4.5 Tangenslikninger

Den enkleste av de tre

Du sykler opp en bakke med 15 % stigning, og lurer på hvor bratt det egentlig er — hvilken vinkel danner veien med horisonten? Svaret skjuler seg i en tangenslikning: en likning der den ukjente står i argumentet til en tangensfunksjon, som $\tan x = 1$, $\tan(2x) = \sqrt{3}$ eller $\displaystyle \tan\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Etter to kapitler med sinus- og cosinuslikninger har du kanskje en mistanke om at tangens blir enda mer komplisert. Overraskelsen er at det motsatte er sant: tangenslikninger er de enkleste av de tre. Hemmeligheten ligger i perioden. Sinus og cosinus gjentar seg for hver $2\pi$ og gir to løsninger per runde, slik at vi må holde styr på to løsningsfamilier. Tangens har derimot periode $\pi$ — halvparten — og treffer hver eneste verdi nøyaktig én gang per periode. Én likning, én løsningsfamilie, ett uttrykk.

Men tangens har også et lite lune: funksjonen er ikke definert overalt. Siden $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, bryter den sammen der cosinus er null, og grafen får loddrette asymptoter. I denne fortellingen lærer du den generelle løsningen $x = \arctan(a) + n\pi$, hvordan du håndterer sammensatte argumenter, hvordan likninger med både sinus og cosinus kan forvandles til tangenslikninger — og hva stigningsprosenten på sykkelturen faktisk betyr i grader.

Én løsning per periode

Grunnlikningen er $\tan x = a$, og her er den første gode nyheten: den har løsning for alle reelle tall $a$, fordi verdimengden til tangens er hele $\mathbb{R}$ — ingen løsbarhetssjekk nødvendig. Den andre gode nyheten er løsningens form. Siden tangens har periode $\pi$ og treffer verdien $a$ én gang per periode, er den generelle løsningen rett og slett

$$x = \arctan(a) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Sammenlign med sinus og cosinus, der vi trengte to uttrykk eller et $\pm$ — her holder ett uttrykk.

De pene verdiene bør du kjenne: $\tan 0 = 0$, $\displaystyle \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\displaystyle \tan\frac{\pi}{4} = 1$ og $\displaystyle \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Dermed har $\tan x = 1$ løsningen $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$, med de første positive løsningene $\displaystyle \frac{\pi}{4}$, $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$ og $\displaystyle \frac{9\pi}{4}$. Og $\tan x = \sqrt{3}$ gir $\displaystyle x = \frac{\pi}{3} + n\pi$.

Negative verdier håndteres med oddheten $\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$. Siden $\displaystyle \tan\frac{\pi}{4} = 1$, er $\displaystyle \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$, og likningen $\tan x = -1$ har løsningen $\displaystyle x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$. Du kan like gjerne skrive $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + n\pi$ — de to uttrykkene beskriver nøyaktig samme tallmengde, bare med ulik startverdi.

Når verdien ikke er pen, overtar kalkulatoren: $\tan x = 2{,}5$ gir $\arctan(2{,}5) \approx 1{,}19$, så $x \approx 1{,}19 + n\pi$. Husk at kalkulatoren bare gir hovedverdien i $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ — det er $n\pi$-leddet som henter inn alle de andre løsningene.

Sammensatte argumenter og det forbudte området

Når argumentet er sammensatt, $\tan(kx + c) = a$, følger vi den velkjente substitusjonen: sett $u = kx + c$, løs $\tan u = a$ til $u = \arctan(a) + n\pi$, og løs så for $x$: $\displaystyle x = \frac{\arctan(a) - c + n\pi}{k}$.

Prøv $\tan(2x) = 1$: vi får $\displaystyle 2x = \frac{\pi}{4} + n\pi$, og delt på to: $\displaystyle x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$. I $[0, 2\pi]$ gir det fire løsninger: $\displaystyle \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}$ — perioden til $\tan(2x)$ er $\displaystyle \frac{\pi}{2}$, så løsningene kommer dobbelt så tett. Med faseforskyvning, som i $\displaystyle \tan\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$, blir regningen $\displaystyle x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + n\pi$, altså $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$. Og i kombinasjonen $\displaystyle \tan\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$ får vi $\displaystyle 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + n\pi$, som kollapser pent til $\displaystyle x = \frac{n\pi}{2}$.

Men nå til tangensfunksjonens lune. Siden $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, er funksjonen udefinert der $\cos x = 0$, altså for $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$. I disse punktene har grafen loddrette asymptoter, og verdiene skyter mot uendelig. To konsekvenser: en «likning» som $\displaystyle \tan x = \tan\frac{\pi}{2}$ er meningsløs, for høyresiden eksisterer ikke. Og når du løser tangenslikninger — særlig etter omforminger — bør du sjekke at løsningene dine ikke lander på de forbudte punktene.

Det store sammenligningsbildet: sinus og cosinus har periode $2\pi$, verdimengde $[-1, 1]$ og normalt to løsninger per periode; tangens har periode $\pi$, verdimengde $\mathbb{R}$, alltid nøyaktig én løsning per periode, og definisjonsmengde $\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$.

Omforminger og bakken på 15 %

Noen likninger inneholder både sinus og cosinus, men kan forvandles til tangenslikninger med ett grep: del på cosinus. Likningen $\sin x = \cos x$ blir, etter divisjon med $\cos x$ (som vi kan tillate oss fordi $\cos x = 0$ ikke gir noen løsning her — da måtte også $\sin x$ vært null, og de er aldri null samtidig), til $\tan x = 1$ med løsningen $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$. Mer generelt: enhver likning på formen $a\sin x + b\cos x = 0$ kan skrives om til $\displaystyle \tan x = -\frac{b}{a}$. For eksempel gir $2\sin x + 3\cos x = 0$ likningen $\displaystyle \tan x = -\frac{3}{2}$, og kalkulatoren leverer $x \approx -0{,}98 + n\pi$, som i $[0, 2\pi]$ betyr $x \approx 2{,}16$ og $x \approx 5{,}30$.

Og så var det sykkelturen. En stigning på 15 % betyr at veien stiger 15 meter for hver 100 meter du beveger deg horisontalt — og det er nøyaktig definisjonen av tangens som forholdet mellom motstående og hosliggende katet. Helningsvinkelen oppfyller $\displaystyle \tan\theta = \frac{15}{100} = 0{,}15$, så $\theta = \arctan(0{,}15) \approx 8{,}5°$. Brattere enn det føles på flata, slakere enn det føles i beina.

Tangens dukker opp overalt der vinkler og stigninger møtes: i fysikkens skråplan og prosjektilbaner, i optikkens polariseringsvinkler, i navigasjonens kursberegninger. Et kastet prosjektil med rekkevidde $\displaystyle R = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$ leder til en trigonometrisk likning i $2\theta$ med to mulige utskytningsvinkler. Og i en svingende pendel der $\theta(t) = 0{,}1\sin(2t)$, kan små vinkler tilnærmes med $\tan\theta \approx \theta$, slik at en tangensbetingelse blir en sinuslikning. De tre likningstypene er i slekt — og nå behersker du dem alle.

Oppsummering

Vi startet i motbakke med spørsmålet om hvor bratt 15 % stigning egentlig er, og fant svaret i tangenslikningene — de enkleste av de trigonometriske likningene. Nøkkelen er perioden: tangens gjentar seg for hver $\pi$, halvparten av sinus og cosinus, og treffer hver verdi i hele $\mathbb{R}$ nøyaktig én gang per periode. Derfor trenger den generelle løsningen bare ett uttrykk: $\tan x = a$ gir $x = \arctan(a) + n\pi$ for $n \in \mathbb{Z}$, uten løsbarhetssjekk og uten $\pm$.

De pene verdiene $\tan 0 = 0$, $\displaystyle \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\displaystyle \tan\frac{\pi}{4} = 1$ og $\displaystyle \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ tar deg langt, oddheten $\tan(-\theta) = -\tan\theta$ håndterer de negative, og kalkulatorens $\arctan$ tar resten — bare husk at den gir hovedverdien i $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, og at $n\pi$-leddet samler opp alle de andre løsningene.

Sammensatte likninger $\tan(kx + c) = a$ løste vi med substitusjon, der perioden krymper til $\displaystyle \frac{\pi}{k}$. Vi husket også tangensfunksjonens forbudte punkter: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, der $\cos x = 0$ og grafen har loddrette asymptoter.

Til slutt så vi tangens i arbeid: likninger med både sinus og cosinus, som $\sin x = \cos x$ eller $2\sin x + 3\cos x = 0$, lar seg dele på cosinus og bli tangenslikninger, og stigningstall i terrenget oversettes direkte til vinkler via $\tan\theta =$ stigning. Den bratteste delen av trigonometrien viste seg å være den letteste å klatre.