4.P Prøver til del 4: Indreproduktrom, ortogonalitet og Gram–Schmidt

Disse fire prøvene dekker hele Del 4 — Indreproduktrom, ortogonalitet og Gram–Schmidt og trener sjanger B: indreprodukt (standard, vektet, integral og evaluering), norm og ortogonalitet, og Gram–Schmidt til en ortogonal/ortonormal basis. Dette er stoffet som ligger under hvert eneste sett (~100 %) — og der ikke-standard indreprodukt (~7 av 10 sett) er den store karakterskilleren.

- Prøve 1 — Indreprodukt, norm og ortogonalitet (kap. 4.1): regn i vektet, integral- og evalueringsindreprodukt; finn normer, avgjør ortogonalitet og bestem ukjente. ~35 min.
- Prøve 2 — Gram–Schmidt i $\mathbb{R}^n$ + ortonormalisering (kap. 4.2): full trestegs Gram–Schmidt i standardprikkproduktet, heltalls-oppskalering, normalisering og koordinater (Fourier-koeffisienter). ~40 min.
- Prøve 3 — Gram–Schmidt i integralindreprodukt på $\operatorname{P}_2$ (kap. 4.2–4.3): ikke-standard — alle skalarprodukt og normer regnes med integralet. ~40 min.
- Prøve 4 — Indreprodukt-tverrsnitt (kap. 4.1–4.3): ortogonal basis i vektet ($\mathbb{R}^3$) OG evaluerings-indreprodukt ($\operatorname{P}_2$) — samme maskineri, ulik definisjon. ~40 min.

4 prøver à ~35–40 min, kan trygt deles over flere kvelder — én prøve per økt. Milepælen er å fullføre settet, ikke å ta alt på én gang.

Merk formatet: MAT1120-eksamen har ingen flervalg — alt er fullt begrunnet langsvar. Her har likevel Prøve 1 en liten flervalgsdel til rask begrepssjekk (flervalget bor inne i Prøve 1); kryss av og kontroller mot fasiten. De øvrige oppgavene skal føres som en fullstendig besvarelse.

Den ene setningen du må ta med deg: når oppgaven oppgir et indreprodukt, regnes alt — hvert skalarprodukt, hver norm, hver ortogonalitetssjekk, og normen i normaliseringen — med det indreproduktet. Å falle tilbake på standardprikkproduktet er den dyreste og vanligste feilen i faget. Etter hver fasit står en avkryssbar selvdiagnose.