8.3 Øvingseksamen 2: 10 deloppgaver à 10 p — signaturoppgave, minste kvadrater og SVD

Sett nummer to som vrir mot funksjonsrom-signaturoppgaven, minste kvadrater ved rangdefekt (affin), SVD og en kort refleksjonsbevis-del — så settene sammen dekker A–L.

240 min

0 oppgaver

Øvingseksamen 210 deloppgaver à 10 psignaturoppgaveminste kvadraterSVD

Din fremgang i kapitlet

0 / 0 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.2Øvingseksamen 1: 10 deloppgaver à 10 p — bred kjerne med vedlegg

Brukes videre i

8.4Øvingseksamen 3: 10 deloppgaver à 10 p — ikke-standard indreprodukt, kjeglesnitt og x′=Ax

Sett nummer to vrir mot de tema som skiller toppkarakterene: funksjonsrom-signaturoppgaven, minste kvadrater ved rangdefekt (affin løsning), SVD og en kort bevisdel. Sammen med 8.2 og 8.4 dekker de tre settene alle sjangrene A–L.

- Omfang: dette settet har tolv deloppgaver som teller likt (om lag 20 minutter hver, 4 timer). Et ekte sett har presis ti; her er bevisdelen O5 lagt til som ekstra bredde.
- Tidsbudsjett: les hele hovedoppgaven først – O1 gjenbruker samme matrise til $\operatorname{Col}/\operatorname{Nul}$ , minste kvadrater og projeksjon, og O3 deler egenvektorer mellom diagonalisering og $q(A)$ .
- Topp-karakterskillerne: funksjonsrommet i O2 ( $\ker(T-I)$ oversatt til funksjoner), den affine minste kvadraters løsningen i O1b, komplett SVD i O4, og et stramt ført bevis i O5.

Miks: O1 $\operatorname{Col}/\operatorname{Nul}$ + minste kvadrater (affin) + projeksjon (A+C) · O2 funksjonsrom $V=\operatorname{Span}\{e^{x},e^{x}\cos x,e^{x}\sin x\}$ (H+I) · O3 egenverdier/diagonalisering + $q(A)$ (D+E) · O4 SVD (K) · O5 Householder-bevis (L). Før alt fullt begrunnet etter kap. 8.1.

Forkunnskaper: hele boka, særlig:

- Kap. 1.2 — fundamentale underrom
- Kap. 5.2 — minste kvadrater, affin løsning; kap. 5.1 — projeksjonssnarvei
- Kap. 2.5–2.6 — funksjonsrom, $[T]_{\mathcal{B}}$ , kjerne
- Kap. 3.2–3.3 — diagonalisering, $A^{k}$
- Kap. 7.1 — SVD; kap. 7.3 — Householder

Føring: kap. 8.1.

Vedlegg (utleveres med settet)

V1 — til oppgave 1. For $C=\begin{bmatrix}1&1&2\\1&-1&0\\1&1&2\\1&-1&0\end{bmatrix}$ gir $\operatorname{rref}(C)=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ .

V3 — til oppgave 3. For $A=\begin{bmatrix}5&-3&-3\\3&-1&-3\\3&-3&-1\end{bmatrix}$ gir $\operatorname{poly}(A)$ det karakteristiske polynomet $\lambda^{3}-3\lambda^{2}+4$ , og $[V\ D]=\operatorname{eig}(A)$ egenverdiene $\lambda=2$ (algebraisk multiplisitet $2$ ) med uavhengige egenvektorer $(1,1,0)^{T}$ og $(1,0,1)^{T}$ , og $\lambda=-1$ med egenvektor $(1,1,1)^{T}$ .

V4 — til oppgave 4. For $A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\\0&0\end{bmatrix}$ er $A^{T}A=\begin{bmatrix}10&6\\6&10\end{bmatrix}$ , med egenverdiene $\lambda_1=16$ (egenvektor $(1,1)^{T}$ ) og $\lambda_2=4$ (egenvektor $(1,-1)^{T}$ ).

Oppgave 1 — $\operatorname{Col}/\operatorname{Nul}$ , minste kvadrater (affin) og projeksjon (sjanger A + C)

La $C$ være matrisen i vedlegg V1 og $\mathbf{b}=(3,1,1,-1)^{T}$ . Sett $W=\operatorname{Col}C$ .

a) Finn en basis for $\operatorname{Col}C$ (kolonner i $C$ ) og for $\operatorname{Nul}C$ , og oppgi $\operatorname{rang}C$ .

b) Systemet $C\mathbf{x}=\mathbf{b}$ er inkonsistent. Sett opp normallikningene og finn hele den minste kvadraters løsningsmengden. Forklar hvorfor den ikke er entydig.

c) Finn $\operatorname{proj}_W\mathbf{b}$ via snarveien $\operatorname{proj}_W\mathbf{b}=C\hat{\mathbf{x}}$ , og oppgi avstanden fra $\mathbf{b}$ til $W$ .

Løsning O1 a)

Løsning O1 b)

Løsning O1 c)

Oppgave 2 — funksjonsrom og $[T]_{\mathcal{B}}$ (sjanger H + I)

La $V=\operatorname{Span}\{f_1,f_2,f_3\}$ der $f_1=e^{x}$ , $f_2=e^{x}\cos x$ , $f_3=e^{x}\sin x$ , og la $T:V\to V$ være derivasjon, $T(f)=f'$ .

a) Vis at $\mathcal{B}=\{f_1,f_2,f_3\}$ er lineært uavhengig, så $\dim V=3$ .

b) Vis at $T$ avbilder $V$ inn i $V$ , og finn $[T]_{\mathcal{B}}$ .

c) Finn $\ker(T-I)$ (der $I$ er identiteten), og oversett svaret tilbake til funksjoner. Tolk resultatet.

Løsning O2 a)

Løsning O2 b)

Løsning O2 c)

Oppgave 3 — diagonalisering og $q(A)$ (sjanger D + E)

La $A=\begin{bmatrix}5&-3&-3\\3&-1&-3\\3&-3&-1\end{bmatrix}$ med data fra vedlegg V3.

a) Finn egenverdiene, avgjør med begrunnelse om $A$ er diagonaliserbar, og finn $P$ og $D$ med $A=PDP^{-1}$ .

b) La $q(x)=x^{2}-x$ . Regn ut $q(A)=A^{2}-A$ ved å bruke diagonaliseringen, og tolk resultatet.

Løsning O3 a)

Løsning O3 b)

Oppgave 4 — singulærverdidekomposisjon (sjanger K)

La $A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\\0&0\end{bmatrix}$ med data fra vedlegg V4.

a) Finn en singulærverdidekomposisjon $A=U\Sigma V^{T}$ .

b) Bestem $\max_{\lVert\mathbf{x}\rVert=1}\lVert A\mathbf{x}\rVert$ og en $\mathbf{x}$ der maksimum nås.

Løsning O4 a)

Løsning O4 b)

Oppgave 5 — kort bevis: Householder-matrisen (sjanger L)

La $\mathbf{v}\in\mathbb{R}^{n}$ være en enhetsvektor ( $\mathbf{v}^{T}\mathbf{v}=1$ ), og la $R=I-2\mathbf{v}\mathbf{v}^{T}$ .

a) Vis at $R$ er symmetrisk og ortogonal, og at $R^{2}=I$ .

b) Regn ut $R\mathbf{v}$ og $R\mathbf{w}$ for en $\mathbf{w}$ med $\mathbf{v}^{T}\mathbf{w}=0$ , og gi den geometriske tolkningen av $R$ .

Løsning O5 a)

Løsning O5 b)

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.