8.4 Øvingseksamen 3: 10 deloppgaver à 10 p — ikke-standard indreprodukt, kjeglesnitt og x′=Ax

Tredje sett kalibrert på den vanskeligste varianten: integral-indreprodukt gjennom hele signaturoppgaven, kjeglesnitt via variabelskifte, og differensiallikningssystemet x′=Ax — de skarpeste karakterskillerne samlet.

240 min

0 oppgaver

Øvingseksamen 310 deloppgaver à 10 pikke-standard indreproduktkjeglesnittx′=Ax

Din fremgang i kapitlet

0 / 0 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.3Øvingseksamen 2: 10 deloppgaver à 10 p — signaturoppgave, minste kvadrater og SVD

Tredje sett samler de skarpeste karakterskillerne: integral-indreprodukt gjennom hele signaturoppgaven, kjeglesnitt via variabelskifte, og differensiallikningssystemet $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ .

- Omfang: tolv deloppgaver som teller likt (om lag 20 minutter hver, 4 timer). Bevisdelen O5 er lagt til som ekstra bredde utover et standard tisett.
- Den dyreste fellen (O2): indreproduktet er et integral $\langle p,q\rangle=\int_{-1}^{1}pq\,dt$ . Alle skalarprodukt, normer og ortogonalitetssjekker – også normen i Gram–Schmidt – skal regnes med dette integralet. Bruker du standardprikkproduktet, mister du hele oppgaven.
- Topp-karakterskillerne: Gram–Schmidt i integralet (O2), riktig kjeglesnittklassifisering og skisse i hovedaksene (O3), full løsning av $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ med begynnelsesverdi (O4) og et stramt posdef-bevis (O5).

Miks: O1 $\operatorname{Col}/\operatorname{Nul}$ + Gram–Schmidt + projeksjon (A+B) · O2 $\operatorname{P}_2$ med integral-indreprodukt (B+H) · O3 symmetrisk $\to$ kjeglesnitt + Rayleigh (F+G) · O4 $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ (J) · O5 posdef-bevis (L). Før alt fullt begrunnet etter kap. 8.1.

Forkunnskaper: hele boka, særlig:

- Kap. 4.1–4.2 — indreprodukt, Gram–Schmidt i ikke-standard indreprodukt
- Kap. 5.1 — projeksjon/avstand
- Kap. 6.2–6.3 — kvadratiske former, Rayleigh, kjeglesnitt
- Kap. 7.2 — $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$

Føring: kap. 8.1.

Vedlegg (utleveres med settet)

V1 — til oppgave 1. For $A=\begin{bmatrix}1&3&-1&4&2\\2&1&3&3&-1\\2&2&2&4&0\\0&2&-2&2&2\end{bmatrix}$ gir $\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&0&2&1&-1\\0&1&-1&1&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}$ .

V3 — til oppgave 3. For $A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}$ gir $[V\ D]=\operatorname{eig}(A)$ egenverdiene $\lambda=4$ (egenvektor $(1,1)^{T}$ ) og $\lambda=2$ (egenvektor $(1,-1)^{T}$ ).

V4 — til oppgave 4. For $A=\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}$ gir $[V\ D]=\operatorname{eig}(A)$ egenverdiene $\lambda=2$ (egenvektor $(1,2)^{T}$ ) og $\lambda=-1$ (egenvektor $(1,-1)^{T}$ ).

Oppgave 1 — $\operatorname{Col}/\operatorname{Nul}$ , Gram–Schmidt og projeksjon (sjanger A + B)

La $A$ og $\operatorname{rref}(A)$ være som i vedlegg V1, og $W=\operatorname{Col}A$ .

a) Finn en basis for $\operatorname{Col}A$ (kolonner i $A$ ) og for $\operatorname{Nul}A$ ; oppgi $\operatorname{rang}A$ og kontroller med dimensjonsteoremet.

b) Bruk Gram–Schmidt på $\operatorname{Col}A$ -basisen til å finne en ortonormal basis for $W$ .

c) La $\mathbf{b}=(3,3,0,3)^{T}$ . Finn $\operatorname{proj}_W\mathbf{b}$ , dekomponer $\mathbf{b}=\hat{\mathbf{b}}+\mathbf{z}$ med $\mathbf{z}\in W^{\perp}$ , og oppgi avstanden fra $\mathbf{b}$ til $W$ .

Løsning O1 a)

Løsning O1 b)

Løsning O1 c)

Oppgave 2 — $\operatorname{P}_2$ med integral-indreprodukt (sjanger B + H)

På $\operatorname{P}_2$ (polynomer av grad $\le 2$ ) brukes indreproduktet
$\langle p,q\rangle=\int_{-1}^{1}p(t)q(t)\,dt.$

a) Bruk Gram–Schmidt på standardbasisen $\{1,t,t^{2}\}$ til å finne en ortogonal basis for $\operatorname{P}_2$ i dette indreproduktet.

b) Finn den beste tilnærmingen (ortogonale projeksjonen) av $f(t)=t^{3}$ ned på $\operatorname{P}_2$ .

c) Finn avstanden $\lVert t^{3}-\operatorname{proj}_{\operatorname{P}_2}t^{3}\rVert$ i dette indreproduktet.

Løsning O2 a)

Løsning O2 b)

Løsning O2 c)

O2: alt regnes i integral-indreproduktet

Denne oppgaven har oppgitt $\langle p,q\rangle=\int_{-1}^{1}pq\,dt$ . Alle skalarprodukt, normer, ortogonalitetssjekker og projeksjonskoeffisienter – også i Gram–Schmidt i a) – er integraler, aldri standardprikkproduktet av koeffisientene. F.eks. er $\lVert t\rVert^{2}=\int_{-1}^{1}t^{2}\,dt=\tfrac23$ , ikke $1$ . Å bytte til standardprikkproduktet er den dyreste MAT1120-fellen.

Oppgave 3 — symmetrisk matrise, kjeglesnitt og Rayleigh (sjanger F + G)

Betrakt kurven $3x_1^{2}+2x_1x_2+3x_2^{2}=4$ , med tilhørende matrise $A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}$ (data i vedlegg V3).

a) Utfør variabelskiftet $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ (ortogonal $P$ ) som fjerner kryssleddet, klassifiser kurven, skriv den på standardform og skisser den i hovedaksene $y_1,y_2$ .

b) La $Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ . Finn $\max$ og $\min$ av $Q$ over $\lVert\mathbf{x}\rVert=1$ , og oppgi hvor de nås.

Løsning O3 a)

Løsning O3 b)

Oppgave 4 — differensiallikningssystemet $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ (sjanger J)

La $A=\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}$ med data fra vedlegg V4, og betrakt systemet $\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)$ .

a) Finn den generelle løsningen.

b) Finn løsningen som oppfyller begynnelsesverdien $\mathbf{x}(0)=(3,3)^{T}$ .

Løsning O4 a)

Løsning O4 b)

Oppgave 5 — kort bevis: positiv definit matrise (sjanger L)

La $B$ være en symmetrisk positiv definit $n\times n$ -matrise.

a) Vis at $B$ er invertibel.

b) Vis at $B^{-1}$ også er symmetrisk positiv definit, og angi egenverdiene til $B^{-1}$ uttrykt ved egenverdiene til $B$ .

Løsning O5 a)

Løsning O5 b)

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.