4.2 Enhetssirkelen og trigonometriske definisjoner

Hva betyr egentlig sinus til 150 grader?

Fra tidligere kurs kjenner du sinus, cosinus og tangens som forholdstall i rettvinklede trekanter. Men da støter vi raskt på et problem: hva i all verden skal $\sin 150°$ eller $\cos(-45°)$ bety? En vinkel på $150°$ får ikke plass i noen rettvinklet trekant, og en negativ vinkel gir enda mindre mening der.

Likevel trenger vi slike verdier hele tiden. En bølge som svinger, en tone som klinger, et tidevann som stiger og synker — alt dette beskrives av trigonometriske funksjoner der vinkelen vokser forbi $90°$, forbi $360°$, og gjerne løper i negativ retning også. Skal trigonometrien beskrive virkeligheten, må definisjonene utvides til alle vinkler.

Løsningen er like elegant som den er enkel: enhetssirkelen, sirkelen med sentrum i origo og radius $1$, gitt ved ligningen $x^2 + y^2 = 1$. I stedet for å lete etter trekanter lar vi vinkelen peke ut et punkt på sirkelen, og leser sinus og cosinus rett ut av koordinatene. I denne fortellingen skal vi se hvordan det fungerer, lære de eksakte verdiene for standardvinklene, finne ut hvordan fortegnene fordeler seg i de fire kvadrantene, og avdekke den pytagoreiske identiteten — en sammenheng som gjelder for absolutt alle vinkler.

Vinkler blir til koordinater

Slik fungerer det: vi måler vinkler fra den positive $x$-aksen. Positive vinkler måles mot klokken, negative vinkler med klokken. En vinkel $v$ bestemmer da et punkt $P$ på enhetssirkelen — du starter i $(1, 0)$ og beveger deg langs sirkelen til vinkelen er brukt opp.

Og her kommer selve definisjonen, kjernen i hele kapitlet. Hvis $P = (x, y)$ er punktet som hører til vinkelen $v$, så definerer vi $\cos v = x$, $\sin v = y$ og $\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{y}{x}$ (når $x \neq 0$). Cosinus er førstekoordinaten, sinus er andrekoordinaten — så enkelt er det. Med denne definisjonen gir $\sin 150°$ plutselig perfekt mening: det er bare $y$-koordinaten til punktet $150°$ rundt sirkelen. Og $\cos(-45°)$ er $x$-koordinaten til punktet du når ved å gå $45°$ med klokken.

I R2 bruker vi som regel radianer i stedet for grader, med sammenhengen $180° = \pi$. De viktigste omregningene er $\displaystyle 90° = \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle 60° = \frac{\pi}{3}$, $\displaystyle 45° = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle 30° = \frac{\pi}{6}$, og de generelle formlene er $\displaystyle \text{radianer} = \text{grader} \cdot \frac{\pi}{180}$ og $\displaystyle \text{grader} = \text{radianer} \cdot \frac{180}{\pi}$.

Legg merke til hvor naturlig periodisiteten følger av definisjonen: går du en hel runde til, $2\pi$ radianer, havner du i nøyaktig samme punkt. Derfor er $\sin(v + 2\pi) = \sin v$ og $\cos(v + 2\pi) = \cos v$ for alle vinkler — sirkelen glemmer hvor mange runder du har gått.

Eksakte verdier og fortegnenes geografi

For noen utvalgte vinkler kan vi finne eksakte verdier uten kalkulator, og disse er så sentrale at de bør sitte i ryggmargen. I første kvadrant gjelder: $\displaystyle \sin 30° = \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, og $\displaystyle \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ med $\displaystyle \cos 60° = \frac{1}{2}$. I ytterpunktene har vi $\sin 0° = 0$, $\cos 0° = 1$, $\sin 90° = 1$ og $\cos 90° = 0$. For tangens følger verdiene av brøken: $\displaystyle \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\tan 45° = 1$ og $\tan 60° = \sqrt{3}$, mens $\tan 90°$ er udefinert siden vi da deler på null.

Men hva skjer utenfor første kvadrant? Enhetssirkelen deles av aksene i fire kvadranter: i første kvadrant ($0° < v < 90°$) er begge koordinater positive; i andre ($90° < v < 180°$) er $x < 0$ og $y > 0$; i tredje ($180° < v < 270°$) er begge negative; i fjerde ($270° < v < 360°$) er $x > 0$ og $y < 0$.

Siden cosinus er $x$-koordinaten og sinus er $y$-koordinaten, leser vi fortegnene rett ut av kvadrantene: sinus er positiv i første og andre kvadrant (øvre halvdel), cosinus er positiv i første og fjerde (høyre halvdel), og tangens — som er forholdet mellom dem — er positiv der de har samme fortegn, altså i første og tredje kvadrant. Når du vet hvilken kvadrant en vinkel ligger i, vet du dermed fortegnet til alle tre funksjonene før du har regnet noe som helst.

Referansevinkler — snarveien rundt sirkelen

Tenk deg at du skal finne $\displaystyle \cos\frac{5\pi}{6}$ uten kalkulator. Vinkelen ligger i andre kvadrant, langt unna tabellene dine. Trikset heter referansevinkel: den spisse vinkelen mellom vinkelens endepunkt på enhetssirkelen og $x$-aksen. Poenget er at de trigonometriske verdiene for en vinkel $v$ har samme absoluttverdi som verdiene for referansevinkelen — bare fortegnet kan endre seg, og fortegnet bestemmes av kvadranten.

Oppskriften blir dermed: finn referansevinkelen, slå opp tallverdien, og sett på riktig fortegn. For $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$ er referansevinkelen $\displaystyle \pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. Tallverdien er $\displaystyle \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, og siden cosinus er negativ i andre kvadrant, får vi $\displaystyle \cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Hvordan finner du referansevinkelen i hver kvadrant? I første kvadrant er den vinkelen selv. I andre kvadrant er den $\pi - v$. I tredje kvadrant er den $v - \pi$, og i fjerde er den $2\pi - v$. Et eksempel til: $\displaystyle \sin\frac{4\pi}{3}$. Vinkelen $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$ ligger i tredje kvadrant med referansevinkel $\displaystyle \frac{4\pi}{3} - \pi = \frac{\pi}{3}$. Tallverdien er $\displaystyle \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, og sinus er negativ i tredje kvadrant, så $\displaystyle \sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Med referansevinkler trenger du altså bare å pugge verdiene i første kvadrant — resten av sirkelen får du gratis gjennom symmetri og fortegnsreglene fra forrige seksjon.

Den pytagoreiske identiteten og sirkelens symmetrier

Nå kommer en av de vakreste konsekvensene av enhetssirkel-definisjonen. Hvert punkt $(x, y)$ på sirkelen oppfyller ligningen $x^2 + y^2 = 1$. Men $x = \cos v$ og $y = \sin v$, så for alle vinkler $v$ gjelder

$$\sin^2 v + \cos^2 v = 1$$

Dette er den pytagoreiske identiteten — Pytagoras' setning forkledd som trigonometri, siden radiusen er hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter $|\cos v|$ og $|\sin v|$. Identiteten er et arbeidsverktøy du kommer til å bruke igjen og igjen: kjenner du den ene av sinus og cosinus, finner du den andre. Vet du for eksempel at $\displaystyle \sin v = \frac{3}{5}$ og at $v$ ligger i første kvadrant, gir identiteten $\displaystyle \cos^2 v = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, så $\displaystyle \cos v = \frac{4}{5}$ — positiv fordi vi er i første kvadrant. Hadde $v$ ligget i andre kvadrant, måtte vi valgt $\displaystyle -\frac{4}{5}$. Kvadranten avgjør alltid fortegnet.

Sirkelen skjuler også elegante symmetrier. Speiler du punktet for vinkelen $v$ om $x$-aksen, får du punktet for $-v$: $y$-koordinaten bytter fortegn, $x$-koordinaten beholdes. Derfor er $\sin(-v) = -\sin v$ — sinus er en odde funksjon — mens $\cos(-v) = \cos v$, så cosinus er en like funksjon. Tangens arver oddheten: $\tan(-v) = -\tan v$. Sammen med supplementsymmetrien $\sin(\pi - v) = \sin v$ og $\cos(\pi - v) = -\cos v$ gir dette deg et komplett verktøysett for å manøvrere rundt hele sirkelen.

Oppsummering

Vi begynte med et spørsmål som de rettvinklede trekantene ikke kunne svare på: hva er $\sin 150°$? Svaret fant vi på enhetssirkelen — sirkelen $x^2 + y^2 = 1$ med radius $1$ om origo. Der definerte vi trigonometrien på nytt for alle vinkler: punktet som hører til vinkelen $v$ har koordinatene $(\cos v, \sin v)$, og tangens er forholdet $\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$. Positive vinkler går mot klokken, negative med klokken, og en hel runde på $2\pi$ bringer deg tilbake til start.

De eksakte verdiene for standardvinklene ble våre faste holdepunkter: $\displaystyle \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ og $\displaystyle \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, med cosinusverdiene i motsatt rekkefølge. Fortegnene leste vi rett ut av kvadrantene: sinus positiv i øvre halvdel, cosinus i høyre, og tangens i første og tredje kvadrant. Referansevinkelen — den spisse vinkelen ned mot $x$-aksen — ga oss tallverdien, mens kvadranten ga fortegnet, slik at hele sirkelen ble tilgjengelig fra første kvadrants tabeller.

Til slutt fant vi den pytagoreiske identiteten $\sin^2 v + \cos^2 v = 1$, som gjelder for alle vinkler fordi hvert punkt ligger på sirkelen, og symmetriene $\sin(-v) = -\sin v$ (odde) og $\cos(-v) = \cos v$ (like). Disse byggesteinene — definisjonen, verdiene, fortegnene og identiteten — er fundamentet vi skal stå på når vi i de neste kapitlene løser trigonometriske likninger.