4.5 Tangenslikninger

Løse likninger med tangens.

45 min

21 oppgaver

TangenslikningGenerell løsningPeriode π

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Radianer og enhetssirkelen

Hva er en tangenslikning?

En tangenslikning er en likning der den ukjente $x$ står i argumentet til en tangensfunksjon.

Eksempler på tangenslikninger:
- $\tan(x) = 1$
- $\tan(2x) = \sqrt{3}$
- $\displaystyle \tan(x - \frac{\pi}{4}) = -1$

I dette kapitlet skal vi lære hvordan vi løser slike likninger og finner alle løsningene.

Gjør dette i GeoGebra

Grafen til tangensfunksjonen

Studer grafen til

y = \tan(x)

. Legg merke til periodisiteten og de vertikale asymptotene.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = tan(x)
ZoomIn(-2*pi, -5, 2*pi, 5)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📜Løsning av tan(x) = a

For likningen

\tan(x) = a

der

a

er et reelt tall:

$x = \tan^{-1}(a) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Merk: Siden tangens har periode $\pi$ , får vi en ny løsning for hver $\pi$ vi legger til.

Dette er enklere enn for sinus og cosinus, der vi måtte finne to løsninger per periode!

✏️Eksempel 1: Enkel tangenslikning

Løs likningen $\tan(x) = 1$ .

Vi vet at

\displaystyle \tan(\frac{\pi}{4}) = 1

Den generelle løsningen er:
$x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

De første positive løsningene:
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$
- $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$
- $n = 2$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 1

Løs likningen $\tan(x) = 0$ . Gi den generelle løsningen.

✏️Eksempel 2: Tangenslikning med sqrt(3)

Løs likningen $\tan(x) = \sqrt{3}$ .

Vi vet at

\displaystyle \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}

(fra den likesidete trekanten).

Den generelle løsningen er:
$x = \frac{\pi}{3} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{3} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 2

Løs likningen $\displaystyle \tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Gi den generelle løsningen.

Tangenslikninger med negative verdier

Når $\tan(x) = -a$ (negativ verdi), bruker vi at:
$\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$

Dette betyr at hvis $\tan(\theta) = a$ , så er $\tan(-\theta) = -a$ .

✏️Eksempel 3: Negativ tangensverdi

Løs likningen $\tan(x) = -1$ .

Vi vet at

\displaystyle \tan(\frac{\pi}{4}) = 1

, så

\displaystyle \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1

Alternativt kan vi bruke $\displaystyle \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$ (i andre kvadrant).

Den generelle løsningen er:
$x = -\frac{\pi}{4} + n\pi = \frac{3\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Begge uttrykk gir de samme løsningene!

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$ eller $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + n\pi$

📝Oppgave 3

Løs likningen $\tan(x) = -\sqrt{3}$ . Gi den generelle løsningen.

Bruk av kalkulator for $\tan^{-1}$

Når tangensverdien ikke er en "pen" verdi, bruker vi kalkulator:

$x = \tan^{-1}(a) + n\pi$

Viktig: Kalkulatoren gir kun en verdi (hovedverdien) i intervallet $\displaystyle \left\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right\rangle$ . Vi må legge til $n\pi$ for å få alle løsninger.

✏️Eksempel 4: Bruk av tan⁻¹ på kalkulator

Løs likningen $\tan(x) = 2{,}5$ .

Med kalkulator finner vi:

\tan^{-1}(2{,}5) \approx 1{,}19 \text{ rad}

Den generelle løsningen er:
$x \approx 1{,}19 + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Løsninger i intervallet $[0, 2\pi]$ :
- $n = 0$ : $x \approx 1{,}19$
- $n = 1$ : $x \approx 1{,}19 + \pi \approx 4{,}33$

Svar: $x \approx 1{,}19 + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 4

Løs likningen $\tan(x) = 3$ . Finn den generelle løsningen og alle løsninger i $[0, 2\pi]$ .

📜Løsning av tan(kx + c) = a

For likningen

\tan(kx + c) = a

Fremgangsmåte:
1. Sett $u = kx + c$
2. Løs $\tan(u) = a$ og få $u = \tan^{-1}(a) + n\pi$
3. Løs for $x$ : $kx + c = \tan^{-1}(a) + n\pi$
4. $\displaystyle x = \frac{\tan^{-1}(a) + n\pi - c}{k}$

Generell formel:
$x = \frac{\tan^{-1}(a) - c + n\pi}{k}, \quad n \in \mathbb{Z}$

✏️Eksempel 5: Tangenslikning med koeffisient foran x

Løs likningen $\tan(2x) = 1$ .

Sett

u = 2x

\tan(u) = 1

Løs for $u$
$u = \frac{\pi}{4} + n\pi$

Tilbake til $x$
$2x = \frac{\pi}{4} + n\pi$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$ , der $n \in \mathbb{Z}$

Løsninger i $[0, 2\pi]$ :
$\displaystyle x = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}$

📝Oppgave 5

Løs likningen $\tan(3x) = \sqrt{3}$ . Finn den generelle løsningen.

✏️Eksempel 6: Tangenslikning med faseforskyvning

Løs likningen $\displaystyle \tan(x - \frac{\pi}{4}) = 1$ .

Sett

\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}

\tan(u) = 1

Løs for $u$
$u = \frac{\pi}{4} + n\pi$

Tilbake til $x$
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + n\pi$
$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 6

Løs likningen $\displaystyle \tan(x + \frac{\pi}{6}) = -1$ . Finn den generelle løsningen.

✏️Eksempel 7: Kombinert transformasjon

Løs likningen $\displaystyle \tan(2x + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ .

Sett

\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{3}

\tan(u) = \sqrt{3}

Løs for $u$
$u = \frac{\pi}{3} + n\pi$

Tilbake til $x$
$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + n\pi$
$2x = n\pi$
$x = \frac{n\pi}{2}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{n\pi}{2}$ , der $n \in \mathbb{Z}$

Løsninger i $[0, 2\pi]$ : $\displaystyle x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$

📝Oppgave 7

Løs likningen $\displaystyle \tan(2x - \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{3}$ . Finn alle løsninger i $[0, \pi]$ .

Definisjonsmengde for tangens

Tangensfunksjonen er ikke definert når cosinus er null:

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \text{ er udefinert når } \cos(x) = 0$

Dette skjer for:
$x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Når du løser tangenslikninger, må du alltid sjekke at løsningene ikke faller på disse punktene!

✏️Eksempel 8: Sjekk av definisjonsmengde

Løs likningen $\displaystyle \tan(x) = \tan(\frac{\pi}{2})$ .

Denne likningen har ingen løsning!

$\displaystyle \tan(\frac{\pi}{2})$ er udefinert, så vi kan ikke ha en likning der tangens skal være lik denne verdien.

Ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ har tangensfunksjonen en vertikal asymptote.

Svar: Likningen har ingen løsning.

📝Oppgave 8

Forklar hvorfor likningen $\displaystyle \tan(2x) = \tan(\frac{\pi}{2})$ ikke har noen løsning.

Sammenlikning med sinus- og cosinuslikninger

Egenskap	Sinus	Cosinus	Tangens
Periode	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$
Løsninger per periode	2 (vanligvis)	2 (vanligvis)	1
Generell løsning	$x = \alpha + 2n\pi$ eller $x = \pi - \alpha + 2n\pi$	$x = \pm\alpha + 2n\pi$	$x = \alpha + n\pi$
Verdimengde	$[-1, 1]$	$[-1, 1]$	$\mathbb{R}$
Definisjonsmengde	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$

Her er

\alpha

en løsning vi har funnet, for eksempel med

\sin^{-1}

\cos^{-1}

eller

\tan^{-1}

.
Fordel med tangenslikninger: Vi får bare én løsningsfamilie, ikke to som for sinus og cosinus.

✏️Eksempel 9: Sammenlikning av løsningsmetoder

Sammenlign løsningene av:
a) $\displaystyle \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
b) $\tan(x) = 1$

a) Sinuslikning:

\displaystyle \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Løsninger: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$

I $[0, 2\pi]$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4}$ (2 løsninger)

b) Tangenslikning:
$\tan(x) = 1$

Løsning: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$

I $[0, 2\pi]$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4}$ (2 løsninger)

Merk: Begge har 2 løsninger i $[0, 2\pi]$ , men tangenslikningen har enklere generell form!

Svar: a) $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4}$ b) $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4}$ . Begge har 2 løsninger i $[0, 2\pi]$ .

📝Oppgave 9

Finn alle løsninger i $[0, 2\pi]$ for: a) $\displaystyle \cos(x) = \frac{1}{2}$ b) $\displaystyle \tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Sammenlign antall løsninger.

Likninger som kan omformes til tangenslikninger

Noen likninger som inneholder sinus og cosinus kan omformes til tangenslikninger:

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = a \quad \Rightarrow \quad \tan(x) = a$

Dette er nyttig når vi har brøker med sinus og cosinus.

✏️Eksempel 10: Omforming til tangenslikning

Løs likningen $\sin(x) = \cos(x)$ .

Metode: Del på

\cos(x)

(forutsatt at

\cos(x) \neq 0

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 1$
$\tan(x) = 1$

Løsning: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$

Sjekk: Er $\displaystyle \cos(\frac{\pi}{4} + n\pi) = 0$ ? Nei, så løsningene er gyldige.

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 10

Løs likningen $\sin(x) = \sqrt{3}\cos(x)$ .

✏️Eksempel 11: Mer kompleks omforming

Løs likningen $2\sin(x) + 3\cos(x) = 0$ .

Metode: Flytt og del på

\cos(x)

$2\sin(x) = -3\cos(x)$
$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\frac{3}{2}$
$\tan(x) = -\frac{3}{2}$

Med kalkulator: $\displaystyle \tan^{-1}(-\frac{3}{2}) \approx -0{,}98$ rad

Løsning: $x \approx -0{,}98 + n\pi$

I $[0, 2\pi]$ : $x \approx 2{,}16$ og $x \approx 5{,}30$

Svar: $x \approx -0{,}98 + n\pi$ (i $[0, 2\pi]$ : $x \approx 2{,}16$ og $x \approx 5{,}30$ )

📝Oppgave 11

Løs likningen $3\sin(x) - 4\cos(x) = 0$ . Finn alle løsninger i $[0, 2\pi]$ .

Praktiske anvendelser

Tangenslikninger dukker opp i mange praktiske sammenhenger:

- Helningsvinkler: $\displaystyle \tan(\theta) = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}$
- Vinkler i fysikk: Bevegelse i skrått plan, prosjektilbevegelse
- Optikk: Brewsters vinkel for polarisering
- Navigasjon: Beregning av kursvinkler

✏️Eksempel 12: Helningsvinkel

En vei har en stigning på 15 %. Finn helningsvinkelen.

15 % stigning betyr at veien stiger 15 meter per 100 meter horisontalt.

$\tan(\theta) = \frac{15}{100} = 0{,}15$

$\theta = \tan^{-1}(0{,}15) \approx 8{,}5°$

Svar: Helningsvinkelen er ca. $8{,}5°$ .

📝Oppgave 12

En trapp har trinn som er 17 cm høye og 28 cm dype. Finn helningsvinkelen til trappen.

✏️Eksempel 13: Prosjektilbevegelse

En ball kastes med startfart $v_0 = 20$ m/s i vinkelen $\theta$ med horisontalplanet. Fartskomponentene i starten er $v_x = 20\cos\theta$ (horisontalt) og $v_y = 20\sin\theta$ (vertikalt).

Finn $\theta$ når den vertikale komponenten er $0{,}75$ ganger så stor som den horisontale, altså $v_y = 0{,}75\,v_x$ .

20\sin\theta = 0{,}75 \cdot 20\cos\theta

\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 0{,}75

\tan\theta = 0{,}75

$\theta = \tan^{-1}(0{,}75) + n \cdot 180° \approx 36{,}9° + n \cdot 180°$

En utkastvinkel over horisontalplanet ligger mellom $0°$ og $90°$ , så bare $n = 0$ passer.

Kontroll: $v_x = 20\cos 36{,}87° = 16$ m/s og $v_y = 20\sin 36{,}87° = 12$ m/s, og $\displaystyle \frac{12}{16} = 0{,}75$ .

Svar: Ballen kastes med vinkelen $\theta \approx 36{,}9°$ .

📝Oppgave 13

Et tårn er 50 m høyt. Fra toppen av tårnet ser man et punkt på bakken med synkvinkel $30°$ . Hvor langt fra tårnets fot ligger punktet?

✏️Eksempel 14: Periodisk løsning i praksis

En pendel svinger slik at vinkelen

\theta

(i radianer) fra vertikalen er gitt ved:

\theta(t) = 0{,}1 \sin(2t)

Finn alle tidspunkter $t > 0$ der $\tan(\theta) = 0{,}05$ .

\tan(\theta) = 0{,}05

\theta = \tan^{-1}(0{,}05) \approx 0{,}049958

$0{,}1\sin(2t) = 0{,}049958$
$\sin(2t) = 0{,}49958$

$\begin{aligned} &2t \approx 0{,}52312 + 2n\pi \\ &\text{eller}\; 2t \approx \pi - 0{,}52312 + 2n\pi \end{aligned}$
$t \approx 0{,}2616 + n\pi \quad \text{eller} \quad t \approx 1{,}3092 + n\pi$

De første positive tidspunktene: $t \approx 0{,}26$ s, $t \approx 1{,}31$ s, $t \approx 3{,}40$ s, $t \approx 4{,}45$ s, …

Kontroll: For små vinkler er $\tan(\theta) \approx \theta$ , som gir $\sin(2t) \approx 0{,}5$ og $\displaystyle t \approx \frac{\pi}{12} + n\pi$ eller $\displaystyle t \approx \frac{5\pi}{12} + n\pi$ — nesten de samme tallene.

Svar: $t \approx 0{,}26 + n\pi$ eller $t \approx 1{,}31 + n\pi$ (sekunder), der $n = 0, 1, 2, \ldots$

Sammendrag: Tangenslikninger

\tan(x) = a \quad \Rightarrow \quad x = \tan^{-1}(a) + n\pi

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Tangensfunksjonen: $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ er definert for $\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ og har periode $\pi$ .
- Generell løsning: $\tan x = a$ har løsningen $x = v + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ , der $\tan v = a$ . Likningen har alltid nøyaktig én løsning per periode.
- Sammensatt argument: For $\tan(kx + c) = a$ løser du først for $kx + c$ og deler så på $k$ ; perioden blir $\displaystyle \frac{\pi}{k}$ .
- Omforming: Likninger som $\sin x = \cos x$ kan deles på $\cos x$ og bli tangenslikninger.
- Anvendelser: Tangens beskriver stigning og helningsvinkel: stigningstall $= \tan v$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Tangensfunksjonen	$\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , periode $\pi$
Vertikal asymptote	$\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ , der $\cos x = 0$
Generell løsning	$x = v + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$
Helningsvinkel	Vinkelen $v$ med $\tan v =$ stigningstallet

Viktige formler

\tan x = a \Rightarrow x = \tan^{-1} a + \pi n

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Hva er en tangenslikning?

Grafen til tangensfunksjonen

Tangenslikninger med negative verdier

Bruk av kalkulator for tan⁡−1\tan^{-1}tan−1

Sammenlikning med sinus- og cosinuslikninger

Likninger som kan omformes til tangenslikninger

Praktiske anvendelser

Oppsummering

Nøkkelbegreper

Viktige formler

Bruk av kalkulator for $\tan^{-1}$