6.P Prøver til del 6: Symmetriske matriser og kvadratiske former

Disse fire prøvene dekker hele Del 6 — Symmetriske matriser og kvadratiske former og trener sjanger F + G: spektralteoremet, ortogonal diagonalisering $A=PDP^{T}$, kvadratiske former/definitthet, Rayleigh og kjeglesnitt — karakterskiller-kjeden i oppgave 4 (~55–70 %). Alt av egenverdier og egenvektorer leses av et vedlegg ([V D]=eig/poly+RREF).

- Prøve 6.A — Spektralteorem + ortogonal diagonalisering (kap. 6.1): begrunn med spektralteoremet, normalisér, Gram–Schmidt i et egenrom med multiplisitet, bygg ortogonal $P$. ~35 min.
- Prøve 6.B — Kvadratisk form: symmetrisering + definitthet (kap. 6.2): kryssledd delt på 2, klassifiser via egenverditegn, posdef-bevis. ~40 min.
- Prøve 6.C — Rayleigh + kjeglesnitt (kap. 6.3): Rayleigh-maks (Teorem 6/7 §7.3) og variabelskifte $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ med skisse i hovedaksene. ~40 min.
- Prøve 6.D — Oppgave 4-simulering (kap. 6.1–6.4): symmetrisk $A$ → ortogonal diagonalisering → kvadratisk form → Rayleigh, kjedet på én matrise. ~45 min.

4 prøver à ~35–45 min, kan trygt deles over flere kvelder — én prøve per økt. Milepælen er å fullføre settet.

Merk formatet: MAT1120-eksamen har ingen flervalg — alt er fullt begrunnet langsvar. Her har likevel Prøve 6.A en liten flervalgsdel til rask begrepssjekk (flervalget bor inne i Prøve 6.A); kryss av og kontroller mot fasiten. De øvrige oppgavene føres som en fullstendig besvarelse: navngi teoremet (spektralteoremet, Rayleigh Teorem 6/7 §7.3), normalisér og Gram–Schmidt i egenrom, del kryssleddet på 2, klassifiser fra egenverditegn, og avslutt med verbal konklusjon og eksakte svar. Etter hver fasit står en avkryssbar selvdiagnose.