6.3 Rayleigh-maksimering og kjeglesnitt

Rayleigh-kvotienten: max{Q(x):‖x‖=1}=λ_max oppnådd i egenvektoren til λ_max (Teorem 6/7 §7.3), og kjeglesnitt: variabelskiftet x=Py fjerner kryssleddet så du leser av ellipse/hyperbel/parabel.

55 min

8 oppgaver

Rayleigh-maksimeringkjeglesnitt

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.2Kvadratiske former: symmetrisering og definitthet

Brukes videre i

6.4Drill: symmetrisk-kjeden — ortogonal diagonalisering → kvadratisk form → Rayleigh/kjeglesnitt

Rayleigh og kjeglesnitt er toppsjiktet av sjanger G — del av de ~70 % (Rayleigh 2022 O3; kjeglesnitt 2024 O4b; ulikhet 2021 O2c). Prioritet: kunne. To grep gir uttelling:

- Rayleigh: $\max\{\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}:\lVert\mathbf{x}\rVert=1\}=\lambda_{\max}$ , oppnådd i egenvektoren til $\lambda_{\max}$ ; $\min=\lambda_{\min}$ . Navngi Teorem 6/7 §7.3.
- Kjeglesnitt: variabelskiftet $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ (ortogonal $P$ fra spektralteoremet) fjerner kryssleddet, og egenverditegnene avgjør ellipse/hyperbel/parabel. Ber oppgaven om å skissere, skal figuren tegnes i hovedaksene $y_1,y_2$ .

Alt hviler på den ortogonale $P$ fra kap. 6.1 og klassifiseringen fra kap. 6.2.

Forkunnskaper:

- Kap. 6.1 — ortogonal diagonalisering $A=PDP^{T}$ , ortonormale egenvektorer
- Kap. 6.2 — kvadratisk form, symmetrisering, definitthet
- Kap. 4.1 — norm og enhetsvektorer
- Kjeglesnitt — VGS-kjennskap til ellipse og hyperbel
- Matriseprodukt (MAT1110) — matriseprodukt

Sist du var her

To verktøy fra Del 6 bæres rett inn her:

- Hovedaksetransformasjonen (kap. 6.2): med ortogonal $P$ og $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ blir $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=\lambda_1y_1^2+\dots+\lambda_ny_n^2$ .
- Normbevaring (kap. 6.1): $\lVert\mathbf{x}\rVert=\lVert P\mathbf{y}\rVert=\lVert\mathbf{y}\rVert$ , så «enhetssfæren» $\lVert\mathbf{x}\rVert=1$ svarer til $\lVert\mathbf{y}\rVert=1$ .

Rayleigh og kjeglesnitt er to anvendelser av nøyaktig disse to fakta.

En symmetrisk matrise gir to geometriske spørsmål som er faste karakterskillere:

1. Rayleigh — hvor stor kan $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ bli når $\mathbf{x}$ holdes på enhetssfæren $\lVert\mathbf{x}\rVert=1$ ? Svar: største egenverdi.
2. Kjeglesnitt — hvilken kurve er $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=c$ ? Etter et variabelskifte som fjerner kryssleddet leser du av ellipse, hyperbel eller parabel.

Kapitlet går i tre løkker:

1. Rayleigh-kvotienten og Teorem 6/7 §7.3.
2. Variabelskiftet $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ og kjeglesnitt-klassifisering.
3. Skisse i hovedaksene — ellipse, hyperbel, og det degenererte parabel-tilfellet.

Løkke 1 — Rayleigh-kvotienten: max på enhetssfæren er λmax (~18 min)

For en symmetrisk

A

spør vi: hvor store og små verdier tar

Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}

når vi begrenser oss til enhetsvektorer

\lVert\mathbf{x}\rVert=1

? Bruk hovedaksetransformasjonen

\mathbf{x}=P\mathbf{y}

(ordne

\lambda_1\ge\lambda_2\ge\dots\ge\lambda_n

Q=\lambda_1y_1^2+\dots+\lambda_ny_n^2,\qquad \lVert\mathbf{y}\rVert=\lVert\mathbf{x}\rVert=1.

Siden

\sum y_i^2=1

Q

et vektet gjennomsnitt av egenverdiene, med vekter

y_i^2\ge0

. Da:

\lambda_{\min}\le Q\le\lambda_{\max}.

Maksimum

\lambda_{\max}

nås ved å legge all vekt på den største egenverdien (

y_1=1

, resten

0

), altså

\mathbf{y}=\mathbf{e}_1

som gir

\mathbf{x}=P\mathbf{e}_1=\mathbf{u}_1

, egenvektoren til $\lambda_{\max}$ . Dette er Teorem 6 §7.3. Begrenser du i tillegg til

\mathbf{x}\perp\mathbf{u}_1

, blir maksimum

\lambda_2

(nest største), oppnådd i

\mathbf{u}_2

— Teorem 7 §7.3.

Rayleigh-kvotienten

A

📜Rayleigh (Teorem 6 og 7 §7.3)

La $A$ være symmetrisk med egenverdier $\lambda_1\ge\lambda_2\ge\dots\ge\lambda_n$ og ortonormale egenvektorer $\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_n$ . Da:

- $\displaystyle\max_{\lVert\mathbf{x}\rVert=1}\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=\lambda_1$ , oppnådd i $\mathbf{x}=\mathbf{u}_1$ ;
- $\displaystyle\min_{\lVert\mathbf{x}\rVert=1}\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=\lambda_n$ , oppnådd i $\mathbf{x}=\mathbf{u}_n$ ;
- $\displaystyle\max_{\lVert\mathbf{x}\rVert=1,\ \mathbf{x}\perp\mathbf{u}_1}\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=\lambda_2$ , oppnådd i $\mathbf{x}=\mathbf{u}_2$ (Teorem 7).

✏️Eksempel 1: Rayleigh-maksimum og -minimum

La $A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}$ (fra vedlegget: egenverdier $4$ med egenvektor $(1,1)^{T}$ og $2$ med egenvektor $(1,-1)^{T}$ ). Finn $\max$ og $\min$ av $Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ over $\lVert\mathbf{x}\rVert=1$ , og oppgi hvor de nås.

A

er symmetrisk med egenverdier

\lambda_{\max}=4

\lambda_{\min}=2

. Ved Rayleigh (Teorem 6 §7.3):

\max_{\lVert\mathbf{x}\rVert=1}Q=\lambda_{\max}=4,\qquad \min_{\lVert\mathbf{x}\rVert=1}Q=\lambda_{\min}=2.

Maksimum nås i den normaliserte egenvektoren til

\lambda=4

\mathbf{u}_1=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1)^{T}

. Minimum nås i

\mathbf{u}_2=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,-1)^{T}

Kontroll: $Q(\mathbf{u}_1)=\mathbf{u}_1^{T}A\mathbf{u}_1=\tfrac12(1,1)\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}(1,1)^{T}=\tfrac12(1,1)(4,4)^{T}=\tfrac12\cdot8=4$ ✓. Konklusjon: $\max=4$ (i $\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1)^{T}$ ), $\min=2$ (i $\tfrac{1}{\sqrt2}(1,-1)^{T}$ ) — eksakte verdier.

📝Oppgave 1

En symmetrisk $3\times3$ -matrise $A$ har egenverdier $2,2,8$ (fra vedlegget). Hva er $\max$ og $\min$ av $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ over $\lVert\mathbf{x}\rVert=1$ ?

📝Oppgave 2

La $A$ være symmetrisk med egenverdier $\lambda_1=9>\lambda_2=5>\lambda_3=1$ og ortonormale egenvektorer $\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3$ .

a) Hva er $\max\{\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}:\lVert\mathbf{x}\rVert=1\}$ ?

b) Hva er maksimum hvis vi i tillegg krever $\mathbf{x}\perp\mathbf{u}_1$ ?

Løkke 2 — Variabelskiftet x=Py og kjeglesnitt-klassifisering (~18 min)

En kurve

\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=c

i planet (med

A

symmetrisk

2\times2

) har som regel et kryssledd, så aksene er «vridd». Sett

\mathbf{x}=P\mathbf{y}

med ortogonal

P

fra spektralteoremet — en rotasjon/refleksjon til nye akser

y_1,y_2

langs egenvektorene (hovedaksene). Da forsvinner kryssleddet:

\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2=c.

Nå leses kurvetypen rett av egenverditegnene (for

c>0

- begge $\lambda_i>0$ (posdef): ellipse $\dfrac{y_1^2}{c/\lambda_1}+\dfrac{y_2^2}{c/\lambda_2}=1$ ;
- motsatt fortegn (indefinit): hyperbel;
- én $\lambda_i=0$ (semidefinit): parabel eller degenerert (par av linjer/tom).

Hovedaksene peker langs egenvektorene til $A$ ; halvaksene bestemmes av $c/\lambda_i$ .

Hovedaksesetningen (variabelskifte x=Py)

\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}

Kjeglesnitt-klassifisering

\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=c

✏️Eksempel 2: Klassifiser en kurve ved variabelskifte

Avgjør ved et variabelskifte som fjerner kryssleddet hvilken kurve $2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2=3$ er.

Matriseform. Kryssleddet

2x_1x_2

deles på 2:

a_{12}=a_{21}=1

, så

A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}

. Fra vedlegget er egenverdiene

\lambda_1=3

(egenvektor

(1,1)^{T}

) og

\lambda_2=1

(egenvektor

(1,-1)^{T}

Variabelskifte. Normalisér: $\mathbf{u}_1=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1)^{T}$ for $\lambda=1$ ? — nei, ordne slik at $D$ matcher. Vi setter $P=\big[\,\tfrac{1}{\sqrt2}(1,-1)^{T}\ \ \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1)^{T}\,\big]$ (søyle 1 ↔ $\lambda=1$ , søyle 2 ↔ $\lambda=3$ ). Med $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ :
$2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2=1\cdot y_1^2+3\cdot y_2^2=3.$

Klassifisering. Begge egenverdiene er positive (posdef) $\Rightarrow$ ellipse. Delt på $3$ :
$\frac{y_1^2}{3}+\frac{y_2^2}{1}=1,$
med halvakser $\sqrt3$ langs $y_1$ og $1$ langs $y_2$ . Konklusjon: kurven er en ellipse; se skissen i hovedaksene under.

📝Oppgave 3

Klassifiser (uten å skissere) kurvene ut fra egenverdiene til den symmetriske matrisen:

a) egenverdier $5,2$

b) egenverdier $3,-4$

c) egenverdier $0,6$

Løkke 3 — Skisse i hovedaksene: ellipse, hyperbel og det degenererte tilfellet (~14 min)

Når oppgaven ber om en skisse, tegner du kurven i hovedaksene $y_1,y_2$ (langs egenvektorene), ikke i de opprinnelige $x_1,x_2$ -aksene. Framgangsmåte:

a) Skriv den reduserte formen $\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2=c$ .

b) For en ellipse ( $\tfrac{y_1^2}{a^2}+\tfrac{y_2^2}{b^2}=1$ ): tegn en oval med halvakser $a=\sqrt{c/\lambda_1}$ langs $y_1$ og $b=\sqrt{c/\lambda_2}$ langs $y_2$ .

c) For en hyperbel ( $\tfrac{y_1^2}{a^2}-\tfrac{y_2^2}{b^2}=1$ ): to grener som åpner langs $y_1$ , med asymptoter $y_2=\pm\tfrac{b}{a}y_1$ .

d) Er én $\lambda_i=0$ , degenererer annengradsdelen; med et lineærledd blir det en parabel, ellers et par linjer eller den tomme mengden.

✏️Eksempel 3: Skisser en ellipse i hovedaksene

Skisser kurven fra eksempel 2, $2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2=3$ , i hovedaksene.

Fra eksempel 2 er den reduserte formen $\dfrac{y_1^2}{3}+\dfrac{y_2^2}{1}=1$ : en ellipse med halvakse $\sqrt3\approx1{,}7$ langs $y_1$ og $1$ langs $y_2$ . Hovedaksene $y_1,y_2$ peker langs egenvektorene $(1,-1)^{T}$ og $(1,1)^{T}$ (i det opprinnelige planet en $45^{\circ}$ -vridning). Skissen i hovedaksene:

✏️Eksempel 4: Klassifiser og skisser en hyperbel

Avgjør hvilken kurve $x_1^2+6x_1x_2+x_2^2=8$ er, og skisser den i hovedaksene.

Matriseform. Kryssledd

6x_1x_2

deles på 2:

a_{12}=a_{21}=3

, så

A=\begin{bmatrix}1&3\\3&1\end{bmatrix}

. Fra vedlegget er egenverdiene

\lambda_1=4

(egenvektor

(1,1)^{T}

) og

\lambda_2=-2

(egenvektor

(1,-1)^{T}

Variabelskifte $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ (søyle 1 ↔ $\lambda=4$ , søyle 2 ↔ $\lambda=-2$ ):
$x_1^2+6x_1x_2+x_2^2=4y_1^2-2y_2^2=8.$

Klassifisering. Motsatt fortegn (indefinit) $\Rightarrow$ hyperbel. Delt på $8$ :
$\frac{y_1^2}{2}-\frac{y_2^2}{4}=1,$
som åpner langs $y_1$ (der koeffisienten er positiv), med toppunkter i $y_1=\pm\sqrt2$ og asymptoter $y_2=\pm\sqrt2\,y_1$ . Skissen i hovedaksene:

📝Oppgave 4

Kurven $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=1$ har symmetrisk $A$ med egenverdier $\tfrac14$ og $1$ .

a) Klassifiser kurven.

b) Skriv den reduserte formen $\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2=1$ på standardform og oppgi halvaksene.

📝Oppgave 5

La $A$ være symmetrisk med egenverdier $5$ og $0$ og tilhørende ortonormale egenvektorer $\mathbf{u}_1$ (for $5$ ) og $\mathbf{u}_2$ (for $0$ ). Betrakt $Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ .

a) Klassifiser definittheten til $Q$ .

b) Beskriv nivåmengden $Q(\mathbf{x})=5$ i hovedaksene, og forklar hvorfor det ikke er en ellipse.

Typiske feil

- Glemmer $\lVert\mathbf{x}\rVert=1$ -betingelsen i Rayleigh: uten den er $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ ubegrenset. Maksimum $=\lambda_{\max}$ gjelder på enhetssfæren (eller som Rayleigh-kvotient).
- Oppgir feil egenvektor for maksimum: maks nås i egenvektoren til $\lambda_{\max}$ , ikke til $\lambda_{\min}$ . Normalisér den.
- Ikke-normalisert $P$ i variabelskiftet: $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ må ha ortogonal $P$ ( $P^{T}P=I$ ), ellers stemmer verken $\lVert\mathbf{x}\rVert=\lVert\mathbf{y}\rVert$ eller den reduserte formen.
- Feil kjeglesnitt-klasse fra fortegnene: samme fortegn ⇒ ellipse, blandet ⇒ hyperbel, én null ⇒ parabel/degenerert. Ikke gjett fra koeffisientene i $x$ -form.
- Skisserer i originalaksene i stedet for hovedaksene $y_1,y_2$ : aksene er dreid langs egenvektorene. Tegn i $y$ -koordinatene.
- Bytter om halvaksene: halvaksen langs $y_i$ er $\sqrt{c/\lambda_i}$ — minste egenverdi gir lengste akse.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Rayleigh-kvotienten

R(\mathbf{x})=\dfrac{\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{T}\mathbf{x}}

Maks er største egenverdi

\max_{\lVert\mathbf{x}\rVert=1}\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=\lambda_{\max}

Nest største med bibetingelse

\mathbf{x}\perp\mathbf{u}_1

Q som vektet gjennomsnitt

\mathbf{x}=P\mathbf{y}

Enhetsbetingelsen er avgjørende

\lVert\mathbf{x}\rVert=1

Hovedaksetransformasjonen

\mathbf{x}=P\mathbf{y}

Hvorfor kryssleddet forsvinner

P^{T}AP=D

Ellipse-kriteriet

\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=c>0

Hyperbel-kriteriet

\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=c

Parabel/degenerert

0

Halvaksene

y_i

Hovedaksenes retning

y_1,y_2

Skissér i hovedaksene

y_1,y_2

Rayleigh og ulikheten Q ≤ λmax‖x‖²

\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}\le\lambda_{\max}\lVert\mathbf{x}\rVert^2

Definitthet forutsier kurven

-Q=c

Normbevaring i variabelskiftet

P

Toppunkter og asymptoter

\tfrac{y_1^2}{a^2}-\tfrac{y_2^2}{b^2}=1

Navngi teoremet

På eksamen gir det uttelling å skrive «ved Rayleigh (Teorem 6 §7.3)» framfor bare å oppgi svaret. Teoremnavning er en del av føringsstandarden i sjanger G.

Fra kurve til standardform

A

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.