6.4 Drill: symmetrisk-kjeden — ortogonal diagonalisering → kvadratisk form → Rayleigh/kjeglesnitt

Den faste karakterskiller-kjeden drillet: symmetrisk A → ortogonal diagonalisering A=PDPᵀ → kvadratisk form Q=xᵀAx → definitthet/Rayleigh-maks/kjeglesnitt, alt fra samme matrise med vedleggets egenverdier.

85 min

12 oppgaver

Drillsymmetrisk-kjedenortogonal diagonalisering → kvadratisk form → Rayleigh/kjeglesnitt

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.3Rayleigh-maksimering og kjeglesnitt

Brukes videre i

6.PPrøver til del 6: Symmetriske matriser og kvadratiske former

Dette er karakterskiller-kjeden i oppgave 4. En symmetrisk

A

(fra vedlegget) samler ofte tre tema i én hovedoppgave: ortogonal diagonalisering (F) → kvadratisk form/definitthet → Rayleigh eller kjeglesnitt (G). Til sammen ~55–70 % av settene. Prioritet: kunne.

Her drilles hele kjeden til automatikk. Poengene sitter i de samme fem stedene hver gang: normalisér egenvektorene, Gram–Schmidt i et egenrom med multiplisitet, kryssledd delt på 2, egenverditegn for definitthet, og $\lambda_{\max}$ i riktig egenvektor for Rayleigh. Alt av egenverdier/vektorer leses av vedlegget.

Forkunnskaper:

- Kap. 6.1 — symmetriske matriser og spektralteoremet, ortogonal diagonalisering $A=PDP^{T}$
- Kap. 6.2 — kvadratiske former, symmetrisering og definitthet
- Kap. 6.3 — Rayleigh-maksimering og kjeglesnitt

Her kjedes de sammen slik en hovedoppgave gjør det.

Sist du var her — kjeden på ett kort

Steg	Verktøy	Formel/regel
1	Symmetri ⇒ ortogonalt diagonaliserbar	$A=A^{T}\Rightarrow A=PDP^{T}$ , $P^{T}P=I$ (6.1)
2	Normalisér + Gram–Schmidt i egenrom	$\mathbf{u}=\tfrac{1}{\lVert\mathbf{v}\rVert}\mathbf{v}$ ; $\mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\tfrac{\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{v}_1}{\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_1}\mathbf{v}_1$
3	Kvadratisk form	$Q=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ , kryssledd $k$ ⇒ $a_{ij}=k/2$ (6.2)
4	Definitthet	egenverditegn: alle $>0$ posdef, blandet indefinit, én $0$ semidef
5	Rayleigh / kjeglesnitt	$\max_{\lVert\mathbf{x}\rVert=1}Q=\lambda_{\max}$ ; $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ ⇒ $\sum\lambda_iy_i^2$ (6.3)

Løsningsoppskrift — symmetrisk-kjeden

Møter du en symmetrisk $A$ i oppgave 4, kjør denne rekkefølgen:

1. Er $A$ symmetrisk? Sjekk $A=A^{T}$ , og navngi spektralteoremet: $A$ er ortogonalt diagonaliserbar, $A=PDP^{T}$ .

2. Egenverdier/vektorer fra vedlegget ([V D]=eig/poly+RREF). Normalisér hver egenvektor. Har en egenverdi multiplisitet $\ge2$ : sjekk om vedleggets basis for egenrommet er ortogonal; er den ikke det, kjør Gram–Schmidt innen egenrommet. Bygg ortogonal $P$ (søyler = ortonormale egenvektorer) og diagonal $D$ , matchet søyle for søyle. Kontroll: $P^{T}P=I$ .

3. Kvadratisk form. Skal $Q$ leses av et uttrykk: symmetrisér (kryssledd delt på 2). Skal $Q$ klassifiseres: bruk egenverditegnene (ikke diagonalen).

4. Rayleigh. $\max_{\lVert\mathbf{x}\rVert=1}Q=\lambda_{\max}$ (i egenvektoren til $\lambda_{\max}$ ), $\min=\lambda_{\min}$ . Navngi Teorem 6/7 §7.3.

5. Kjeglesnitt. $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ fjerner kryssleddet; les av ellipse/hyperbel/parabel fra fortegnene og skissér i hovedaksene $y_1,y_2$ .

Alt føres med eksakte svar ( $\sqrt2$ , $\tfrac{1}{\sqrt6}$ , brøker) og en verbal konklusjon.

✏️Gjennomregnet case: oppgave 4-kjeden med sensor-kommentarer

La $A=\begin{bmatrix}5&2&-2\\2&5&-2\\-2&-2&5\end{bmatrix}$ . Vedlegget gir egenverdiene $\lambda=3$ (dobbel) med egenrom utspent av $(-1,1,0)^{T}$ og $(1,0,1)^{T}$ , og $\lambda=9$ (enkel) med egenvektor $(-1,-1,1)^{T}$ .

a) Begrunn at $A$ er ortogonalt diagonaliserbar, og finn ortogonal $P$ og diagonal $D$ med $A=PDP^{T}$ .

b) La $Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ . Skriv $Q$ ut i koordinater og klassifiser definittheten.

c) Finn $\max$ og $\min$ av $Q$ over $\lVert\mathbf{x}\rVert=1$ , og oppgi hvor de nås.

A=A^{T}

, så ved spektralteoremet er

A

ortogonalt diagonaliserbar. (Sensor: navngi teoremet — dette er begrunnelsen, ikke bare en påstand.)

Egenvektoren $(-1,-1,1)^{T}$ for $\lambda=9$ er ortogonal på hele $E_3$ (ulike egenverdier). Inne i $E_3$ er $(-1,1,0)\cdot(1,0,1)=-1\ne0$ , så vi Gram–Schmidter:
$\mathbf{w}_1=(-1,1,0)^{T},\quad \mathbf{w}_2=(1,0,1)^{T}-\frac{-1}{2}(-1,1,0)^{T}=\tfrac12(1,1,2)^{T}\sim(1,1,2)^{T}.$
(Sensor: her sitter halvparten av poengene — glemt Gram–Schmidt gir en $P$ som ikke er ortogonal.) Kontroll: $(-1,1,0)\cdot(1,1,2)=0$ ✓.

Normalisér ( $\lVert(-1,1,0)\rVert=\sqrt2$ , $\lVert(1,1,2)\rVert=\sqrt6$ , $\lVert(-1,-1,1)\rVert=\sqrt3$ ):
$P=\begin{bmatrix}-\tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt6}&-\tfrac{1}{\sqrt3}\\[2pt]\tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt6}&-\tfrac{1}{\sqrt3}\\[2pt]0&\tfrac{2}{\sqrt6}&\tfrac{1}{\sqrt3}\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&9\end{bmatrix}.$
(Sensor: $P^{T}P=I$ og søyle $j$ i $P$ ↔ element $(j,j)$ i $D$ — kontrollér begge.) Da er $A=PDP^{T}$ .

b) Diagonalen $5,5,5$ og kryssledd (delt på 2): $a_{12}=2\Rightarrow 4x_1x_2$ , $a_{13}=-2\Rightarrow -4x_1x_3$ , $a_{23}=-2\Rightarrow -4x_2x_3$ :
$Q(\mathbf{x})=5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-4x_2x_3.$
Egenverdiene $3,3,9$ er alle $>0$ $\Rightarrow$ $Q$ er positiv definit. (Sensor: klassifiser fra egenverditegnene, ikke fra diagonalen $5,5,5$ .)

c) Ved Rayleigh (Teorem 6 §7.3): $\max_{\lVert\mathbf{x}\rVert=1}Q=\lambda_{\max}=9$ , oppnådd i den normaliserte egenvektoren $\tfrac{1}{\sqrt3}(-1,-1,1)^{T}$ ; $\min=\lambda_{\min}=3$ , oppnådd for enhver enhetsvektor i $E_3$ . Konklusjon: $A=PDP^{T}$ som i a), $Q$ posdef, $\max=9$ , $\min=3$ — eksakte verdier.

Legg merke til at samme matrise bar hele oppgaven: egenverdiene fra a) ga både definittheten i b) og Rayleigh-verdiene i c). Å se den koblingen sparer tid og er selve poenget med oppgave 4. Fellene ligger fast: (1) glemt Gram–Schmidt i $E_3$ ; (2) klassifisering fra diagonalen; (3) feil egenvektor for maksimum. Oppgavene under driller hvert ledd hver for seg og deretter kjedet.

Drilloppgaver

Gjør dem gjerne over flere økter. De stiger i vanskegrad og dekker hvert ledd i kjeden; de siste kjeder alt sammen slik oppgave 4 gjør.

📝Oppgave 1

Avgjør uten regning om matrisen er ortogonalt diagonaliserbar, og oppgi begrunnelsen: a) $\begin{bmatrix}7&-1\\-1&4\end{bmatrix}$ b) $\begin{bmatrix}2&5\\-5&2\end{bmatrix}$ .

📝Oppgave 2

Skriv $Q(x_1,x_2)=4x_1^2+7x_2^2-10x_1x_2$ som $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ med symmetrisk $A$ .

📝Oppgave 3

Ortogonaldiagonaliser $A=\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}$ . Vedlegget: egenverdi $3$ med egenvektor $(1,1)^{T}$ , egenverdi $-1$ med egenvektor $(1,-1)^{T}$ .

📝Oppgave 4

En symmetrisk $A$ har egenverdi $6$ (dobbel) med egenrom utspent av $(1,1,0)^{T}$ og $(1,0,-1)^{T}$ , og egenverdi $-3$ med egenvektor $(1,-1,1)^{T}$ . Finn to ortonormale egenvektorer i $E_6$ ved Gram–Schmidt.

📝Oppgave 5

Klassifiser definittheten når den symmetriske matrisen har egenverdier: a) $3,7,2$ b) $-1,-5,-2$ c) $-4,0,6$ d) $0,0,3$ .

📝Oppgave 6

La $A$ være symmetrisk med egenverdier $3,3,9$ (case-matrisen). Finn $\max$ og $\min$ av $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ over $\lVert\mathbf{x}\rVert=1$ , og angi om formen er definit.

📝Oppgave 7

Avgjør hvilken kurve $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=8$ er når $A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}$ (vedlegg: egenverdier $4$ med $(1,1)^{T}$ , $2$ med $(1,-1)^{T}$ ), og skisser den i hovedaksene.

📝Oppgave 8

En student ortogonaldiagonaliserer en symmetrisk $A$ med dobbel egenverdi og skriver $P$ med søylene $(1,1,0)^{T}$ , $(1,0,1)^{T}$ (uortogonaliserte $E$ -vektorer) og $\tfrac{1}{\sqrt3}(1,-1,-1)^{T}$ . Hva er galt, og hva må gjøres?

📝Oppgave 9

La $A$ være symmetrisk med egenverdier $1,4$ (fra vedlegg), $2\times2$ , egenvektorer $(2,1)^{T}$ for $\lambda=4$ og $(1,-2)^{T}$ for $\lambda=1$ .

a) Finn ortogonal $P$ og $D$ med $A=PDP^{T}$ .

b) Klassifiser $Q=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ og oppgi $\max_{\lVert\mathbf{x}\rVert=1}Q$ .

c) Hvilken kurve er $Q=4$ ?

📝Oppgave 10

La $B$ være symmetrisk og positiv definit med egenverdier $2,5,10$ .

a) Vis at $B$ er invertibel og finn egenverdiene til $B^{-1}$ .

b) Bruk Rayleigh på $B^{-1}$ til å finne $\max_{\lVert\mathbf{x}\rVert=1}\mathbf{x}^{T}B^{-1}\mathbf{x}$ .

📝Oppgave 11

Full oppgave 4-simulering. La $A=\begin{bmatrix}5&2&-2\\2&5&-2\\-2&-2&5\end{bmatrix}$ (case-matrisen, egenverdier $3,3,9$ ).

a) Skriv den kvadratiske formen $Q=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ ut i koordinater.

b) Bruk et ortogonalt variabelskifte til å skrive $Q$ uten kryssledd, og klassifiser $Q$ .

c) Finn $\max$ og $\min$ av $Q$ over $\lVert\mathbf{x}\rVert=1$ .

📝Oppgave 12

La $A$ være symmetrisk $2\times2$ med $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=x_1^2-2\sqrt3\,x_1x_2-x_2^2$ . Vedlegget gir egenverdier $\pm2$ med egenvektorer $(\sqrt3,-1)^{T}$ (for $2$ ) og $(1,\sqrt3)^{T}$ (for $-2$ ). Klassifiser kurven $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=4$ og oppgi den reduserte formen.

Typiske feil i kjeden

- Ikke-normaliserte egenvektorer ⇒ $P$ ikke ortogonal ⇒ $A\ne PDP^{T}$ .
- Gram–Schmidt glemt i et egenrom med multiplisitet ⇒ søylene ikke ortogonale (sjekk skalarproduktet av vedleggets $E$ -basis).
- Kryssledd ikke delt på 2 ⇒ feil (usymmetrisk) $A$ og feil egenverdier.
- Klassifisering fra diagonalen i stedet for egenverditegnene.
- Feil egenvektor for Rayleigh-maks (bruker $\lambda_{\min}$ ) eller glemt $\lVert\mathbf{x}\rVert=1$ .
- Skisserer i originalaksene i stedet for hovedaksene $y_1,y_2$ .
- Regner egenverdier for hånd i stedet for å lese vedlegget.

Begrepsbank til drillen

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing.

Symmetrisk-kjeden

A

De fem poengstedene

\lambda_{\max}

Kontroll PᵀP = I

P

Delpunktgjenbruk

P,D

Eksakte svar

\sqrt2

Navngi teoremene

Skriv «ved spektralteoremet», «ved Rayleigh (Teorem 6 §7.3)». Teoremnavning er en del av føringsstandarden og premieres i sensuren.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.