4.3 Sinuslikninger

Når er vannet høyt nok?

Du står på kaia og venter på at båten skal kunne legge ut. Tidevannet stiger og synker i en jevn, bølgende rytme, og havnekontoret bruker en sinusfunksjon for å beskrive vanndybden gjennom døgnet. Spørsmålet «når er dybden nøyaktig fire meter?» er i virkeligheten en sinuslikning: en likning der den ukjente står inne i en sinusfunksjon, som $\sin x = a$.

Slike likninger dukker opp overalt der noe svinger — i havbølger, lydbølger, vekselstrøm og pendelbevegelser. Men de oppfører seg annerledes enn likningene du er vant til. En vanlig førstegradslikning har én løsning. En sinuslikning har enten ingen løsninger eller uendelig mange, fordi sinusfunksjonen gjentar seg i det uendelige med periode $2\pi$. Hvis vannet er fire meter dypt klokka to i dag, er det fire meter dypt på samme tidspunkt i morgen også.

I denne fortellingen lærer du å løse grunnlikningen $\sin x = a$ og skrive opp den generelle løsningen med heltallsparameteren $n$, å plukke ut løsningene som ligger i et bestemt intervall, å håndtere sammensatte likninger som $\sin(kx + c) = a$, og til slutt å bruke alt sammen på praktiske problemer — som tidevannet ved kaia.

Grunnlikningen og den generelle løsningen

Først det viktigste spørsmålet: har likningen $\sin x = a$ i det hele tatt en løsning? Sinusfunksjonen svinger evig mellom $-1$ og $1$, så likningen er løsbar bare når $-1 \leq a \leq 1$. En likning som $\sin x = 2$ har ingen løsning — et vanlig feilgrep er å glemme denne sjekken.

Anta nå at $|a| \leq 1$, og at vi har funnet én vinkel $v$ med $\sin v = a$ (for pene verdier bruker vi tabellen: $\displaystyle \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\displaystyle \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$; ellers gir kalkulatoren $v = \arcsin a$). På enhetssirkelen er sinus $y$-koordinaten, og en vannrett linje i høyden $a$ skjærer sirkelen i to punkter: ett ved vinkelen $v$ og ett ved den speilvendte vinkelen $\pi - v$. Begge har samme sinusverdi. I tillegg gjentar alt seg for hver hele runde. Den generelle løsningen blir derfor

$$x = v + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - v + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ta $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ som eksempel. Vi vet at $\displaystyle \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, så løsningene er $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ eller $\displaystyle x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. To uendelige familier av løsninger, jevnt fordelt med $2\pi$ mellomrom.

Ytterpunktene er spesielle: $\sin x = 1$ har bare én løsning per periode, $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, fordi linjen $y = 1$ akkurat tangerer toppen av sirkelen. Tilsvarende gir $\sin x = -1$ løsningen $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

Løsninger i et intervall og det grafiske bildet

Havnekontoret bryr seg sjelden om alle tidspunkter i all evighet — de vil vite når dybden passer i dag. Da trenger vi løsningene i et gitt intervall, for eksempel $[0, 2\pi)$. Fremgangsmåten er rett frem: finn først den generelle løsningen, sett deretter inn heltallsverdier $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$, og behold bare de løsningene som faller innenfor intervallet. For $\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $[0, 2\pi)$ gir $n = 0$ løsningene $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4}$; andre verdier av $n$ havner utenfor.

Det grafiske bildet gjør alt dette intuitivt. Å løse $\sin x = a$ er det samme som å finne skjæringspunktene mellom sinuskurven $y = \sin x$ og den vannrette linjen $y = a$. Sinuskurven bølger mellom $-1$ og $1$ med periode $2\pi$, og da ser du umiddelbart mønsteret: for $-1 < a < 1$ skjærer linjen kurven to ganger per periode, for $a = \pm 1$ tangerer den toppene eller bunnene og treffer én gang per periode, og for $|a| > 1$ treffer den aldri.

Denne forståelsen gir deg tre superkrefter: du kan raskt avgjøre om en likning har løsning, du kan telle antall løsninger i et intervall uten å regne dem ut — et intervall med $k$ fulle perioder gir $2k$ løsninger når $-1 < a < 1$ — og du kan anslå løsningene visuelt før du regner, som en kontroll på at svaret ditt er rimelig.

Sammensatte likninger: $\sin(kx + c) = a$

Tidevannsmodeller har sjelden et nakent $x$ inne i sinusen. Oftere ser du noe som $\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{3})$ eller $\sin(3x - 1)$, der argumentet er et helt uttrykk. Strategien er substitusjon: kall det indre uttrykket $u = kx + c$, løs den velkjente likningen $\sin u = a$ for $u$, og løs deretter for $x$.

La oss løse $\sin(2x) = 1$. Med $u = 2x$ får vi $\sin u = 1$, som gir $\displaystyle u = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Da er $\displaystyle 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, og deler vi på $2$: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Legg merke til det viktige som skjedde i siste steg: også perioden $2\pi n$ ble delt på $k = 2$. Det er nettopp dette som speiler at $\sin(kx)$ har periode $\displaystyle \frac{2\pi}{|k|}$, ikke $2\pi$ — funksjonen svinger $k$ ganger raskere, så løsningene ligger tettere.

Det får konsekvenser for antall løsninger i et intervall. Likningen $\sin(2x) = 0{,}5$ har periode $\pi$, så i $[0, 2\pi)$ rekker funksjonen to fulle perioder med to løsninger i hver — fire løsninger totalt, dobbelt så mange som for $\sin x = 0{,}5$.

Noen likninger trenger litt rydding først. Står det $2\sin(3x) - 1 = 0$, isolerer du sinusleddet til $\displaystyle \sin(3x) = \frac{1}{2}$ før du substituerer. Og uansett hvor sammensatt likningen ser ut: så lenge du kan koke den ned til «sinus av noe er lik et tall», er resten ren rutine — løs for «noe», og pakk ut $x$ til slutt.

Tilbake til kaia — praktiske anvendelser

Nå har vi verktøyene, så la oss løse problemet vi startet med. Si at vanndybden ved kaia følger modellen $\displaystyle h(t) = 2\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 5$, der $h$ er dybden i meter og $t$ er timer etter midnatt. Hva forteller modellen oss?

Amplituden $2$ og likevektsnivået $5$ sier at dybden svinger mellom $3$ og $7$ meter. Perioden er $\displaystyle \frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ timer — to høyvann i døgnet, slik tidevann gjerne oppfører seg. Og når er dybden på sitt største? Når sinusleddet er $1$, altså når $\displaystyle \frac{\pi}{6}t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, som gir $t = 3 + 12n$: klokka 03 og klokka 15.

Vil båten ha nøyaktig $6$ meter, løser vi $\displaystyle 2\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 5 = 6$. Først isolerer vi: $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) = \frac{1}{2}$. Substitusjonen $\displaystyle u = \frac{\pi}{6}t$ gir $\displaystyle u = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ eller $\displaystyle u = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, og dermed $t = 1 + 12n$ eller $t = 5 + 12n$. I løpet av det første halve døgnet er dybden seks meter klokka 01 og klokka 05 — på vei opp og på vei ned.

Dette mønsteret — modell, isolér sinusleddet, generell løsning, plukk verdier i intervallet, tolk svaret — er nøyaktig det samme enten det handler om tidevann, temperatursvingninger gjennom året eller spenningen i en stikkontakt. Sinuslikningene er nøkkelen som låser opp tidspunktene i ethvert periodisk fenomen.

Oppsummering

Fortellingen begynte ved kaia, med tidevannet som steg og sank etter en sinusfunksjon. For å svare på «når er dybden fire meter?» trengte vi sinuslikninger, og underveis bygde vi opp en komplett verktøykasse.

Først løsbarheten: $\sin x = a$ har løsninger bare når $-1 \leq a \leq 1$ — sjekk alltid dette først. Deretter den generelle løsningen: finner du én vinkel $v$ med $\sin v = a$, er alle løsningene $x = v + 2\pi n$ eller $x = \pi - v + 2\pi n$ for $n \in \mathbb{Z}$. De to familiene kommer fra at den vannrette linjen $y = a$ skjærer enhetssirkelen i to punkter, $v$ og $\pi - v$, og periodisiteten legger til $2\pi n$. Spesialtilfellene $a = \pm 1$ gir bare én løsning per periode.

Grafisk så vi at løsningene er skjæringspunktene mellom sinuskurven og linjen $y = a$: to per periode når $-1 < a < 1$. Skal du finne løsninger i et intervall, setter du inn heltallsverdier av $n$ og beholder dem som passer.

For sammensatte likninger $\sin(kx + c) = a$ var oppskriften substitusjon: løs for hele argumentet $u = kx + c$ først, og løs deretter for $x$. Husk at perioden krymper til $\displaystyle \frac{2\pi}{|k|}$, slik at intervaller rommer flere løsninger. Og til slutt så vi at praktiske problemer — tidevann, temperatur, svingninger — alltid følger samme mønster: isolér sinusleddet, løs generelt, velg løsningene i intervallet, og tolk svaret i situasjonen.