7.P Prøver til del 7: SVD, dynamiske systemer og bevis

Disse fire prøvene dekker hele Del 7 — SVD, dynamiske systemer og bevis og trener sjangrene K (SVD), J (dynamikk) og L (bevis) — bredden og topp-poengene på nivå 3. Egenverdier og egenvektorer leses av et vedlegg (eig); du regner dem ikke for hånd.

- Prøve 7.A — SVD $A=U\Sigma V^{T}$ + $\max\lVert A\mathbf{x}\rVert$ (kap. 7.1): bygg $V,\Sigma,U$ fra $A^{T}A$, utvid $U$, les av $\max\lVert A\mathbf{x}\rVert=\sigma_1$. ~40 min.
- Prøve 7.B — $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ + diskret dynamikk (kap. 7.2): generell løsning + begynnelsesverdi, og diskret langtid/normbevaring. ~35 min.
- Prøve 7.C — bevis (kap. 7.3): Householder ortogonal, posdef ⇒ invertibel, isomorfi-kriteriet — full føring med teoremnavning. ~35 min.
- Prøve 7.D — bredde-tverrsnitt (kap. 7.1–7.3): ett tema fra hvert delkapittel, kjedet. ~40 min.

4 prøver à ~35–40 min, kan trygt deles over flere kvelder — én prøve per økt. Milepælen er å fullføre settet.

Merk formatet: MAT1120-eksamen har ingen flervalg — alt er fullt begrunnet langsvar. Her har likevel Prøve 7.A en liten flervalgsdel til rask begrepssjekk (flervalget bor inne i Prøve 7.A); kryss av og kontroller mot fasiten. De øvrige oppgavene føres som en fullstendig besvarelse: navngi teoremet (spektralteoremet, Rayleigh, isomorfi-kriteriet), bygg $U$ med $\mathbf{u}_i=\tfrac{1}{\sigma_i}A\mathbf{v}_i$, bruk $e^{\lambda_it}$/$\lambda_i^k$ riktig, sjekk forutsetningene i bevisene, og avslutt med verbal konklusjon og eksakte svar. Etter hver fasit står en avkryssbar selvdiagnose.