4.3 Sinuslikninger

Løse likninger med sinus.

55 min

35 oppgaver

SinuslikningGenerell løsningPeriodisitet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 35 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Radianer og enhetssirkelen

Sinuslikninger

Sinuslikninger er likninger der den ukjente $x$ står som argument i en sinusfunksjon. Slike likninger dukker opp i mange praktiske sammenhenger, som bølgefenomener, periodiske svingninger og lydanalyse.

Hva skal vi lære?
- Løse grunnleggende likninger av typen $\sin x = a$
- Finne den generelle løsningen med $n \in \mathbb{Z}$
- Løse mer sammensatte likninger som $\sin(kx + c) = a$
- Tolke løsningene grafisk
- Finne antall løsninger i et gitt intervall
- Anvende sinuslikninger på praktiske problemer

Sinuslikning av typen sin(x) = a

\sin x = a

Spesielle verdier

Noen sinusverdier bør du kunne utenat:

$x$	$\sin x$
$0$	$0$
$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$1$
$\pi$	$0$
$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$	$-1$
$2\pi$	$0$

Disse verdiene følger fra enhetssirkelen og standardtrekantene (se delkapittel 4.1).

📜Generell løsning av sin(x) = a

Hvis

-1 \leq a \leq 1

\sin v = a

for en vinkel

v

, så har likningen

\sin x = a

den generelle løsningen:

$x = v + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - v + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Forklaring: Sinusfunksjonen har periode $2\pi$ , og for hver verdi $a$ (unntatt $\pm 1$ ) finnes det to vinkler i $[0, 2\pi\rangle$ med samme sinusverdi. Disse ligger symmetrisk om $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ .

Fremgangsmåte for å løse $\sin x = a$ :

1. Sjekk om $|a| \leq 1$ . Hvis ikke, har likningen ingen løsning.
2. Finn en vinkel $v$ slik at $\sin v = a$ . Bruk kalkulator eller kjente verdier.
3. Skriv opp begge løsningsgrener:
- $x = v + 2\pi n$
- $x = (\pi - v) + 2\pi n$
4. Hvis du skal finne løsninger i et bestemt intervall, sett inn verdier for $n$ (typisk $n = 0, \pm 1, \pm 2, ...$ ).

✏️Eksempel 1: Grunnleggende sinuslikning

Løs likningen $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ .

Sjekk løsbarhet.

\displaystyle \frac{1}{2}

ligger mellom

-1

1

, så likningen har løsning.

Finn en vinkel $v$ slik at $\displaystyle \sin v = \frac{1}{2}$ .
Fra tabellen vet vi at $\displaystyle \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ , så $\displaystyle v = \frac{\pi}{6}$ .

Skriv opp den generelle løsningen.
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

📝Oppgave 4.31

Løs likningen $\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ og angi den generelle løsningen.

✏️Eksempel 2: Negativ sinusverdi

Løs likningen $\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Sjekk løsbarhet.

\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}707

ligger mellom

-1

1

. \checkmark

Finn en vinkel $v$ slik at $\displaystyle \sin v = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Vi vet at $\displaystyle \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Siden vi trenger en negativ verdi, bruker vi $\displaystyle v = -\frac{\pi}{4}$ .

Skriv opp den generelle løsningen.
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n$
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Alternativ form: Vi kan også skrive løsningene som:
$x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 4.32

Løs likningen $\displaystyle \sin x = -\frac{1}{2}$ og angi den generelle løsningen.

✏️Eksempel 3: Ekstremverdier

Løs likningen $\sin x = 1$ .

Sjekk om likningen har løsning.

1

er maksimalverdien til sinusfunksjonen, så likningen har løsning.

Finn vinkelen.
$\sin x = 1$ kun når $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ .

Generell løsning.
Siden dette er en ekstremverdi, får vi bare en løsningsgren:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Merk: Ved $a = 1$ faller de to løsningsgrenene sammen fordi $\displaystyle \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ .

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 4.33

Løs likningen $\sin x = -1$ .

✏️Eksempel 4: Ingen løsning

Løs likningen $\sin x = 2$ .

Sjekk om likningen kan ha løsninger.
$2 > 1$ , så verdien ligger utenfor verdimengden til sinusfunksjonen.

Svar: Likningen har ingen løsning siden $\sin x \in [-1, 1]$ for alle $x$ .

Vanlig feil

Husk å sjekke at $|a| \leq 1$ for likningen har løsning. Mange glemmer dette og forsøker å løse likninger som $\sin x = 1{,}5$ eller $\sin x = -3$ , som ikke har løsninger.

Løsninger i et bestemt intervall

Ofte blir vi bedt om å finne alle løsninger i et gitt intervall, for eksempel $[0, 2\pi\rangle$ eller $[-\pi, \pi]$ .

Fremgangsmåte:
1. Finn den generelle løsningen
2. Sett inn ulike verdier for $n$ ( $n = 0, \pm 1, \pm 2, ...$ )
3. Behold kun de løsningene som ligger i det angitte intervallet

✏️Eksempel 5: Løsninger i [0, 2π⟩

Finn alle løsninger av $\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i intervallet $[0, 2\pi\rangle$ .

Finn den generelle løsningen.
Vi vet at

\displaystyle \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Finn løsninger i $[0, 2\pi\rangle$ .

For $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}79$ \checkmark (i intervallet)
- $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2\pi \approx 7{,}07$ (utenfor)
- $n = -1$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} - 2\pi \approx -5{,}50$ (utenfor)

For $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} \approx 2{,}36$ \checkmark (i intervallet)
- $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \approx 8{,}64$ (utenfor)
- $n = -1$ : $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi \approx -3{,}93$ (utenfor)

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4}$

📝Oppgave 4.34

Finn alle løsninger av $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ i intervallet $[0, 2\pi\rangle$ .

✏️Eksempel 6: Løsninger i [-pi, pi]

Finn alle løsninger av $\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ i intervallet $[-\pi, \pi]$ .

Finn den generelle løsningen.
Vi bruker

\displaystyle v = -\frac{\pi}{3}

siden

\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

\begin{aligned} &x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \\ &\text{eller}\; x = \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n \\ = {}&\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \end{aligned}

Finn løsninger i $[-\pi, \pi]$ .

For $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} \approx -1{,}05$ \checkmark

For $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} \approx 4{,}19$ (utenfor, $> \pi$ )
- $n = -1$ : $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3} \approx -2{,}09$ \checkmark

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle x = -\frac{2\pi}{3}$

📝Oppgave 4.35

Finn alle løsninger av $\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ i intervallet $[-\pi, \pi]$ .

Grafisk tolkning

Å løse $\sin x = a$ grafisk betyr å finne skjæringspunktene mellom grafen til $y = \sin x$ og den horisontale linjen $y = a$ .

Viktige observasjoner:
- Sinusgrafen svinger mellom $-1$ og $1$ med periode $2\pi$
- For $-1 < a < 1$ skjærer linjen $y = a$ sinusgrafen to ganger per periode
- For $a = \pm 1$ skjærer linjen sinusgrafen en gang per periode (i topp/bunnpunktene)
- For $|a| > 1$ skjærer linjen aldri sinusgrafen

Denne grafiske forståelsen hjelper oss å:
1. Raskt avgjøre om en likning har løsning
2. Finne antall løsninger i et gitt intervall
3. Estimere løsningene visuelt

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk sinuslikninger grafisk

Dra glideren for å endre verdien av

a

og se hvor linjen

y = a

skjærer sinusgrafen.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = sin(x)
a = 0.5
g(x) = a
Intersect(f, g, -10, 10)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Eksempel 7: Antall løsninger grafisk

Hvor mange løsninger har likningen $\sin x = 0{,}3$ i intervallet $[0, 4\pi]$ ?

Grafisk resonnement:
Linjen

y = 0{,}3

skjærer sinusgrafen to ganger per periode (

2\pi

Intervallet $[0, 4\pi]$ inneholder $\displaystyle \frac{4\pi}{2\pi} = 2$ fulle perioder.

Antall løsninger: $2 \times 2 = 4$ løsninger.

Kontroll med regning:
$\sin^{-1}(0{,}3) \approx 0{,}305$ radianer.
Løsningene er omtrent:
- $x \approx 0{,}305$ (1. periode, stigende)
- $x \approx \pi - 0{,}305 \approx 2{,}837$ (1. periode, synkende)
- $x \approx 0{,}305 + 2\pi \approx 6{,}588$ (2. periode, stigende)
- $x \approx 2{,}837 + 2\pi \approx 9{,}120$ (2. periode, synkende)

Alle fire ligger i $[0, 4\pi] \approx [0, 12{,}57]$ .

Svar: Likningen har 4 løsninger i $[0, 4\pi]$ .

📝Oppgave 4.36

Hvor mange løsninger har likningen $\sin x = 0{,}7$ i intervallet $[0, 6\pi]$ ?

📜Antall løsninger i et intervall

For likningen $\sin x = a$ der $-1 < a < 1$ :

I et halvåpent intervall $[c, c + 2\pi k\rangle$ , som inneholder nøyaktig $k$ fulle perioder, er antall løsninger lik $2k$ .

Spesialtilfeller:
- Hvis $a = 1$ eller $a = -1$ : $k$ løsninger
- Hvis $|a| > 1$ : $0$ løsninger

Merk: I et lukket intervall $[c, c + 2\pi k]$ kan også endepunktene være løsninger. For eksempel har $\sin x = 0$ fem løsninger i $[0, 4\pi]$ : $0$ , $\pi$ , $2\pi$ , $3\pi$ og $4\pi$ . For lukkede intervaller og intervaller som ikke inneholder hele perioder, må vi derfor finne de eksakte løsningene og telle dem.

Sammensatte sinuslikninger: $\sin(kx + c) = a$

Når sinusfunksjonen har et mer komplisert argument, som $\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{3})$ eller $\sin(3x - 1)$ , bruker vi substitusjon.

Strategi:
1. Sett $u = kx + c$ (det indre uttrykket)
2. Løs $\sin u = a$ for $u$
3. Løs for $x$ fra $u = kx + c$

Viktig: Husk at perioden til $\sin(kx)$ er $\displaystyle \frac{2\pi}{|k|}$ , ikke $2\pi$ !

✏️Eksempel 8: Likning med dobbelt argument

Løs likningen $\displaystyle \sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Sett

u = 2x

.
Likningen blir

\displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{3}}{2}

Løs for $u$ .
$u = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad u = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Løs for $x$ .
Fra $u = 2x$ får vi $\displaystyle x = \frac{u}{2}$ :
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Merk: Perioden er halvert fra $2\pi$ til $\pi$ fordi koeffisienten foran $x$ er $2$ .

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{\pi}{3} + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 4.37

Løs likningen $\displaystyle \sin(3x) = \frac{1}{2}$ .

✏️Eksempel 9: Likning med faseforskyvning

Løs likningen $\displaystyle \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Sett

\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}

.
Likningen blir

\displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{2}}{2}

Løs for $u$ .
$u = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad u = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Løs for $x$ fra $\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}$ , altså $\displaystyle x = u + \frac{\pi}{4}$ :
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ eller $x = \pi + 2\pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

📝Oppgave 4.38

Løs likningen $\displaystyle \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ .

✏️Eksempel 10: Generell sammensetning

Løs likningen $\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ .

Sett

\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{3}

.
Likningen blir

\displaystyle \sin u = -\frac{1}{2}

Løs for $u$ .
Vi bruker $\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ :
$\begin{aligned} &u = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \\ &\text{eller}\; u = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n \\ = {}&\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \end{aligned}$

Løs for $x$ fra $\displaystyle 2x + \frac{\pi}{3} = u$ :
$2x = u - \frac{\pi}{3}$
$x = \frac{u}{2} - \frac{\pi}{6}$

For $\displaystyle u = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ :
$x = \frac{-\frac{\pi}{6} + 2\pi n}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{12} + \pi n - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

For $\displaystyle u = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ :
$x = \frac{\frac{7\pi}{6} + 2\pi n}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{12} + \pi n - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{12} + \pi n$

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

📝Oppgave 4.39

Løs likningen $\displaystyle \sin(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ og finn alle løsninger i $[0, 2\pi\rangle$ .

Huskeregel for $\sin(kx + c) = a$ :

Når du har funnet den generelle løsningen for $u$ , deler du $2\pi n$ -leddet på $k$ for å få riktig periode for $x$ .

For eksempel: Hvis $u = v + 2\pi n$ og $u = kx + c$ , da blir:
$x = \frac{v - c}{k} + \frac{2\pi n}{k}$

Perioden til løsningen er $\displaystyle \frac{2\pi}{k}$ , ikke $2\pi$ .

Flere teknikker

Noen sinuslikninger krever ekstra manipulasjon for de kan løses. Her ser vi på noen vanlige situasjoner.

✏️Eksempel 11: Likning med kalkulator

Løs likningen $\sin x = 0{,}4$ og finn alle løsninger i $[0, 2\pi\rangle$ . Angi svarene med tre desimaler.

Bruk kalkulator til å finne

\sin^{-1}

v = \sin^{-1}(0{,}4) \approx 0{,}412

radianer.

Den generelle løsningen er:
$\begin{aligned} &x \approx 0{,}412 + 2\pi n \\ &\text{eller}\; x \approx \pi - 0{,}412 + 2\pi n \\ \approx {}&2{,}730 + 2\pi n \end{aligned}$

I $[0, 2\pi\rangle$ :
- $x \approx 0{,}412$
- $x \approx 2{,}730$

Svar: $x \approx 0{,}412$ og $x \approx 2{,}730$ .

📝Oppgave 4.310

Løs likningen $\sin x = 0{,}6$ og finn alle løsninger i $[0, 2\pi\rangle$ . Angi svarene med tre desimaler.

✏️Eksempel 12: Likning som krever omforming

Løs likningen $2\sin x + 1 = 0$ .

Isoler sinusleddet.

2\sin x = -1

\sin x = -\frac{1}{2}

Løs den enkle sinuslikningen.
Vi vet at $\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ .
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$

Alternativ form: $\displaystyle x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 4.311

Løs likningen $4\sin x - 2 = 0$ .

✏️Eksempel 13: Likning med sin x = 0

Løs likningen $\sin x = 0$ i intervallet $[-2\pi, 2\pi]$ .

Løsning av $\sin x = 0$ :
Sinusfunksjonen er null når

x

er et heltallsmultiplum av

\pi

x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}

I intervallet $[-2\pi, 2\pi]$ :
- $n = -2$ : $x = -2\pi$
- $n = -1$ : $x = -\pi$
- $n = 0$ : $x = 0$
- $n = 1$ : $x = \pi$
- $n = 2$ : $x = 2\pi$

Svar: $x = -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi$ (5 løsninger).

📝Oppgave 4.312

Løs likningen $\sin(2x) = 0$ i intervallet $[0, 2\pi\rangle$ .

Praktiske anvendelser

Sinuslikninger dukker opp i mange praktiske situasjoner der vi modellerer periodiske fenomener. Her er noen typiske eksempler.

✏️Eksempel 14: Tidevann

Vannstanden i en havn kan modelleres med funksjonen

h(t) = 2 + 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)

der

h

er vanndybden i meter og

t

er tiden i timer etter midnatt.

a) Når er vannstanden nøyaktig 2,75 meter i løpet av det første døgnet?
b) I hvilke tidsperioder er vannstanden over 3 meter?

a) Finn når $h(t) = 2{,}75$ :

2 + 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 2{,}75

\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 0{,}5

Sett $\displaystyle u = \frac{\pi}{6}t$ :
$\sin u = 0{,}5 \Rightarrow u = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \text{ eller } u = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Løs for $t$ :
$t = \frac{6u}{\pi} = 1 + 12n \text{ eller } t = 5 + 12n$

I det første døgnet ( $0 \leq t < 24$ ):
- $t = 1$ time (kl. 01:00)
- $t = 5$ timer (kl. 05:00)
- $t = 13$ timer (kl. 13:00)
- $t = 17$ timer (kl. 17:00)

Svar a): Vannstanden er 2,75 m kl. 01:00, 05:00, 13:00 og 17:00.

b) Finn når $h(t) > 3$ :
$2 + 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) > 3$
$\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) > \frac{2}{3}$

$\displaystyle \sin^{-1}(\frac{2}{3}) \approx 0{,}7297$ rad.
Sinusfunksjonen er større enn $\displaystyle \frac{2}{3}$ når:
$0{,}7297 + 2\pi n < \frac{\pi}{6}t < (\pi - 0{,}7297) + 2\pi n$

$\frac{6 \cdot 0{,}7297}{\pi} + 12n < t < \frac{6(\pi - 0{,}7297)}{\pi} + 12n$

For $n = 0$ : $1{,}39 < t < 4{,}61$

For $n = 1$ : $13{,}39 < t < 16{,}61$

Svar b): Vannstanden er over 3 meter fra ca. kl. 01:24 til 04:36 og fra ca. kl. 13:24 til 16:36.

📝Oppgave 4.313

Temperaturen i et rom varierer gjennom døgnet og kan beskrives med

T(t) = 20 + 3\sin\left(\frac{\pi}{12}(t - 6)\right)

der

T

er temperaturen i grader Celsius og

t

er tiden i timer etter midnatt.

Når i løpet av døgnet er temperaturen nøyaktig 21,5 grader?

✏️Eksempel 15: Fjærpendel

En fjærpendel beveger seg opp og ned i henhold til formelen

s(t) = 4\sin(\pi t)

der

s

er posisjonen i cm fra likevektspunktet og

t

er tiden i sekunder.

a) Når er fjærpendelen nøyaktig 2 cm over likevektspunktet i de første 3 sekundene?
b) Hvor ofte krysser fjærpendelen likevektspunktet?

a) Finn når $s(t) = 2$ :

4\sin(\pi t) = 2

\sin(\pi t) = \frac{1}{2}

Sett $u = \pi t$ :
$u = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \text{ eller } u = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
$t = \frac{1}{6} + 2n \text{ eller } t = \frac{5}{6} + 2n$

I de første 3 sekundene ( $0 \leq t \leq 3$ ):
- $\displaystyle t = \frac{1}{6} \approx 0{,}17$ s
- $\displaystyle t = \frac{5}{6} \approx 0{,}83$ s
- $\displaystyle t = \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6} \approx 2{,}17$ s
- $\displaystyle t = \frac{5}{6} + 2 = \frac{17}{6} \approx 2{,}83$ s

Svar a): $\displaystyle t = \frac{1}{6}$ s, $\displaystyle t = \frac{5}{6}$ s, $\displaystyle t = \frac{13}{6}$ s og $\displaystyle t = \frac{17}{6}$ s.

b) Kryssing av likevektspunktet:
$s(t) = 0$ når $\sin(\pi t) = 0$ , altså $\pi t = n\pi$ , dvs. $t = n$ sekunder.

Svar b): Fjærpendelen krysser likevektspunktet hvert sekund (ved $t = 0, 1, 2, 3, \ldots$ ).

📝Oppgave 4.314

En pendel svinger slik at vinkelen fra vertikalen er gitt ved

\theta(t) = 15\sin(2\pi t)

der

\theta

er vinkelen i grader og

t

er tiden i sekunder.

a) Når passerer pendelen gjennom stillingen $\theta = 7{,}5$ grader for første gang?
b) Hvor ofte står pendelen vertikalt ( $\theta = 0$ )?

✏️Eksempel 16: Lydbølge

En lydbølge beskrives av funksjonen

p(t) = 0{,}02\sin(880\pi t)

der

p

er trykket i pascal og

t

er tiden i sekunder. Dette tilsvarer tonen A4 (kammertonen).

Hvor mange ganger per sekund er trykket nøyaktig null?

Finn når $p(t) = 0$ :

\sin(880\pi t) = 0

880\pi t = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}

t = \frac{n}{880}

Antall nullpunkter per sekund:
For $t \in [0, 1]$ får vi $n = 0, 1, 2, ..., 880$ .
Det gir 881 nullpunkter (inkludert begge endepunktene).

Hvis vi teller antall ganger trykket passerer gjennom null (ikke inkludert $t = 0$ ), får vi 880 passeringer per sekund.

Merk: Frekvensen til lyden er $\displaystyle \frac{880}{2} = 440$ Hz, som er kammertonen A4.

Svar: Trykket er null 880 ganger per sekund (hvert $\displaystyle \frac{1}{880}$ sekund).

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Løsbarhet: $\sin x = a$ har løsninger bare når $-1 \leq a \leq 1$ .
- Generell løsning: Hvis $\sin v = a$ , er $x = v + 2\pi n$ eller $x = \pi - v + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .
- Likninger med sammensatt argument: For $\sin(kx + c) = a$ løser du først for $kx + c$ , deretter for $x$ . Perioden blir $\displaystyle \frac{2\pi}{|k|}$ .
- Løsninger i intervall: Sett inn heltallsverdier av $n$ og behold løsningene som ligger i intervallet.
- Praktisk bruk: Periodiske fenomener som tidevann og temperatur modelleres med sinusfunksjoner, og likninger gir tidspunktene for gitte verdier.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Sinuslikning	Likning på formen $\sin x = a$
Generell løsning	Alle løsninger, uttrykt med $n \in \mathbb{Z}$
Referanseløsning	$v = \sin^{-1} a$
Periode	$2\pi$ for $\sin x$ , $\displaystyle \frac{2\pi}{k}$ for $\sin(kx)$

Viktige formler

\sin x = a \Rightarrow x = v + 2\pi n \ \lor\ x = \pi - v + 2\pi n

, der

\sin v = a

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Oppgaver

Lett3 oppgaver

4.315

4.316

4.317

Medium7 oppgaver

4.318

4.319

4.320

4.321

4.322

4.326

4.329

Vanskelig6 oppgaver

4.323

4.324

4.325

4.327

4.328

4.330

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Sinuslikninger

Spesielle verdier

Løsninger i et bestemt intervall

Grafisk tolkning

Utforsk sinuslikninger grafisk

Sammensatte sinuslikninger: sin⁡(kx+c)=a\sin(kx + c) = asin(kx+c)=a

Flere teknikker

Praktiske anvendelser

Oppsummering

Nøkkelbegreper

Viktige formler

Oppgaver

Sammensatte sinuslikninger: $\sin(kx + c) = a$