4.3 Sinuslikninger

Løse likninger med sinus.

55 min

35 oppgaver

SinuslikningGenerell løsningPeriodisitet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 35 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.2Enhetssirkelen og trigonometriske definisjoner

Sinuslikninger

Sinuslikninger er likninger der den ukjente $x$ star som argument i en sinusfunksjon. Slike likninger dukker opp i mange praktiske sammenhenger, som bolgefenomener, periodiske svingninger og lydanalyse.

Hva skal vi lære?
- Lose grunnleggende likninger av typen $\sin x = a$
- Finne den generelle losningen med $n \in \mathbb{Z}$
- Lose mer sammensatte likninger som $\sin(kx + c) = a$
- Tolke losningene grafisk
- Finne antall losninger i et gitt intervall
- Anvende sinuslikninger på praktiske problemer

Hvorfor er dette viktig?
Sinusfunksjonen beskriver periodiske fenomener overalt i naturen: havbolger, lydbolgr, vekselstrom, pendelbevegelser og mye mer. Å kunne lose sinuslikninger er derfor essensielt for å forstå og modellere slike fenomener.

Sinuslikning av typen sin(x) = a

\sin x = a

Spesielle verdier

Noen sinusverdier bor du kunne utenat:

$x$	$0$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\sin x$	$0$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$

Disse verdiene følger fra enhetssirkelen og de likesidede trekantene du kjenner fra R1.

📜Generell losning av sin(x) = a

Hvis

-1 \leq a \leq 1

\sin v = a

for en vinkel

v

, sa har likningen

\sin x = a

den generelle losningen:

$x = v + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - v + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Dette kan også skrives som:
$x = v + 2\pi n \quad \text{og} \quad x = (\pi - v) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Forklaring: Sinusfunksjonen har periode $2\pi$ , og for hver verdi $a$ (unntatt $\pm 1$ ) finnes det to vinkler i $[0, 2\pi)$ med samme sinusverdi. Disse ligger symmetrisk om $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ .

Fremgangsmate for å lose $\sin x = a$ :

1. Sjekk om $|a| \leq 1$ . Hvis ikke, har likningen ingen losning.
2. Finn en vinkel $v$ slik at $\sin v = a$ . Bruk kalkulator eller kjente verdier.
3. Skriv opp begge losningsgrener:
- $x = v + 2\pi n$
- $x = (\pi - v) + 2\pi n$
4. Hvis du skal finne losninger i et bestemt intervall, sett inn verdier for $n$ (typisk $n = 0, \pm 1, \pm 2, ...$ ).

✏️Eksempel 1: Grunnleggende sinuslikning

Los likningen $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ .

Steg 1: Sjekk losbarhet.

\displaystyle \frac{1}{2}

ligger mellom

-1

1

, sa likningen har losning.

Steg 2: Finn en vinkel $v$ slik at $\displaystyle \sin v = \frac{1}{2}$ .
Fra tabellen vet vi at $\displaystyle \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ , sa $\displaystyle v = \frac{\pi}{6}$ .

Steg 3: Skriv opp den generelle losningen.
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

📝Oppgave 4.31

Los likningen $\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ og angi den generelle losningen.

✏️Eksempel 2: Negativ sinusverdi

Los likningen $\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Steg 1: Sjekk losbarhet.

\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707

ligger mellom

-1

1

. \checkmark

Steg 2: Finn en vinkel $v$ slik at $\displaystyle \sin v = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Vi vet at $\displaystyle \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Siden vi trenger en negativ verdi, bruker vi $\displaystyle v = -\frac{\pi}{4}$ .

Steg 3: Skriv opp den generelle losningen.
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n$
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Alternativ form: Vi kan også skrive losningene som:
$x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 4.32

Los likningen $\displaystyle \sin x = -\frac{1}{2}$ og angi den generelle losningen.

✏️Eksempel 3: Ekstremverdier

Los likningen $\sin x = 1$ .

Steg 1: Sjekk losbarhet.

1

er maksimalverdien til sinusfunksjonen, sa likningen har losning.

Steg 2: Finn vinkelen.
$\sin x = 1$ kun nar $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ .

Steg 3: Generell losning.
Siden dette er en ekstremverdi, får vi bare en losningsgren:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Merk: Ved $a = 1$ faller de to losningsgrenene sammen fordi $\displaystyle \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ .

📝Oppgave 4.33

Los likningen $\sin x = -1$ .

✏️Eksempel 4: Ingen losning

Los likningen $\sin x = 2$ .

Steg 1: Sjekk losbarhet.

2 > 1

, sa verdien ligger utenfor verdiomradet til sinusfunksjonen.

Konklusjon: Likningen har ingen losning siden $\sin x \in [-1, 1]$ for alle $x$ .

Vanlig feil

Husk å sjekke at $|a| \leq 1$ for likningen har losning. Mange glemmer dette og forsaker å lose likninger som $\sin x = 1.5$ eller $\sin x = -3$ , som ikke har losninger.

Løsninger i et bestemt intervall

Ofte blir vi bedt om å finne alle losninger i et gitt intervall, for eksempel $[0, 2\pi)$ eller $[-\pi, \pi]$ .

Fremgangsmate:
1. Finn den generelle losningen
2. Sett inn ulike verdier for $n$ ( $n = 0, \pm 1, \pm 2, ...$ )
3. Behold kun de losningene som ligger i det angitte intervallet

✏️Eksempel 5: Løsninger i [0, 2pi)

Finn alle losninger av $\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i intervallet $[0, 2\pi)$ .

Steg 1: Finn den generelle losningen.
Vi vet at

\displaystyle \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Steg 2: Finn losninger i $[0, 2\pi)$ .

For $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} \approx 0.79$ \checkmark (i intervallet)
- $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2\pi \approx 7.07$ (utenfor)
- $n = -1$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} - 2\pi \approx -5.50$ (utenfor)

For $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} \approx 2.36$ \checkmark (i intervallet)
- $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \approx 8.64$ (utenfor)
- $n = -1$ : $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi \approx -3.93$ (utenfor)

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4}$

📝Oppgave 4.34

Finn alle losninger av $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ i intervallet $[0, 2\pi)$ .

✏️Eksempel 6: Løsninger i [-pi, pi]

Finn alle losninger av $\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ i intervallet $[-\pi, \pi]$ .

Steg 1: Finn den generelle losningen.
Vi bruker

\displaystyle v = -\frac{\pi}{3}

siden

\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n

Steg 2: Finn losninger i $[-\pi, \pi]$ .

For $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} \approx -1.05$ \checkmark

For $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19$ (utenfor, $> \pi$ )
- $n = -1$ : $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3} \approx -2.09$ \checkmark

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle x = -\frac{2\pi}{3}$

📝Oppgave 4.35

Finn alle losninger av $\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ i intervallet $[-\pi, \pi]$ .

Grafisk tolkning

Å lose $\sin x = a$ grafisk betyr å finne skjaringspunktene mellom grafen til $y = \sin x$ og den horisontale linjen $y = a$ .

Viktige observasjoner:
- Sinusgrafen svinger mellom $-1$ og $1$ med periode $2\pi$
- For $-1 < a < 1$ skjærer linjen $y = a$ sinusgrafen to ganger per periode
- For $a = \pm 1$ skjærer linjen sinusgrafen en gang per periode (i topp/bunnpunktene)
- For $|a| > 1$ skjærer linjen aldri sinusgrafen

Denne grafiske forstaelsen hjelper oss å:
1. Raskt avgjore om en likning har losning
2. Finne antall losninger i et gitt intervall
3. Estimere losningene visuelt

📊Utforsk sinuslikninger grafisk

Dra glideren for å endre verdien av $a$ og se hvor linjen $y = a$ skjærer sinusgrafen.

✏️Eksempel 7: Antall losninger grafisk

Hvor mange losninger har likningen $\sin x = 0.3$ i intervallet $[0, 4\pi]$ ?

Grafisk resonnement:
Linjen

y = 0.3

skjærer sinusgrafen to ganger per periode (

2\pi

Intervallet $[0, 4\pi]$ inneholder $\displaystyle \frac{4\pi}{2\pi} = 2$ fulle perioder.

Antall losninger: $2 \times 2 = 4$ losninger.

Verifisering med regning:
$\sin^{-1}(0.3) \approx 0.305$ radianer.
Løsningene er omtrent:
- $x \approx 0.305$ (1. periode, stigende)
- $x \approx \pi - 0.305 \approx 2.837$ (1. periode, synkende)
- $x \approx 0.305 + 2\pi \approx 6.588$ (2. periode, stigende)
- $x \approx 2.837 + 2\pi \approx 9.120$ (2. periode, synkende)

Alle fire ligger i $[0, 4\pi] \approx [0, 12.57]$ .

📝Oppgave 4.36

Hvor mange losninger har likningen $\sin x = 0.7$ i intervallet $[0, 6\pi]$ ?

📜Antall losninger i et intervall

For likningen $\sin x = a$ der $-1 < a < 1$ :

I et intervall som inneholder $n$ fulle perioder (lengde $2\pi n$ ), er antall losninger lik $2n$ .

Spesialtilfeller:
- Hvis $a = 1$ eller $a = -1$ : $n$ losninger
- Hvis $|a| > 1$ : $0$ losninger

Merk: For intervaller som ikke inneholder hele perioder, ma man telle mer noyaktig ved å finne de eksakte losningene.

Sammensatte sinuslikninger: $\sin(kx + c) = a$

Nar sinusfunksjonen har et mer komplisert argument, som $\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{3})$ eller $\sin(3x - 1)$ , bruker vi substitusjon.

Strategi:
1. Sett $u = kx + c$ (det indre uttrykket)
2. Los $\sin u = a$ for $u$
3. Los for $x$ fra $u = kx + c$

Viktig: Husk at perioden til $\sin(kx)$ er $\displaystyle \frac{2\pi}{|k|}$ , ikke $2\pi$ !

✏️Eksempel 8: Likning med dobbelt argument

Los likningen $\displaystyle \sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Steg 1: Sett

u = 2x

.
Likningen blir

\displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{3}}{2}

Steg 2: Los for $u$ .
$u = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad u = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Steg 3: Los for $x$ .
Fra $u = 2x$ får vi $\displaystyle x = \frac{u}{2}$ :
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Merk: Perioden er halvert fra $2\pi$ til $\pi$ fordi koeffisienten foran $x$ er $2$ .

📝Oppgave 4.37

Los likningen $\displaystyle \sin(3x) = \frac{1}{2}$ .

✏️Eksempel 9: Likning med faseforskyvning

Los likningen $\displaystyle \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Steg 1: Sett

\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}

.
Likningen blir

\displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{2}}{2}

Steg 2: Los for $u$ .
$u = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad u = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Steg 3: Los for $x$ fra $\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}$ , altså $\displaystyle x = u + \frac{\pi}{4}$ :
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ eller $x = \pi + 2\pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

📝Oppgave 4.38

Los likningen $\displaystyle \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ .

✏️Eksempel 10: Generell sammensetning

Los likningen $\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ .

Steg 1: Sett

\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{3}

.
Likningen blir

\displaystyle \sin u = -\frac{1}{2}

Steg 2: Los for $u$ .
Vi bruker $\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ :
$u = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad u = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$

Steg 3: Los for $x$ fra $\displaystyle 2x + \frac{\pi}{3} = u$ :
$2x = u - \frac{\pi}{3}$
$x = \frac{u}{2} - \frac{\pi}{6}$

For $\displaystyle u = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ :
$x = \frac{-\frac{\pi}{6} + 2\pi n}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{12} + \pi n - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

For $\displaystyle u = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ :
$x = \frac{\frac{7\pi}{6} + 2\pi n}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{12} + \pi n - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{12} + \pi n$

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

📝Oppgave 4.39

Los likningen $\displaystyle \sin(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ og finn alle losninger i $[0, 2\pi)$ .

Huskeregel for $\sin(kx + c) = a$ :

Nar du har funnet den generelle losningen for $u$ , deler du $2\pi n$ -leddet på $k$ for å fa riktig periode for $x$ .

For eksempel: Hvis $u = v + 2\pi n$ og $u = kx + c$ , da blir:
$x = \frac{v - c}{k} + \frac{2\pi n}{k}$

Perioden til losningen er $\displaystyle \frac{2\pi}{k}$ , ikke $2\pi$ .

Flere teknikker

Noen sinuslikninger krever ekstra manipulasjon for de kan loses. Her ser vi på noen vanlige situasjoner.

✏️Eksempel 11: Likning med kalkulator

Los likningen $\sin x = 0.4$ og finn alle losninger i $[0, 2\pi)$ . Angi svarene med tre desimaler.

Steg 1: Bruk kalkulator til å finne arcsin.

v = \sin^{-1}(0.4) \approx 0.412

radianer.

Steg 2: Den generelle losningen er:
$x \approx 0.412 + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x \approx \pi - 0.412 + 2\pi n \approx 2.730 + 2\pi n$

Steg 3: I $[0, 2\pi)$ :
- $x \approx 0.412$
- $x \approx 2.730$

Svar: $x \approx 0.412$ og $x \approx 2.730$ .

📝Oppgave 4.310

Los likningen $\sin x = 0.6$ og finn alle losninger i $[0, 2\pi)$ . Angi svarene med tre desimaler.

✏️Eksempel 12: Likning som krever omforming

Los likningen $2\sin x + 1 = 0$ .

Steg 1: Isoler sinusleddet.

2\sin x = -1

\sin x = -\frac{1}{2}

Steg 2: Los den enkle sinuslikningen.
Vi vet at $\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ .
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$

Alternativ form: $\displaystyle x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

📝Oppgave 4.311

Los likningen $4\sin x - 2 = 0$ .

✏️Eksempel 13: Likning med sin x = 0

Los likningen $\sin x = 0$ i intervallet $[-2\pi, 2\pi]$ .

Løsning av $\sin x = 0$ :
Sinusfunksjonen er null nar

x

er et heltallsmultiplum av

\pi

x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}

I intervallet $[-2\pi, 2\pi]$ :
- $n = -2$ : $x = -2\pi$
- $n = -1$ : $x = -\pi$
- $n = 0$ : $x = 0$
- $n = 1$ : $x = \pi$
- $n = 2$ : $x = 2\pi$

Svar: $x = -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi$ (5 losninger).

📝Oppgave 4.312

Los likningen $\sin(2x) = 0$ i intervallet $[0, 2\pi)$ .

Praktiske anvendelser

Sinuslikninger dukker opp i mange praktiske situasjoner der vi modellerer periodiske fenomener. Her er noen typiske eksempler.

✏️Eksempel 14: Tidevann

Vannstanden i en havn kan modelleres med funksjonen

h(t) = 2 + 1.5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)

der

h

er vanndybden i meter og

t

er tiden i timer etter midnatt.

a) Nar er vannstanden noyaktig 2.75 meter i løpet av det forste dognet?
b) I hvilke tidsperioder er vannstanden over 3 meter?

a) Finn nar $h(t) = 2.75$ :

2 + 1.5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 2.75

\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 0.5

Sett $\displaystyle u = \frac{\pi}{6}t$ :
$\sin u = 0.5 \Rightarrow u = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \text{ eller } u = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Los for $t$ :
$t = \frac{6u}{\pi} = 1 + 12n \text{ eller } t = 5 + 12n$

I det forste dognet ( $0 \leq t < 24$ ):
- $t = 1$ time (kl. 01:00)
- $t = 5$ timer (kl. 05:00)
- $t = 13$ timer (kl. 13:00)
- $t = 17$ timer (kl. 17:00)

b) Finn nar $h(t) > 3$ :
$2 + 1.5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) > 3$
$\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) > \frac{2}{3}$

$\displaystyle \sin^{-1}(\frac{2}{3}) \approx 0.7297$ rad.
Sinusfunksjonen er storre enn $\displaystyle \frac{2}{3}$ nar:
$0.7297 + 2\pi n < \frac{\pi}{6}t < (\pi - 0.7297) + 2\pi n$

For $n = 0$ : $1.4 < t < 5.6$ timer
For $n = 1$ : $13.4 < t < 17.6$ timer

Svar: Vannstanden er over 3 meter mellom ca. kl. 01:24-05:36 og kl. 13:24-17:36.

📝Oppgave 4.313

Temperaturen i et rom varierer gjennom dognet og kan beskrives med

T(t) = 20 + 3\sin\left(\frac{\pi}{12}(t - 6)\right)

der

T

er temperaturen i grader Celsius og

t

er tiden i timer etter midnatt.

Nar i løpet av dognet er temperaturen noyaktig 21.5 grader?

✏️Eksempel 15: Fjorarm

En fjorarm beveger seg opp og ned i henhold til formelen

s(t) = 4\sin(\pi t)

der

s

er posisjonen i cm fra likevektspunktet og

t

er tiden i sekunder.

a) Nar er fjoerarmen noyaktig 2 cm over likevektspunktet i de forste 3 sekundene?
b) Hvor ofte krysser fjaoerarmen likevektspunktet?

a) Finn nar $s(t) = 2$ :

4\sin(\pi t) = 2

\sin(\pi t) = \frac{1}{2}

Sett $u = \pi t$ :
$u = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \text{ eller } u = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
$t = \frac{1}{6} + 2n \text{ eller } t = \frac{5}{6} + 2n$

I de forste 3 sekundene ( $0 \leq t \leq 3$ ):
- $\displaystyle t = \frac{1}{6} \approx 0.17$ s
- $\displaystyle t = \frac{5}{6} \approx 0.83$ s
- $\displaystyle t = \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6} \approx 2.17$ s
- $\displaystyle t = \frac{5}{6} + 2 = \frac{17}{6} \approx 2.83$ s

b) Kryssing av likevektspunktet:
$s(t) = 0$ nar $\sin(\pi t) = 0$ , altså $\pi t = n\pi$ , dvs. $t = n$ sekunder.

Fjaoerarmen krysser likevektspunktet hvert sekund (ved $t = 0, 1, 2, 3, ...$ ).

📝Oppgave 4.314

En pendel svinger slik at vinkelen fra vertikalen er gitt ved

\theta(t) = 15\sin(2\pi t)

der

\theta

er vinkelen i grader og

t

er tiden i sekunder.

a) Nar passerer pendelen gjennom stillingen $\theta = 7.5$ grader for forste gang?
b) Hvor ofte star pendelen vertikalt ( $\theta = 0$ )?

✏️Eksempel 16: Lydbolge

En lydbolge beskrives av funksjonen

p(t) = 0.02\sin(880\pi t)

der

p

er trykket i pascal og

t

er tiden i sekunder. Dette tilsvarer tonen A4 (kammertonen).

Hvor mange ganger per sekund er trykket noyaktig null?

Finn nar $p(t) = 0$ :

\sin(880\pi t) = 0

880\pi t = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}

t = \frac{n}{880}

Antall nullpunkter per sekund:
For $t \in [0, 1]$ får vi $n = 0, 1, 2, ..., 880$ .
Det gir 881 nullpunkter (inkludert begge endepunktene).

Hvis vi teller antall ganger trykket passerer gjennom null (ikke inkludert $t = 0$ ), får vi 880 passeringer per sekund.

Merk: Frekvensen til lyden er $\displaystyle \frac{880}{2} = 440$ Hz, som er kammertonen A4.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Løsbarhet: $\sin x = a$ har løsninger bare når $-1 \leq a \leq 1$ .
- Generell løsning: Hvis $\sin v = a$ , er $x = v + 2\pi n$ eller $x = \pi - v + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .
- Likninger med sammensatt argument: For $\sin(kx + c) = a$ løser du først for $kx + c$ , deretter for $x$ . Perioden blir $\displaystyle \frac{2\pi}{k}$ .
- Løsninger i intervall: Sett inn heltallsverdier av $n$ og behold løsningene som ligger i intervallet.
- Praktisk bruk: Periodiske fenomener som tidevann og temperatur modelleres med sinusfunksjoner, og likninger gir tidspunktene for gitte verdier.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Sinuslikning	Likning på formen $\sin x = a$
Generell løsning	Alle løsninger, uttrykt med $n \in \mathbb{Z}$
Referanseløsning	$v = \arcsin a$
Periode	$2\pi$ for $\sin x$ , $\displaystyle \frac{2\pi}{k}$ for $\sin(kx)$

Viktige formler

\sin x = a \Rightarrow x = v + 2\pi n \ \lor\ x = \pi - v + 2\pi n

, der

\sin v = a

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Oppgaver

Lett3 oppgaver

4.315

4.316

4.317

Medium7 oppgaver

4.318

4.319

4.320

4.321

4.322

4.326

4.329

Vanskelig6 oppgaver

4.323

4.324

4.325

4.327

4.328

4.330

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Sinuslikninger

Spesielle verdier

Løsninger i et bestemt intervall

Grafisk tolkning

Sammensatte sinuslikninger: sin⁡(kx+c)=a\sin(kx + c) = asin(kx+c)=a

Flere teknikker

Praktiske anvendelser

Oppsummering

Nøkkelbegreper

Viktige formler

Oppgaver

Sammensatte sinuslikninger: $\sin(kx + c) = a$