1. ( $0°$ – $90°$ )	$+$	$+$	$+$
2. ( $90°$ – $180°$ )	$-$	$+$	$-$
3. ( $180°$ – $270°$ )	$-$	$-$	$+$
4. ( $270°$ – $360°$ )	$+$	$-$	$-$

\cos v

x

-koordinaten og

\sin v

y

-koordinaten, så fortegnene følger fortegnene til

x

y

i kvadranten. Fortegnet til

\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v}

følger av de to.

✏️Eksempel 14: Bestemme fortegn

Avgjør fortegnet til: a) $\sin 150°$ b) $\cos 200°$ c) $\tan 320°$

a) $\sin 150°$ :

150°

ligger i 2. kvadrant (mellom

90°

180°

).
I 2. kvadrant er

y > 0

, så

\sin 150° > 0

(positiv).

b) $\cos 200°$ :
$200°$ ligger i 3. kvadrant (mellom $180°$ og $270°$ ).
I 3. kvadrant er $x < 0$ , så $\cos 200° < 0$ (negativ).

c) $\tan 320°$ :
$320°$ ligger i 4. kvadrant (mellom $270°$ og $360°$ ).
I 4. kvadrant er $x > 0$ og $y < 0$ , så $\displaystyle \tan 320° = \frac{y}{x} < 0$ (negativ).

Svar: a) positiv b) negativ c) negativ

📝Oppgave 4.1.12

Avgjør fortegnet til: a) $\cos 120°$ b) $\sin 250°$ c) $\tan 100°$ d) $\sin(-30°)$

Referansevinkler

For å finne eksakte verdier for vinkler utenfor første kvadrant bruker vi referansevinkler.

Referansevinkel

v_r

✏️Eksempel 15: Finne referansevinkler

Finn referansevinkelen til: a) $135°$ b) $240°$ c) $315°$

a) $135°$ ligger i 2. kvadrant:

v_r = 180° - 135° = 45°

b) $240°$ ligger i 3. kvadrant:
$v_r = 240° - 180° = 60°$

c) $315°$ ligger i 4. kvadrant:
$v_r = 360° - 315° = 45°$

Svar: a) $45°$ b) $60°$ c) $45°$

📜Bruk av referansevinkler

De trigonometriske verdiene for en vinkel

v

har samme absoluttverdi som for referansevinkelen

v_r

Fortegnet bestemmes av hvilken kvadrant $v$ ligger i.

✏️Eksempel 16: Eksakte verdier med referansevinkler

Finn eksakt verdi for $\sin 150°$ .

150°

ligger i 2. kvadrant.

Referansevinkelen er $v_r = 180° - 150° = 30°$ .

$\displaystyle \sin 30° = \frac{1}{2}$

I 2. kvadrant er sinus positiv.

Svar: $\displaystyle \sin 150° = +\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

✏️Eksempel 17: Cosinus i 3. kvadrant

Finn eksakt verdi for $\cos 240°$ .

240°

ligger i 3. kvadrant.

Referansevinkelen er $v_r = 240° - 180° = 60°$ .

$\displaystyle \cos 60° = \frac{1}{2}$

I 3. kvadrant er cosinus negativ.

Svar: $\displaystyle \cos 240° = -\frac{1}{2}$

✏️Eksempel 18: Tangens i 4. kvadrant

Finn eksakt verdi for $\tan 315°$ .

315°

ligger i 4. kvadrant.

Referansevinkelen er $v_r = 360° - 315° = 45°$ .

$\tan 45° = 1$

I 4. kvadrant er tangens negativ (positiv $x$ , negativ $y$ ).

Svar: $\tan 315° = -1$

📝Oppgave 4.1.13

Finn eksakt verdi for: a) $\sin 120°$ b) $\cos 225°$ c) $\tan 300°$

Den pytagoreiske identiteten

En av de viktigste sammenhengene i trigonometri følger direkte fra definisjonen på enhetssirkelen.

📜Den pytagoreiske identiteten

For alle vinkler

v

gjelder:

$\sin^2 v + \cos^2 v = 1$

Denne identiteten kalles også grunnidentiteten i trigonometri.

✏️Eksempel 19: Finne sin når cos er kjent

Gitt at $\displaystyle \cos v = \frac{3}{5}$ og $v$ ligger i 4. kvadrant. Finn $\sin v$ .

Vi bruker

\sin^2 v + \cos^2 v = 1

$\sin^2 v + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1$
$\sin^2 v + \frac{9}{25} = 1$
$\sin^2 v = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
$\sin v = \pm \frac{4}{5}$

Siden $v$ ligger i 4. kvadrant, er sinus negativ:
$\sin v = -\frac{4}{5}$

Svar: $\displaystyle \sin v = -\frac{4}{5}$

✏️Eksempel 20: Finne cos når sin er kjent

Gitt at $\displaystyle \sin v = \frac{5}{13}$ og $90° < v < 180°$ . Finn $\cos v$ og $\tan v$ .

Finn $\cos v$ :

$\sin^2 v + \cos^2 v = 1$
$\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 v = 1$
$\frac{25}{169} + \cos^2 v = 1$
$\cos^2 v = \frac{144}{169}$
$\cos v = \pm \frac{12}{13}$

Siden $v$ er i 2. kvadrant, er cosinus negativ:
$\cos v = -\frac{12}{13}$

Finn $\tan v$ :
$\tan v = \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12}$

Svar: $\displaystyle \cos v = -\frac{12}{13}$ og $\displaystyle \tan v = -\frac{5}{12}$

📝Oppgave 4.1.14

Gitt at $\displaystyle \cos v = -\frac{4}{5}$ og $v$ ligger i 3. kvadrant. Finn $\sin v$ og $\tan v$ .

📝Oppgave 4.1.15

Gitt at $\displaystyle \sin v = -\frac{7}{25}$ og $270° < v < 360°$ . Finn $\cos v$ .

✏️Eksempel 21: Negative vinkler

Finn eksakt verdi for $\sin(-60°)$ og $\cos(-60°)$ .

En negativ vinkel går med klokken fra

(1, 0)

$-60°$ havner i 4. kvadrant (samme som $300°$ ).

Referansevinkelen er $60°$ .

$\sin(-60°) = -\sin 60° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
(negativ fordi $y < 0$ i 4. kvadrant)

$\cos(-60°) = \cos 60° = \frac{1}{2}$
(positiv fordi $x > 0$ i 4. kvadrant)

Generelt: $\sin(-v) = -\sin v$ og $\cos(-v) = \cos v$

Svar: $\displaystyle \sin(-60°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ og $\displaystyle \cos(-60°) = \frac{1}{2}$

📜Symmetriegenskaper

For negative vinkler:

\sin(-v) = -\sin v \quad \text{(odde funksjon)}

\cos(-v) = \cos v \quad \text{(like funksjon)}

\tan(-v) = -\tan v \quad \text{(odde funksjon)}

For vinkler over $360°$ :
$\sin(v + 360°) = \sin v$
$\cos(v + 360°) = \cos v$
$\tan(v + 180°) = \tan v$

📝Oppgave 4.1.16

Finn eksakt verdi for: a) $\sin(-45°)$ b) $\cos(-120°)$ c) $\tan(-30°)$

✏️Eksempel 22: Store vinkler

Finn eksakt verdi for $\sin 420°$ og $\cos 750°$ .

$\sin 420°$ :

420° = 360° + 60°

, så vi har gått en hel runde pluss

60°

\sin 420° = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos 750°$ :
$750° = 2 \cdot 360° + 30° = 720° + 30°$
$\cos 750° = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Svar: $\displaystyle \sin 420° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ og $\displaystyle \cos 750° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

📝Oppgave 4.1.17

Finn eksakt verdi for: a) $\cos 405°$ b) $\sin 510°$ c) $\tan 585°$

✏️Eksempel 23: Forenkle uttrykk

Forenkle uttrykket $\displaystyle \frac{1 - \cos^2 v}{\sin v}$ for $\sin v \neq 0$ .

Vi bruker at

\sin^2 v + \cos^2 v = 1

, som gir

\sin^2 v = 1 - \cos^2 v

$\frac{1 - \cos^2 v}{\sin v} = \frac{\sin^2 v}{\sin v} = \sin v$

Svar: $\displaystyle \frac{1 - \cos^2 v}{\sin v} = \sin v$

✏️Eksempel 24: Bevise en identitet

Vis at $\displaystyle \tan^2 v + 1 = \frac{1}{\cos^2 v}$ for $\cos v \neq 0$ .

Vi starter med venstre side:

$\tan^2 v + 1 = \frac{\sin^2 v}{\cos^2 v} + 1 = \frac{\sin^2 v + \cos^2 v}{\cos^2 v}$

Ved å bruke $\sin^2 v + \cos^2 v = 1$ :

$= \frac{1}{\cos^2 v}$

som er høyre side. $\square$

📝Oppgave 4.1.18

Forenkle: a) $(\sin v + \cos v)^2$ b) $\displaystyle \frac{\sin^2 v}{1 + \cos v}$

📝Oppgave 4.1.19

Et punkt på enhetssirkelen har $x$ -koordinat $\displaystyle -\frac{1}{2}$ . Finn alle mulige $y$ -koordinater og tilhørende vinkler $v$ med $0° \leq v < 360°$ .

📝Oppgave 4.1.20

Vis at $\displaystyle 1 + \tan^2 v = \frac{1}{\cos^2 v}$ for $\cos v \neq 0$ , og bruk dette til å finne $\cos v$ når $\tan v = 2$ og $v$ er i 1. kvadrant.

✏️Eksempel 25: Praktisk anvendelse - hjul

Et hjul med radius 30 cm roterer med vinkelhastighet $\omega = 2$ rad/s.
a) Hvor langt beveger et punkt på kanten av hjulet seg på 5 sekunder?
b) Hvor mange hele omdreininger gjør hjulet på 10 sekunder?

Løsning:

a) På 5 sekunder roterer hjulet vinkelen:
$v = \omega \cdot t = 2 \cdot 5 = 10 \text{ radianer}$

Buelengden (distansen punktet beveger seg) er:
$s = r \cdot v = 30 \cdot 10 = 300 \text{ cm} = 3 \text{ m}$

b) På 10 sekunder roterer hjulet:
$v = 2 \cdot 10 = 20 \text{ radianer}$

Antall hele omdreininger:
$n = \frac{v}{2\pi} = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi} \approx 3{,}18$

Svar: a) Punktet beveger seg 300 cm = 3 m. b) Hjulet gjør 3 hele omdreininger.

✏️Eksempel 26: Kombinert oppgave

En sirkelsektor har buelengde $s = 12$ cm og areal $A = 36$ cm $^2$ . Finn radius og sentralvinkel.

Løsning:

Vi har to likninger:
- $s = rv$ , altså $12 = rv$
- $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2v$ , altså $\displaystyle 36 = \frac{1}{2}r^2v$

Fra den alternative arealformelen $\displaystyle A = \frac{1}{2}rs$ :
$36 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 12 = 6r$
$r = 6 \text{ cm}$

Nå kan vi finne vinkelen fra $s = rv$ :
$12 = 6v$
$v = 2 \text{ radianer}$

Svar: Radius er 6 cm og sentralvinkelen er 2 radianer (ca. $114{,}6°$ ).

📝Oppgave 4.1.21

Kombinerte oppgaver med buelengde og sektorareal.

En sektor har buelengde $s = 8$ cm og areal $A = 24$ cm $^2$ . Finn $r$ og $v$ .

En sektor har buelengde $s = 10$ cm og radius $r = 4$ cm. Finn arealet.

En sektor har areal $A = 50$ cm $^2$ og vinkel $v = 2$ rad. Finn radius og buelengde.

Løs oppgaven

📝Oppgave 4.1.22

Praktiske anvendelser.

En pendel med lengde 50 cm svinger gjennom en vinkel på $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ rad. Hvor lang er banen pendelspissen beskriver?

Et pariserhjul med radius 40 m roterer $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$ radianer. Hvor langt har en passasjer beveget seg langs kanten?

En pizzabit har form som en sirkelsektor med radius 15 cm og vinkel $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ . Finn arealet av pizzabiten.

Løs oppgaven

📝Oppgave 4.1.23

Regn ut uten kalkulator.

\displaystyle \sin^2\frac{\pi}{4} + \cos^2\frac{\pi}{4}

\displaystyle 2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}

\displaystyle \cos^2\frac{\pi}{3} - \sin^2\frac{\pi}{3}

\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{6}

Løs oppgaven

📝Oppgave 4.1.24

Utfordrende oppgaver.

Vis at $1$ radian $\approx 57{,}3°$ ved å beregne $\displaystyle \frac{180}{\pi}$ .

Finn alle vinkler $v \in [0, 2\pi\rangle$ slik at $\displaystyle \sin v = \frac{1}{2}$ .

Finn alle vinkler $v \in [0, 2\pi\rangle$ slik at $\displaystyle \cos v = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

📝Oppgave 4.1.25

Tekstoppgaver med radianer.

Jordas radius ved ekvator er ca. 6378 km. Hvor lang er buen langs ekvator mellom to lengdegrader som ligger $15°$ fra hverandre?

En CD-plate har indre radius 2,3 cm og ytre radius 5,8 cm. Finn arealet av "ringen" av musikk mellom disse radiene for en sektor på $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ .

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

Radianer:
- En radian er vinkelen som tilsvarer en bue med lengde lik radiusen
- $180° = \pi$ radianer, $360° = 2\pi$ radianer
- Omregning: $\displaystyle v_{\text{rad}} = v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}$

Buelengde og sektorareal:
- Buelengde: $s = rv$ (når $v$ er i radianer)
- Sektorareal: $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2v$ eller $\displaystyle A = \frac{1}{2}rs$

Enhetssirkelen:
- Sirkel med radius 1 og sentrum i origo
- Punktet for vinkel $v$ er $(\cos v, \sin v)$
- Viktige verdier bør pugges for standardvinklene

Tangens, fortegn og referansevinkler:
- $\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$ , ikke definert når $\cos v = 0$
- Sinus er positiv i 1. og 2. kvadrant, cosinus i 1. og 4., tangens i 1. og 3.
- Referansevinkelen (den spisse vinkelen til $x$ -aksen) gir tallverdien, kvadranten gir fortegnet
- $\sin(-v) = -\sin v$ , $\cos(-v) = \cos v$ , $\tan(-v) = -\tan v$

Den pytagoreiske identiteten:
- $\sin^2 v + \cos^2 v = 1$ for alle vinkler $v$

Viktige vinkler å huske:

$\displaystyle \frac{\pi}{6} = 30°$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4} = 45°$ , $\displaystyle \frac{\pi}{3} = 60°$ , $\displaystyle \frac{\pi}{2} = 90°$ , $\pi = 180°$ , $2\pi = 360°$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.