2.7 Drill: signaturoppgaven — abstrakt vektorrom + [T]_B

Hele signaturoppgaven drillet: underrom + basis i Pₙ/funksjonsrom → koordinater → overgangsmatrise → [T]_B for en derivasjonsoperator → ker T oversatt tilbake — den ene hovedoppgaven som skiller MAT1120 fra et førstekurs.

95 min

12 oppgaver

Drillsignaturoppgavenabstrakt vektorrom + [T]_B

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.6Basisskifte for [T]_B, isomorfi og kjerne oversatt til funksjoner

Brukes videre i

2.PPrøver til del 2: Abstrakte vektorrom, koordinater og [T]_B

Dette er MAT1120s signaturoppgave — én hovedoppgave i et ikke- $\mathbb{R}^n$ -rom er med i praktisk talt hvert sett (~100 %). Sjanger H + I samlet. Den skiller MAT1120 fra et førstekurs, og den skiller toppsjiktet fra midtsjiktet.

Variantkatalogen er stabil: polynomrom ( $\operatorname{P}_2$ / $\operatorname{P}_3$ , ofte med et underrom $W$ definert ved en betingelse som $p(-1)=0$ ) eller funksjonsrom ( $\operatorname{Span}\{1,e^x\cos x,e^x\sin x\}$ , $\operatorname{Span}\{\sin t,\cos t\}$ ). Delpunktene er kjedet: underroms-/basisbevis → koordinater → $P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}$ → $[T]_{\mathcal{B}}$ for $T(f)=f'$ eller en differensialoperator → $\ker T$ oversatt til funksjoner.

Toppsjikt-poengene sitter fire steder: (1) alle tre underroms-betingelsene, (2) dimensjonsargumentet i basisbeviset, (3) koordinater før du bygger matrisen, (4) tilbakeoversettelsen av $\ker T$ . Mister du ett av disse, faller du fra topp til midt.

Forkunnskaper: hele Del 2.

- Kap. 2.1 — underrom, $\operatorname{P}_n$ /funksjonsrom
- Kap. 2.2 — basis + dimensjonsargument
- Kap. 2.3 — koordinater
- Kap. 2.4 — overgangsmatrisen $P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}$
- Kap. 2.5 — matriserepresentasjonen $[T]_{\mathcal{B}}$
- Kap. 2.6 — basisskifte, isomorfi, kjerne

Ta oppgavene som en eksamen: alt langsvar med full begrunnelse, eksakte svar, ingen desimaltilnærming.

Løsningsoppskrift — signaturoppgaven steg for steg

Nesten hver signaturoppgave følger denne kjeden. Kjenn den igjen, og du vet alltid hva neste delpunkt vil spørre om.

Steg 1 — Vis at $W$ er et underrom (hvis et underrom er oppgitt). Sjekk de tre betingelsene: (i) $\mathbf{0}\in W$ , (ii) lukket under addisjon, (iii) lukket under skalarmultiplikasjon. Hopp ikke over noen. (Er rommet gitt som et $\operatorname{Span}$ , er det automatisk et underrom — si det.)

Steg 2 — Vis at $\mathcal{B}$ er en basis. To ting: lineær uavhengighet (sett lineærkombinasjon $=0$ , sammenlign koeffisienter / evaluer / Wronski) og et dimensjonsargument ( $k$ uavhengige vektorer i et $k$ -dimensjonalt rom er automatisk en basis).

Steg 3 — Gå til koordinater relativt en fast basis. Nå er alt tallregning i $\mathbb{R}^n$ .

Steg 4 — Bygg matrisen. Enten overgangsmatrisen $P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}$ (kolonne $j=[\mathbf{b}_j]_{\mathcal{C}}$ , riktig retning) eller operatormatrisen $[T]_{\mathcal{B}}$ (kolonne $j=[T(\mathbf{b}_j)]_{\mathcal{B}}$ — i $\mathcal{B}$ -koordinater!).

Steg 5 — Svar på isomorfi / $\ker T$ . $T$ isomorfi ⇔ $[T]_{\mathcal{B}}$ invertibel. For $\ker T$ : finn $\operatorname{Nul}[T]_{\mathcal{B}}$ og oversett tilbake til polynomer/funksjoner. Avslutt med en verbal konklusjon og eksakt svar.

✏️Sensor-kommentert case: funksjonsrom fra ende til annen (O3-typen)

La $V=\operatorname{Span}\{u,v\}$ der $u=e^x\cos x$ og $v=e^x\sin x$ , og la $T:V\to V$ være $T(f)=f'$ .

a) Begrunn at $V$ er et underrom av $C^\infty(\mathbb{R})$ , og at $\mathcal{B}=\{u,v\}$ er en basis for $V$ .

b) Finn $[T]_{\mathcal{B}}$ .

c) Er $T$ en isomorfi? Finn $\ker T$ .

d) Finn $[S]_{\mathcal{B}}$ for $S=T^2-2T+2I$ , og tolk resultatet.

a) Underrom + basis.

V

er definert som

\operatorname{Span}\{u,v\}

, og et span av vektorer i

C^\infty(\mathbb{R})

er alltid et underrom (det inneholder

\mathbf{0}

og er lukket under addisjon og skalarmultiplikasjon). (Sensornote: si dette eksplisitt — «et span er per definisjon et underrom» — så er steg 1 kvittert.)

For at $\mathcal{B}=\{u,v\}$ skal være en basis, må $u,v$ være lineært uavhengige (de utspenner $V$ per definisjon). Anta $c_1u+c_2v=0$ som funksjon. Wronski-determinanten er
$W(u,v)=\det\begin{bmatrix}u&v\\ u'&v'\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}e^x\cos x&e^x\sin x\\ e^x(\cos x-\sin x)&e^x(\sin x+\cos x)\end{bmatrix}=e^{2x}\ne0.$
Siden Wronski-determinanten ikke er identisk null, er $u,v$ uavhengige. Dimensjonsargument: to uavhengige vektorer som utspenner $V$ er en basis, og $\dim V=2$ . ✓ (Sensornote: uavhengighet + at de utspenner = basis; her er utspenningen gratis fra definisjonen.)

b) $[T]_{\mathcal{B}}$ . Deriver basisfunksjonene (produktregel) og uttrykk i $\mathcal{B}=\{u,v\}$ :
$u'=e^x\cos x-e^x\sin x=u-v\ \Rightarrow\ [T(u)]_{\mathcal{B}}=(1,-1),$
$v'=e^x\sin x+e^x\cos x=u+v\ \Rightarrow\ [T(v)]_{\mathcal{B}}=(1,1).$
Altså $[T]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}1&1\\ -1&1\end{bmatrix}$ . (Sensornote: kolonnene er koordinatvektorer i $\mathcal{B}$ — ikke $u',v'$ selv. Dette er hovedfellen.)

c) Isomorfi og kjerne. $\det[T]_{\mathcal{B}}=1\cdot1-1\cdot(-1)=2\ne0$ , så $[T]_{\mathcal{B}}$ er invertibel. Etter isomorfi-kriteriet er $T$ en isomorfi, og $\ker T=\{\mathbf{0}\}$ (bare nullfunksjonen). (Verbal konklusjon kreves: « $T$ er en isomorfi fordi matrisen er invertibel».)

d) Differensialoperatoren $S$ . Bruk $[S]_{\mathcal{B}}=[T]_{\mathcal{B}}^2-2[T]_{\mathcal{B}}+2I$ . Først
$[T]_{\mathcal{B}}^2=\begin{bmatrix}1&1\\ -1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\ -1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&2\\ -2&0\end{bmatrix}.$
Da
$[S]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0&2\\ -2&0\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1&1\\ -1&1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\ 0&0\end{bmatrix}.$
Tolkning: $[S]_{\mathcal{B}}=O$ , så $S$ er nulloperatoren på $V$ : $f''-2f'+2f=0$ for hver $f\in V$ . Det stemmer — $u=e^x\cos x$ og $v=e^x\sin x$ er nettopp løsningene av $y''-2y'+2y=0$ (karakteristisk likning $r^2-2r+2=0$ , røtter $r=1\pm i$ ). (Sensornote: koblingen til differensiallikningen er toppsjikt-observasjonen som gir full uttelling.)

📝Oppgave 1

Vis at $W=\{p\in\operatorname{P}_2:p(0)=0\}$ er et underrom av $\operatorname{P}_2$ , og finn en basis.

📝Oppgave 2

Vis at $\mathcal{B}=\{1,\ 1+t,\ 1+2t+t^2\}$ er en basis for $\operatorname{P}_2$ .

📝Oppgave 3

La $\mathcal{C}=\{1,\ 1+t,\ 1+t+t^2\}$ i $\operatorname{P}_2$ . Finn koordinatvektoren $[3+t-t^2]_{\mathcal{C}}$ .

📝Oppgave 4

La $\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}$ og $\mathcal{C}=\{1,\ 1+t,\ 1+t+t^2\}$ i $\operatorname{P}_2$ .

a) Finn $P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}$ (direkte).

b) Finn $P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}$ .

📝Oppgave 5

La $T:\operatorname{P}_3\to\operatorname{P}_3$ være $T(p)=p'$ med $\mathcal{B}=\{1,t,t^2,t^3\}$ . Finn $[T]_{\mathcal{B}}$ , og bruk den til å regne $T(2t^3-t^2+5)$ i koordinater.

📝Oppgave 6

La $T(p)=p'$ på $\operatorname{P}_2$ med $[T]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0&1&0\\ 0&0&2\\ 0&0&0\end{bmatrix}$ ( $\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}$ ). Finn $[S]_{\mathcal{B}}$ for differensialoperatoren $S=T^2+2T$ .

📝Oppgave 7

La $V=\operatorname{Span}\{\sin t,\ \cos t\}$ med basis $\mathcal{B}=\{\sin t,\cos t\}$ , og $T(f)=f'$ .

a) Finn $[T]_{\mathcal{B}}$ .

b) Avgjør om $T$ er en isomorfi.

📝Oppgave 8

La $T(f)=f''$ på $\operatorname{P}_3$ , $\mathcal{B}=\{1,t,t^2,t^3\}$ , med $[T]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0&0&2&0\\ 0&0&0&6\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\end{bmatrix}$ . Finn $\ker T$ som en mengde polynomer.

📝Oppgave 9

(Kjedet signaturoppgave.) La

T:\operatorname{P}_2\to\operatorname{P}_2

være

T(p)=p'+p

\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}

a) Finn $[T]_{\mathcal{B}}$ .

b) Er $T$ en isomorfi?

c) Løs $T(p)=1+t$ ved hjelp av matrisen, og oppgi $p$ som et polynom.

📝Oppgave 10

(Underrom med betingelse.) La

W=\{p\in\operatorname{P}_3:p(1)=0\}

a) Vis at $W$ er et underrom av $\operatorname{P}_3$ .

b) Vis at $\mathcal{B}=\{t-1,\ t^2-1,\ t^3-1\}$ er en basis for $W$ .

📝Oppgave 11

(krevende — full funksjonsromskjede.) La

V=\operatorname{Span}\{1,\ \cos t,\ \sin t\}

med basis

\mathcal{B}=\{1,\cos t,\sin t\}

, og

T(f)=f'

a) Finn $[T]_{\mathcal{B}}$ .

b) Er $T$ en isomorfi?

c) Finn $\ker T$ som en mengde funksjoner, og forklar resultatet.

📝Oppgave 12

(krevende — basisskifte.) La

T(p)=p'

på

\operatorname{P}_2

med

[T]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0&1&0\\ 0&0&2\\ 0&0&0\end{bmatrix}

(

\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}

). La

\mathcal{C}=\{1,\ 1+t,\ 1+t+t^2\}

, med

P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1\end{bmatrix}

P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}=\begin{bmatrix}1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{bmatrix}

. Finn

[T]_{\mathcal{C}}

, og bekreft at egenverdiene er uendret.

Oppgavene over dekker hele signaturoppgavens kjede: underrom med betingelse (1, 10), basisbevis med dimensjonsargument (2, 10), koordinater (3), overgangsmatrise begge retninger (4), $[T]_{\mathcal{B}}$ for derivasjons-/differensialoperator (5, 6), funksjonsrom + isomorfi (7, 11), $\ker T$ oversatt til funksjoner (8, 11), kjedet isomorfi + løs $T(p)=g$ (9), og basisskifte (12). Kan du disse tolv sikkert, er du trygg på den 100 %-sikre hovedoppgaven. Sjekk spesielt at du aldri lot $\ker T$ bli stående i $\mathbb{R}^n$ , og at hvert basisbevis hadde dimensjonsargumentet med.

Begrepsbank til eksamen

Signaturoppgavens kjede i kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar oppskriften du nettopp har drillet. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder oppgaveregningen.

Typiske feil i signaturoppgaven

Fellene som koster mest i denne drillen:

a) Bruker de reduserte kolonnene fra RREF som basis for $\operatorname{Col}A$ i stedet for de opprinnelige pivotkolonnene i $A$ .
b) Fyller $P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}$ i feil retning — søylene skal være $\mathcal{B}$ -vektorenes $\mathcal{C}$ -koordinater.
c) Lar svaret på $\ker T$ stå som en koordinatvektor i stedet for å oversette tilbake til polynomer/funksjoner.
d) Regner med standard prikkprodukt der oppgaven har oppgitt et annet indreprodukt.
e) Påstår at en avbildning er en isomorfi uten å vise at $[T]_{\mathcal{B}}$ er invertibel.

Signaturoppgavens kjede

P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}

Underroms-testen

\mathbf{0}\in W

Basisbeviset (todelt)

k

[T]_{\mathcal{B}}

-kolonnene

j

Riktig retning på

P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}

P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}

Isomorfi-sjekken

T

Oversett

\ker T

tilbake

\operatorname{Nul}[T]_{\mathcal{B}}

Differensialoperator = polynom i

[T]_{\mathcal{B}}

S=q(T)

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.