8.2 Øvingseksamen 1: 10 deloppgaver à 10 p — bred kjerne med vedlegg

- Kap. 1.2 — $\operatorname{Col}/\operatorname{Nul}$
- Kap. 4.2 — Gram–Schmidt
- Kap. 5.1 — projeksjon/avstand
- Kap. 3.2–3.3 — diagonalisering, $A^{k}$
- Kap. 2.1–2.6 — abstrakte vektorrom, $[T]_{\mathcal{B}}$
- Kap. 6.1–6.2 — spektralteorem, kvadratiske former
- MAT1110 (egenverdier) og radreduksjon — forutsettes derfra

Føringen følger kap. 8.1.

Vedlegg (utleveres med settet)

Dette erstatter manuell radreduksjon – les av det du trenger.

V1 — til oppgave 1. For $A=\begin{bmatrix}1&3&-1&4&5\\2&0&4&2&-2\\2&3&1&5&4\end{bmatrix}$ gir $\operatorname{rref}(A)$:
$$\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&0&2&1&-1\\0&1&-1&1&2\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}.$$

V2 — til oppgave 2. For $A=\begin{bmatrix}2&0&3\\0&2&3\\0&0&5\end{bmatrix}$ gir $[V\ D]=\operatorname{eig}(A)$ egenverdiene $\lambda=2$ (algebraisk multiplisitet $2$) med to uavhengige egenvektorer $(1,0,0)^{T}$ og $(0,1,0)^{T}$, og $\lambda=5$ med egenvektor $(1,1,1)^{T}$.

V3 — til oppgave 4. For $A=\begin{bmatrix}3&1&1\\1&3&1\\1&1&3\end{bmatrix}$ gir $[V\ D]=\operatorname{eig}(A)$ egenverdien $\lambda=5$ med egenvektor $(1,1,1)^{T}$, og $\lambda=2$ (algebraisk multiplisitet $2$) med egenrom utspent av $(1,-1,0)^{T}$ og $(1,0,-1)^{T}$.

Oppgave 1 — $\operatorname{Col}/\operatorname{Nul}$, Gram–Schmidt og projeksjon (sjanger A + B)

La $A$ og $\operatorname{rref}(A)$ være som i vedlegg V1. Sett $W=\operatorname{Col}A$.

a) Finn en basis for $\operatorname{Col}A$ (bestående av kolonner i $A$) og en basis for $\operatorname{Nul}A$. Oppgi $\operatorname{rang}A$, og kontroller med dimensjonsteoremet.

b) Bruk Gram–Schmidt på $\operatorname{Col}A$-basisen fra a) til å finne en ortonormal basis for $W$.

c) La $\mathbf{b}=(5,1,1)^{T}$. Finn $\operatorname{proj}_W\mathbf{b}$, dekomponer $\mathbf{b}=\hat{\mathbf{b}}+\mathbf{z}$ med $\mathbf{z}\in W^{\perp}$, og oppgi avstanden fra $\mathbf{b}$ til $W$.

Oppgave 2 — egenverdier, diagonalisering og $A^{k}$ (sjanger D + E)

La $A=\begin{bmatrix}2&0&3\\0&2&3\\0&0&5\end{bmatrix}$ med egenvektordata fra vedlegg V2.

a) Finn egenverdiene til $A$, avgjør med begrunnelse om $A$ er diagonaliserbar, og finn i så fall $P$ og $D$ med $A=PDP^{-1}$.

b) Finn en lukket formel for $A^{k}$ ($k\ge1$), og bruk den til å skrive opp $A^{3}$.

Oppgave 3 — abstrakt vektorrom $\operatorname{P}_3$ og $[T]_{\mathcal{B}}$ (sjanger H + I)

La $\operatorname{P}_3$ være polynomer av grad $\le 3$, med standardbasis $\mathcal{B}=\{1,t,t^{2},t^{3}\}$.

a) La $W=\{p\in\operatorname{P}_3:p(1)=0\}$. Vis at $W$ er et underrom, og finn en basis for $W$ og $\dim W$.

b) La $\mathcal{C}=\{1,\ 1+t,\ 1+t+t^{2},\ 1+t+t^{2}+t^{3}\}$. Finn overgangsmatrisen $P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}$ og bruk den til å finne $[p]_{\mathcal{C}}$ for $p=2+3t+t^{2}-t^{3}$.

c) La $T:\operatorname{P}_3\to\operatorname{P}_3$ være derivasjon, $T(p)=p'$. Finn $[T]_{\mathcal{B}}$, og bestem $\ker T$ og $\operatorname{im}T$ (oversatt til polynomer).

Oppgave 4 — symmetrisk matrise og kvadratisk form (sjanger F + G)

La $A=\begin{bmatrix}3&1&1\\1&3&1\\1&1&3\end{bmatrix}$ med egenvektordata fra vedlegg V3.

a) Begrunn at $A$ er ortogonalt diagonaliserbar, og finn en ortogonal $P$ og diagonal $D$ med $A=PDP^{T}$ (vis Gram–Schmidt i egenrommet med multiplisitet).

b) Skriv den kvadratiske formen $Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ ut i koordinater, klassifiser definittheten, og angi hva origo er (minimum/maksimum/sadelpunkt).