Læringsmål

Oversikt over læringsmål dekket i STK1100 Sannsynlighetsregning og statistisk modellering

Kilde: Læringsmålene er utformet av Skolesaga på grunnlag av emnets eksamensoppgaver, sensorveiledninger og emnebeskrivelse. De er ikke institusjonens offisielle læringsutbyttebeskrivelser.

136 kompetansemål35 av 35 kapitler har kompetansemål

Alle kompetansemål

•kunne beskrive STK1100-eksamenens form: fire timer, tre til fire fortellingsoppgaver, kalkulator og formelsamling

0.1Eksamenskartet: slik testes STK1100

•kunne prioritere lesingen etter hvilke temaer som går igjen i eksamensarkivet

0.1Eksamenskartet: slik testes STK1100

•kunne kjenne igjen den gjennomgående oppgavekjeden fra fordeling til konfidensintervall

0.1Eksamenskartet: slik testes STK1100

•kunne sette opp et realistisk tidsbudsjett for en firetimers eksamen

0.1Eksamenskartet: slik testes STK1100

•regne ut betinget sannsynlighet og bruke multiplikasjonsregelen

1.1Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

•bruke loven om total sannsynlighet over et fullstendig sett av hendelser

1.1Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

•snu en betinget sannsynlighet med Bayes' formel og tolke resultatet i en diagnosetest

1.1Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

•oppdatere en sannsynlighet over flere runder når ny informasjon kommer inn

1.1Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

•skille mellom diskrete og kontinuerlige stokastiske variable og bruke punktsannsynlighet, tetthet og fordelingsfunksjon

1.2Stokastiske variable, forventning og varians

•regne ut forventning og varians for en stokastisk variabel, også for en funksjon av variabelen

1.2Stokastiske variable, forventning og varians

•bruke regnereglene for forventning og varians av lineærkombinasjoner, med kovariansleddet

1.2Stokastiske variable, forventning og varians

•regne ut kovarians og korrelasjon og forklare forskjellen på uavhengig og ukorrelert

1.2Stokastiske variable, forventning og varians

•velge riktig diskret fordeling ut fra situasjonen og begrunne modellvalget

1.3Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

•regne med binomisk fordeling og bruke forventning og varians

1.3Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

•sette opp en Poisson-prosess med forutsetninger og rateskalering, og regne sannsynligheter

1.3Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

•bruke komplementgrepet for minst én hendelse og løse for hvor stort et intervall må være

1.3Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

•kunne løse Bayes- og totalsannsynlighetsoppgaver med presise hendelsesdefinisjoner på eksamensnivå

1.PPrøver til del 1: Sannsynlighet, betingning og diskrete modeller

•kunne bruke momentregnereglene for lineærkombinasjoner med kovariansleddet riktig

1.PPrøver til del 1: Sannsynlighet, betingning og diskrete modeller

•kunne velge og begrunne riktig diskret modell og regne med Poisson-prosessen

1.PPrøver til del 1: Sannsynlighet, betingning og diskrete modeller

•finne normeringskonstant og stykkevis fordelingsfunksjon fra en oppgitt tetthet

2.1Kontinuerlige fordelinger: tetthet, CDF, median og eksponensial

•regne ut median og kvantiler ved å løse likningen F(m)=p aktivt

2.1Kontinuerlige fordelinger: tetthet, CDF, median og eksponensial

•regne ut forventning og varians for en kontinuerlig variabel ved integrasjon

2.1Kontinuerlige fordelinger: tetthet, CDF, median og eksponensial

•bruke eksponensialfordelingen i begge parametriseringer og utlede minneløsheten

2.1Kontinuerlige fordelinger: tetthet, CDF, median og eksponensial

•bruke gammafunksjonens regneregler og gammaintegralet aktivt

2.2Gammafordelingen, kjikvadrat og Γ-verktøyet

•regne ut forventning, varians og momenter for en gammafordeling via E(V^r)-formelen

2.2Gammafordelingen, kjikvadrat og Γ-verktøyet

•bruke identiteten mellom kjikvadrat og gammafordelingen med riktige frihetsgrader

2.2Gammafordelingen, kjikvadrat og Γ-verktøyet

•bruke regelen for sum av uavhengige gammavariable med felles skala

2.2Gammafordelingen, kjikvadrat og Γ-verktøyet

•gå fra en oppgitt tetthet til normeringskonstant, fordelingsfunksjon, median og momenter etter en fast oppskrift

2.3Drill: den egendefinerte og «eksotiske» tettheten (sjanger C)

•gjenkjenne og regne på Laplace-, Pareto-, Rayleigh-, Weibull- og lognormalfordelingen

2.3Drill: den egendefinerte og «eksotiske» tettheten (sjanger C)

•transformere en eksotisk fordeling til eksponensial/gamma med potens- og logaritmetransformasjon

2.3Drill: den egendefinerte og «eksotiske» tettheten (sjanger C)

•sjekke konvergensbetingelser for momenter med tunge haler

2.3Drill: den egendefinerte og «eksotiske» tettheten (sjanger C)

•kunne gå fra en oppgitt tetthet til CDF, median og momenter på eksamensnivå

2.PPrøver til del 2: Kontinuerlige fordelinger og gamma-apparatet

•kunne bruke eksponensialfordelingen i begge parametriseringer og utlede minneløsheten

2.PPrøver til del 2: Kontinuerlige fordelinger og gamma-apparatet

•kunne bruke gamma-/kjikvadrat-identitetene, gammaintegralet og momentformelen aktivt

2.PPrøver til del 2: Kontinuerlige fordelinger og gamma-apparatet

•sette opp en simultantetthet og bestemme normeringskonstanten fra at dobbeltintegralet er 1

3.1Simultantetthet: marginaler, betinget tetthet og område-sannsynligheter

•finne marginaltetthetene ved å integrere ut den andre variabelen

3.1Simultantetthet: marginaler, betinget tetthet og område-sannsynligheter

•regne ut betinget tetthet og betinget forventning fra en simultantetthet

3.1Simultantetthet: marginaler, betinget tetthet og område-sannsynligheter

•regne område-sannsynligheter som P(Y minst X) ved å tegne integrasjonsområdet og sette riktige grenser

3.1Simultantetthet: marginaler, betinget tetthet og område-sannsynligheter

•bevise eller motbevise uavhengighet ved å sjekke om simultantettheten faktoriserer i produktet av marginaltetthetene

3.2Drill: uavhengighet ved faktorisering (eget drillmål)

•avgjøre uavhengighet fra støtten: en støtte som ikke er et rektangel gir automatisk avhengige variable

3.2Drill: uavhengighet ved faktorisering (eget drillmål)

•gjennomføre uavhengighetssjekken for diskrete simultanfordelinger i tabell

3.2Drill: uavhengighet ved faktorisering (eget drillmål)

•skille ukorrelerte fra uavhengige variable

3.2Drill: uavhengighet ved faktorisering (eget drillmål)

•kunne finne normeringskonstant, marginaltettheter og betinget tetthet fra en oppgitt simultantetthet

3.PPrøver til del 3: Simultanfordeling og uavhengighet

•kunne regne område-sannsynligheter ved å tegne integrasjonsområdet og sette riktige grenser

3.PPrøver til del 3: Simultanfordeling og uavhengighet

•kunne avgjøre uavhengighet ved faktorisering, inkludert sjekk av null-området

3.PPrøver til del 3: Simultanfordeling og uavhengighet

•kunne løse en full simultantetthet-oppgave på eksamensnivå

3.PPrøver til del 3: Simultanfordeling og uavhengighet

•utlede den momentgenererende funksjonen til en fordeling med konvergenskravet på t

4.1Momentgenererende funksjoner

•hente forventning og varians fra MGF-en ved derivasjon, og bruke kumulant-snarveien R(t)=ln M(t)

4.1Momentgenererende funksjoner

•identifisere fordelingen til en sum av uavhengige variable ved å multiplisere MGF-ene

4.1Momentgenererende funksjoner

•begrunne identifikasjonen med at MGF-en bestemmer fordelingen entydig

4.1Momentgenererende funksjoner

•finne fordelingen til Y=g(X) med CDF-metoden for både voksende og avtakende g

4.2Transformasjonsteknikkene: CDF-metoden og Jacobi

•utlede at kvadratet av en standardnormal er kjikvadratfordelt med én frihetsgrad

4.2Transformasjonsteknikkene: CDF-metoden og Jacobi

•bruke Jacobi-formelen med absoluttverdien av determinanten for et bivariat variabelbytte

4.2Transformasjonsteknikkene: CDF-metoden og Jacobi

•integrere ut en marginaltetthet etter Jacobi ved å tegne integrasjonsområdet

4.2Transformasjonsteknikkene: CDF-metoden og Jacobi

•identifisere riktig transformasjon (skala, kvadrat, potens, log) som gjør en observasjon standard

4.3Drill: transformasjon til gamma/χ² — pivot-fabrikken (eget drillmål)

•vise med CDF-metoden at den transformerte størrelsen er eksponensial, gamma eller kjikvadrat

4.3Drill: transformasjon til gamma/χ² — pivot-fabrikken (eget drillmål)

•løfte til summen med sum-av-gamma-regelen og angi riktige frihetsgrader (2n mot n)

4.3Drill: transformasjon til gamma/χ² — pivot-fabrikken (eget drillmål)

•kjenne igjen den bygde pivotalen som råstoff for det eksakte konfidensintervallet

4.3Drill: transformasjon til gamma/χ² — pivot-fabrikken (eget drillmål)

•kunne utlede en momentgenererende funksjon med konvergenskrav og hente forventning og varians fra den

4.PPrøver til del 4: Transformasjon: broen til pivotalen

•kunne finne fordelingen til Y=g(X) med CDF-metoden for både voksende og avtakende g

4.PPrøver til del 4: Transformasjon: broen til pivotalen

•kunne bruke Jacobi-determinanten til å finne simultantettheten og marginalene etter et variabelbytte

4.PPrøver til del 4: Transformasjon: broen til pivotalen

•kunne transformere observasjoner til en gamma/kjikvadrat-pivotal med riktige frihetsgrader

4.PPrøver til del 4: Transformasjon: broen til pivotalen

•skille konsekvent mellom en estimator (stokastisk regel) og et estimat (tallverdi)

5.1Estimatorer og egenskaper: forventningsretthet, varians og skjevhet

•avgjøre om en estimator er forventningsrett ved å regne ut forventningen, og finne varians og standardfeil

5.1Estimatorer og egenskaper: forventningsretthet, varians og skjevhet

•kvantifisere skjevhet og lage en forventningsrett estimator ved skjevhetskorreksjon, inkludert Γ-faktoren for rot- og potensestimatorer

5.1Estimatorer og egenskaper: forventningsretthet, varians og skjevhet

•sammenligne to estimatorer på forventningsretthet og varians og velge med begrunnelse

5.1Estimatorer og egenskaper: forventningsretthet, varians og skjevhet

•utlede maximum-likelihood-estimatoren med alle trinn: likelihood som produkt, log-likelihood, derivér og løs

5.2Maximum likelihood og momentmetoden

•gjennomføre ML for standardfordelingene (eksponensial i begge parametriseringer, Poisson, normal, gamma med kjent form) og for eksotiske fordelinger (Pareto, Weibull)

5.2Maximum likelihood og momentmetoden

•bruke momentmetoden som alternativ og forklare når den gir et annet svar enn ML

5.2Maximum likelihood og momentmetoden

•anvende invariansprinsippet til å estimere en funksjon av parameteren

5.2Maximum likelihood og momentmetoden

•utlede ML-estimatoren for arkivets fordelinger (eksponensial, Poisson, gamma, Pareto, Weibull, Rayleigh) etter en fast oppskrift

5.3Drill: estimatoren fra fordeling til egenskaper (sjanger G)

•avgjøre om estimatoren er forventningsrett og korrigere skjevhet via Γ/E(Vʳ) ved å identifisere en gamma-fordelt pivot

5.3Drill: estimatoren fra fordeling til egenskaper (sjanger G)

•finne varians og standardfeil til estimatoren

5.3Drill: estimatoren fra fordeling til egenskaper (sjanger G)

•sammenligne flere foreslåtte estimatorer og velge med begrunnelse i både forventningsretthet og varians

5.3Drill: estimatoren fra fordeling til egenskaper (sjanger G)

•kunne avgjøre forventningsretthet, regne varians og standardfeil, og kvantifisere og korrigere skjevhet

5.PPrøver til del 5: Punktestimering

•kunne utlede maximum-likelihood-estimatoren med alle trinn for både standardfordelinger og eksotiske fordelinger

5.PPrøver til del 5: Punktestimering

•kunne bruke momentmetoden og sammenligne to estimatorer med begrunnet valg

5.PPrøver til del 5: Punktestimering

•kunne løse en full estimeringsoppgave med skjevhetskorreksjon via gammafunksjonen på eksamensnivå

5.PPrøver til del 5: Punktestimering

•finne en pivotal størrelse med kjent gamma-/kjikvadratfordeling fri for den ukjente parameteren

6.1Eksakt pivotal-KI via gamma/χ²

•utlede et eksakt konfidensintervall ved å løse dobbeltulikheten, med riktig kvantil i riktig endepunkt og riktig fortegnsvending

6.1Eksakt pivotal-KI via gamma/χ²

•gjenkjenne og begrunne at det eksakte intervallet ofte er asymmetrisk

6.1Eksakt pivotal-KI via gamma/χ²

•transformere et konfidensintervall til en avledet størrelse (median, kvantil, standardavvik) via en monoton funksjon

6.1Eksakt pivotal-KI via gamma/χ²

•formulere sentralgrenseteoremet presist med alle tre forutsetninger (uavhengig, identisk fordelt, endelig varians)

6.2CLT-tilnærmet KI og eksakt-vs-Wald-dekningen

•konstruere et CLT-basert Wald-konfidensintervall med estimert standardfeil

6.2CLT-tilnærmet KI og eksakt-vs-Wald-dekningen

•sammenligne eksakt pivotal-KI og Wald-KI på dekningsgrad og begrunne hvorfor eksakt foretrekkes ved lav n

6.2CLT-tilnærmet KI og eksakt-vs-Wald-dekningen

•tolke en dekningssimulering og angi når CLT-tilnærmingen er forsvarlig

6.2CLT-tilnærmet KI og eksakt-vs-Wald-dekningen

•gjennomføre hele estimerings-kjeden fra modelldefinisjon via ML og transformasjon til eksakt pivotal-konfidensintervall

6.3Drill: hele kjeden — fordeling → estimator → pivot → eksakt KI (+ CLT + bootstrap-SE)

•korrigere skjevhet i rot-/potensestimatorer via gammafunksjonen der oppgaven krever en forventningsrett estimator

6.3Drill: hele kjeden — fordeling → estimator → pivot → eksakt KI (+ CLT + bootstrap-SE)

•gi et CLT-basert Wald-alternativ og begrunne intervallvalget ut fra dekning

6.3Drill: hele kjeden — fordeling → estimator → pivot → eksakt KI (+ CLT + bootstrap-SE)

•beskrive en parametrisk bootstrap for standardfeilen og avslutte med tolket tallsvar og avledede størrelser

6.3Drill: hele kjeden — fordeling → estimator → pivot → eksakt KI (+ CLT + bootstrap-SE)

•kunne utlede et eksakt pivotal-konfidensintervall for eksponensialdata med riktig frihetsgrad og fortegnsvending

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall: eksakt pivotal og CLT

•kunne bygge pivot for gamma- og normalmodeller og transformere et KI til en avledet størrelse via en monoton funksjon

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall: eksakt pivotal og CLT

•kunne konstruere et CLT-basert Wald-intervall og begrunne hvorfor eksakt foretrekkes ved lav n ut fra dekningsgrad

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall: eksakt pivotal og CLT

•kunne løse en full kjedeoppgave fra fordeling og estimator til eksakt konfidensintervall på eksamensnivå

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall: eksakt pivotal og CLT

•utlede fordelingsfunksjonen og dens inverse og bruke inversjonsmetoden til å simulere fra en vilkårlig kontinuerlig fordeling

7.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

•skrive kjørbar, vektorisert numpy-kode som trekker realisasjoner og estimerer sannsynligheter, forventninger og varianser

7.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

•bruke np.random.uniform, stats.norm.rvs, np.mean, np.var og np.std riktig, med ddof=1 der empirisk varians kreves

7.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

•lese en kort simuleringssnutt og avgjøre hvilken fordeling det trekkes fra og hva som estimeres

7.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

•beskrive og kode bootstrap-algoritmen presist og estimere standardfeilen som empirisk standardavvik med ddof=1

7.2Bootstrap for standardfeil og simulert dekning

•skille mellom ikke-parametrisk bootstrap (trekk med tilbakelegging fra data) og parametrisk bootstrap (trekk fra tilpasset fordeling) og velge riktig

7.2Bootstrap for standardfeil og simulert dekning

•bruke Monte Carlo til å estimere en sannsynlighet som forventet indikator, med standardfeil som avtar som 1 over kvadratroten av antall trekk

7.2Bootstrap for standardfeil og simulert dekning

•simulere dekningsgraden til et konfidensintervall og forklare hvorfor et eksakt pivotal-intervall treffer nominelt mens Wald underdekker for liten n

7.2Bootstrap for standardfeil og simulert dekning

•kunne utlede fordelingsfunksjonen og dens inverse og skrive kjørbar, vektorisert numpy-kode som simulerer og estimerer

7.PPrøver til del 7: Simulering, bootstrap og Python

•kunne lese og fullføre en simuleringssnutt og avgjøre hvilken fordeling det trekkes fra og hva som estimeres

7.PPrøver til del 7: Simulering, bootstrap og Python

•kunne estimere standardfeil med parametrisk og ikke-parametrisk bootstrap og skille de to variantene

7.PPrøver til del 7: Simulering, bootstrap og Python

•kunne simulere dekningsgraden til et konfidensintervall og forklare hvorfor Wald-intervallet underdekker for liten n

7.PPrøver til del 7: Simulering, bootstrap og Python

•regne kovarians og korrelasjon og bruke kovariansleddet i variansen til en lineærkombinasjon

8.1Kovarians, korrelasjon og binormalfordelingen

•beskrive binormalfordelingen ved dens fem parametre og forklare hvorfor rho=0 der betyr uavhengighet

8.1Kovarians, korrelasjon og binormalfordelingen

•bruke den betingede fordelingen i en binormal til å finne betinget forventning og varians

8.1Kovarians, korrelasjon og binormalfordelingen

•gjenkjenne den betingede forventningen som en lineær regresjonsmodell

8.1Kovarians, korrelasjon og binormalfordelingen

•vise at forventningen minimerer forventet kvadratisk avvik ved hjelp av variansdekomponeringen

8.2Betinget forventning, prediksjon og MSE-minimering

•forklare hvorfor den betingede forventningen er beste prediksjon under kvadratisk tap

8.2Betinget forventning, prediksjon og MSE-minimering

•regne beste prediksjon og prediksjonsusikkerhet for binormale data

8.2Betinget forventning, prediksjon og MSE-minimering

•skille mellom kvadratisk og absoluttverditap og hva som er optimalt gjett i hvert tilfelle

8.2Betinget forventning, prediksjon og MSE-minimering

•sette opp den enkle lineære regresjonsmodellen og utlede minste kvadraters estimatorer med og uten konstantledd

8.3Enkel lineær regresjon (nykommer, elementær)

•finne forventning og varians til stigningsestimatoren under modellen

8.3Enkel lineær regresjon (nykommer, elementær)

•bruke konfidensintervall til aa velge mellom modell med og uten konstantledd

8.3Enkel lineær regresjon (nykommer, elementær)

•drofte bias-varians-avveiningen mellom de to modellene

8.3Enkel lineær regresjon (nykommer, elementær)

•kunne regne kovarians og korrelasjon i lineærkombinasjoner og bruke kovariansleddet i variansen til en sum

8.PPrøver til del 8: Samvariasjon, binormal og regresjon

•kunne finne betinget forventning og varians i en binormal og begrunne at rho=0 der betyr uavhengighet

8.PPrøver til del 8: Samvariasjon, binormal og regresjon

•kunne vise at forventningen minimerer forventet kvadratisk avvik og at betinget forventning er beste prediksjon

8.PPrøver til del 8: Samvariasjon, binormal og regresjon

•kunne utlede og bruke minste kvadraters estimatorer med og uten konstantledd og drofte bias-varians-avveiningen

8.PPrøver til del 8: Samvariasjon, binormal og regresjon

•gjenkjenne hvilken oppgavetype en eksamensoppgave tilhører og velge riktig førstegrep

9.1Sjangerguiden og fortellingsoppgavens anatomi

•se den gjennomgående estimeringsfortellingen som binder en hel oppgave sammen, ledd for ledd

9.1Sjangerguiden og fortellingsoppgavens anatomi

•unngå de vanligste sensortrekkene ved å følge en fast sjekkliste

9.1Sjangerguiden og fortellingsoppgavens anatomi

•sette opp et realistisk tidsbudsjett for en firetimers skoleeksamen med tre til fire store oppgaver

9.1Sjangerguiden og fortellingsoppgavens anatomi

•løse et komplett firetimers STK1100-sett under realistiske forhold

9.2Øvingseksamen 1: fire fortellingsoppgaver med full kjede

•føre estimerings-kjeden fra ML til eksakt konfidensintervall på en Weibull-levetid

9.2Øvingseksamen 1: fire fortellingsoppgaver med full kjede

•kombinere transformasjon, inversjonsmetode og parametrisk bootstrap i kjørbar Python

9.2Øvingseksamen 1: fire fortellingsoppgaver med full kjede

•utlede en momentgenererende funksjon og bruke den til forventning og varians i en Poisson-prosess

9.3Øvingseksamen 2: tre store oppgaver (V2015–V2017/V2021-malen)

•sammenligne eksakt pivotal- og Wald-konfidensintervall og tolke en simulert dekningsstudie

9.3Øvingseksamen 2: tre store oppgaver (V2015–V2017/V2021-malen)

•transformere en simultanfordeling med Jacobi og finne betinget forventning som beste prediksjon

9.3Øvingseksamen 2: tre store oppgaver (V2015–V2017/V2021-malen)

•begrunne et normaltilnærmet konfidensintervall for en andel eksplisitt med sentralgrenseteoremet

9.4Øvingseksamen 3: V2024-malen (Python-tung, regresjon, dekningsstudie)

•håndtere en lognormalfordeling: tetthet, median, ML og eksakt konfidensintervall

9.4Øvingseksamen 3: V2024-malen (Python-tung, regresjon, dekningsstudie)

•skrive og kjøre en dekningsstudie i Python og tolke eksakt-vs-Wald-resultatet

9.4Øvingseksamen 3: V2024-malen (Python-tung, regresjon, dekningsstudie)

•utlede minste kvadraters estimatorer med og uten konstantledd og velge modell via bias–varians

9.4Øvingseksamen 3: V2024-malen (Python-tung, regresjon, dekningsstudie)

Kapitler med kompetansemål

0Eksamenskart

0.1Eksamenskartet: slik testes STK1100

kunne beskrive STK1100-eksamenens form: fire timer, tre til fire fortellingsoppgaver, kalkulator og formelsamling
kunne prioritere lesingen etter hvilke temaer som går igjen i eksamensarkivet
kunne kjenne igjen den gjennomgående oppgavekjeden fra fordeling til konfidensintervall
kunne sette opp et realistisk tidsbudsjett for en firetimers eksamen

1Sannsynlighet, betingning og diskrete modeller

1.1Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes

regne ut betinget sannsynlighet og bruke multiplikasjonsregelen
bruke loven om total sannsynlighet over et fullstendig sett av hendelser
snu en betinget sannsynlighet med Bayes' formel og tolke resultatet i en diagnosetest
oppdatere en sannsynlighet over flere runder når ny informasjon kommer inn

1.2Stokastiske variable, forventning og varians

skille mellom diskrete og kontinuerlige stokastiske variable og bruke punktsannsynlighet, tetthet og fordelingsfunksjon
regne ut forventning og varians for en stokastisk variabel, også for en funksjon av variabelen
bruke regnereglene for forventning og varians av lineærkombinasjoner, med kovariansleddet
regne ut kovarians og korrelasjon og forklare forskjellen på uavhengig og ukorrelert

1.3Diskrete fordelinger og Poisson-prosessen

velge riktig diskret fordeling ut fra situasjonen og begrunne modellvalget
regne med binomisk fordeling og bruke forventning og varians
sette opp en Poisson-prosess med forutsetninger og rateskalering, og regne sannsynligheter
bruke komplementgrepet for minst én hendelse og løse for hvor stort et intervall må være

1.PPrøver til del 1: Sannsynlighet, betingning og diskrete modeller

kunne løse Bayes- og totalsannsynlighetsoppgaver med presise hendelsesdefinisjoner på eksamensnivå
kunne bruke momentregnereglene for lineærkombinasjoner med kovariansleddet riktig
kunne velge og begrunne riktig diskret modell og regne med Poisson-prosessen

2Kontinuerlige fordelinger og gamma-apparatet

2.1Kontinuerlige fordelinger: tetthet, CDF, median og eksponensial

finne normeringskonstant og stykkevis fordelingsfunksjon fra en oppgitt tetthet
regne ut median og kvantiler ved å løse likningen F(m)=p aktivt
regne ut forventning og varians for en kontinuerlig variabel ved integrasjon
bruke eksponensialfordelingen i begge parametriseringer og utlede minneløsheten

2.2Gammafordelingen, kjikvadrat og Γ-verktøyet

bruke gammafunksjonens regneregler og gammaintegralet aktivt
regne ut forventning, varians og momenter for en gammafordeling via E(V^r)-formelen
bruke identiteten mellom kjikvadrat og gammafordelingen med riktige frihetsgrader
bruke regelen for sum av uavhengige gammavariable med felles skala

2.3Drill: den egendefinerte og «eksotiske» tettheten (sjanger C)

gå fra en oppgitt tetthet til normeringskonstant, fordelingsfunksjon, median og momenter etter en fast oppskrift
gjenkjenne og regne på Laplace-, Pareto-, Rayleigh-, Weibull- og lognormalfordelingen
transformere en eksotisk fordeling til eksponensial/gamma med potens- og logaritmetransformasjon
sjekke konvergensbetingelser for momenter med tunge haler

2.PPrøver til del 2: Kontinuerlige fordelinger og gamma-apparatet

kunne gå fra en oppgitt tetthet til CDF, median og momenter på eksamensnivå
kunne bruke eksponensialfordelingen i begge parametriseringer og utlede minneløsheten
kunne bruke gamma-/kjikvadrat-identitetene, gammaintegralet og momentformelen aktivt

3Simultanfordeling og uavhengighet

3.1Simultantetthet: marginaler, betinget tetthet og område-sannsynligheter

sette opp en simultantetthet og bestemme normeringskonstanten fra at dobbeltintegralet er 1
finne marginaltetthetene ved å integrere ut den andre variabelen
regne ut betinget tetthet og betinget forventning fra en simultantetthet
regne område-sannsynligheter som P(Y minst X) ved å tegne integrasjonsområdet og sette riktige grenser

3.2Drill: uavhengighet ved faktorisering (eget drillmål)

bevise eller motbevise uavhengighet ved å sjekke om simultantettheten faktoriserer i produktet av marginaltetthetene
avgjøre uavhengighet fra støtten: en støtte som ikke er et rektangel gir automatisk avhengige variable
gjennomføre uavhengighetssjekken for diskrete simultanfordelinger i tabell
skille ukorrelerte fra uavhengige variable

3.PPrøver til del 3: Simultanfordeling og uavhengighet

kunne finne normeringskonstant, marginaltettheter og betinget tetthet fra en oppgitt simultantetthet
kunne regne område-sannsynligheter ved å tegne integrasjonsområdet og sette riktige grenser
kunne avgjøre uavhengighet ved faktorisering, inkludert sjekk av null-området
kunne løse en full simultantetthet-oppgave på eksamensnivå

4Transformasjon: broen til pivotalen

4.1Momentgenererende funksjoner

utlede den momentgenererende funksjonen til en fordeling med konvergenskravet på t
hente forventning og varians fra MGF-en ved derivasjon, og bruke kumulant-snarveien R(t)=ln M(t)
identifisere fordelingen til en sum av uavhengige variable ved å multiplisere MGF-ene
begrunne identifikasjonen med at MGF-en bestemmer fordelingen entydig

4.2Transformasjonsteknikkene: CDF-metoden og Jacobi

finne fordelingen til Y=g(X) med CDF-metoden for både voksende og avtakende g
utlede at kvadratet av en standardnormal er kjikvadratfordelt med én frihetsgrad
bruke Jacobi-formelen med absoluttverdien av determinanten for et bivariat variabelbytte
integrere ut en marginaltetthet etter Jacobi ved å tegne integrasjonsområdet

4.3Drill: transformasjon til gamma/χ² — pivot-fabrikken (eget drillmål)

identifisere riktig transformasjon (skala, kvadrat, potens, log) som gjør en observasjon standard
vise med CDF-metoden at den transformerte størrelsen er eksponensial, gamma eller kjikvadrat
løfte til summen med sum-av-gamma-regelen og angi riktige frihetsgrader (2n mot n)
kjenne igjen den bygde pivotalen som råstoff for det eksakte konfidensintervallet

4.PPrøver til del 4: Transformasjon: broen til pivotalen

kunne utlede en momentgenererende funksjon med konvergenskrav og hente forventning og varians fra den
kunne finne fordelingen til Y=g(X) med CDF-metoden for både voksende og avtakende g
kunne bruke Jacobi-determinanten til å finne simultantettheten og marginalene etter et variabelbytte
kunne transformere observasjoner til en gamma/kjikvadrat-pivotal med riktige frihetsgrader

5Punktestimering

5.1Estimatorer og egenskaper: forventningsretthet, varians og skjevhet

skille konsekvent mellom en estimator (stokastisk regel) og et estimat (tallverdi)
avgjøre om en estimator er forventningsrett ved å regne ut forventningen, og finne varians og standardfeil
kvantifisere skjevhet og lage en forventningsrett estimator ved skjevhetskorreksjon, inkludert Γ-faktoren for rot- og potensestimatorer
sammenligne to estimatorer på forventningsretthet og varians og velge med begrunnelse

5.2Maximum likelihood og momentmetoden

utlede maximum-likelihood-estimatoren med alle trinn: likelihood som produkt, log-likelihood, derivér og løs
gjennomføre ML for standardfordelingene (eksponensial i begge parametriseringer, Poisson, normal, gamma med kjent form) og for eksotiske fordelinger (Pareto, Weibull)
bruke momentmetoden som alternativ og forklare når den gir et annet svar enn ML
anvende invariansprinsippet til å estimere en funksjon av parameteren

5.3Drill: estimatoren fra fordeling til egenskaper (sjanger G)

utlede ML-estimatoren for arkivets fordelinger (eksponensial, Poisson, gamma, Pareto, Weibull, Rayleigh) etter en fast oppskrift
avgjøre om estimatoren er forventningsrett og korrigere skjevhet via Γ/E(Vʳ) ved å identifisere en gamma-fordelt pivot
finne varians og standardfeil til estimatoren
sammenligne flere foreslåtte estimatorer og velge med begrunnelse i både forventningsretthet og varians

5.PPrøver til del 5: Punktestimering

kunne avgjøre forventningsretthet, regne varians og standardfeil, og kvantifisere og korrigere skjevhet
kunne utlede maximum-likelihood-estimatoren med alle trinn for både standardfordelinger og eksotiske fordelinger
kunne bruke momentmetoden og sammenligne to estimatorer med begrunnet valg
kunne løse en full estimeringsoppgave med skjevhetskorreksjon via gammafunksjonen på eksamensnivå

6Konfidensintervall: eksakt pivotal og CLT

6.1Eksakt pivotal-KI via gamma/χ²

finne en pivotal størrelse med kjent gamma-/kjikvadratfordeling fri for den ukjente parameteren
utlede et eksakt konfidensintervall ved å løse dobbeltulikheten, med riktig kvantil i riktig endepunkt og riktig fortegnsvending
gjenkjenne og begrunne at det eksakte intervallet ofte er asymmetrisk
transformere et konfidensintervall til en avledet størrelse (median, kvantil, standardavvik) via en monoton funksjon

6.2CLT-tilnærmet KI og eksakt-vs-Wald-dekningen

formulere sentralgrenseteoremet presist med alle tre forutsetninger (uavhengig, identisk fordelt, endelig varians)
konstruere et CLT-basert Wald-konfidensintervall med estimert standardfeil
sammenligne eksakt pivotal-KI og Wald-KI på dekningsgrad og begrunne hvorfor eksakt foretrekkes ved lav n
tolke en dekningssimulering og angi når CLT-tilnærmingen er forsvarlig

6.3Drill: hele kjeden — fordeling → estimator → pivot → eksakt KI (+ CLT + bootstrap-SE)

gjennomføre hele estimerings-kjeden fra modelldefinisjon via ML og transformasjon til eksakt pivotal-konfidensintervall
korrigere skjevhet i rot-/potensestimatorer via gammafunksjonen der oppgaven krever en forventningsrett estimator
gi et CLT-basert Wald-alternativ og begrunne intervallvalget ut fra dekning
beskrive en parametrisk bootstrap for standardfeilen og avslutte med tolket tallsvar og avledede størrelser

6.PPrøver til del 6: Konfidensintervall: eksakt pivotal og CLT

kunne utlede et eksakt pivotal-konfidensintervall for eksponensialdata med riktig frihetsgrad og fortegnsvending
kunne bygge pivot for gamma- og normalmodeller og transformere et KI til en avledet størrelse via en monoton funksjon
kunne konstruere et CLT-basert Wald-intervall og begrunne hvorfor eksakt foretrekkes ved lav n ut fra dekningsgrad
kunne løse en full kjedeoppgave fra fordeling og estimator til eksakt konfidensintervall på eksamensnivå

7Simulering, bootstrap og Python

7.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

utlede fordelingsfunksjonen og dens inverse og bruke inversjonsmetoden til å simulere fra en vilkårlig kontinuerlig fordeling
skrive kjørbar, vektorisert numpy-kode som trekker realisasjoner og estimerer sannsynligheter, forventninger og varianser
bruke np.random.uniform, stats.norm.rvs, np.mean, np.var og np.std riktig, med ddof=1 der empirisk varians kreves
lese en kort simuleringssnutt og avgjøre hvilken fordeling det trekkes fra og hva som estimeres

7.2Bootstrap for standardfeil og simulert dekning

beskrive og kode bootstrap-algoritmen presist og estimere standardfeilen som empirisk standardavvik med ddof=1
skille mellom ikke-parametrisk bootstrap (trekk med tilbakelegging fra data) og parametrisk bootstrap (trekk fra tilpasset fordeling) og velge riktig
bruke Monte Carlo til å estimere en sannsynlighet som forventet indikator, med standardfeil som avtar som 1 over kvadratroten av antall trekk
simulere dekningsgraden til et konfidensintervall og forklare hvorfor et eksakt pivotal-intervall treffer nominelt mens Wald underdekker for liten n

7.PPrøver til del 7: Simulering, bootstrap og Python

kunne utlede fordelingsfunksjonen og dens inverse og skrive kjørbar, vektorisert numpy-kode som simulerer og estimerer
kunne lese og fullføre en simuleringssnutt og avgjøre hvilken fordeling det trekkes fra og hva som estimeres
kunne estimere standardfeil med parametrisk og ikke-parametrisk bootstrap og skille de to variantene
kunne simulere dekningsgraden til et konfidensintervall og forklare hvorfor Wald-intervallet underdekker for liten n

8Samvariasjon, binormal og regresjon

8.1Kovarians, korrelasjon og binormalfordelingen

regne kovarians og korrelasjon og bruke kovariansleddet i variansen til en lineærkombinasjon
beskrive binormalfordelingen ved dens fem parametre og forklare hvorfor rho=0 der betyr uavhengighet
bruke den betingede fordelingen i en binormal til å finne betinget forventning og varians
gjenkjenne den betingede forventningen som en lineær regresjonsmodell

8.2Betinget forventning, prediksjon og MSE-minimering

vise at forventningen minimerer forventet kvadratisk avvik ved hjelp av variansdekomponeringen
forklare hvorfor den betingede forventningen er beste prediksjon under kvadratisk tap
regne beste prediksjon og prediksjonsusikkerhet for binormale data
skille mellom kvadratisk og absoluttverditap og hva som er optimalt gjett i hvert tilfelle

8.3Enkel lineær regresjon (nykommer, elementær)

sette opp den enkle lineære regresjonsmodellen og utlede minste kvadraters estimatorer med og uten konstantledd
finne forventning og varians til stigningsestimatoren under modellen
bruke konfidensintervall til aa velge mellom modell med og uten konstantledd
drofte bias-varians-avveiningen mellom de to modellene

8.PPrøver til del 8: Samvariasjon, binormal og regresjon

kunne regne kovarians og korrelasjon i lineærkombinasjoner og bruke kovariansleddet i variansen til en sum
kunne finne betinget forventning og varians i en binormal og begrunne at rho=0 der betyr uavhengighet
kunne vise at forventningen minimerer forventet kvadratisk avvik og at betinget forventning er beste prediksjon
kunne utlede og bruke minste kvadraters estimatorer med og uten konstantledd og drofte bias-varians-avveiningen

9Eksamenstrening

9.1Sjangerguiden og fortellingsoppgavens anatomi

gjenkjenne hvilken oppgavetype en eksamensoppgave tilhører og velge riktig førstegrep
se den gjennomgående estimeringsfortellingen som binder en hel oppgave sammen, ledd for ledd
unngå de vanligste sensortrekkene ved å følge en fast sjekkliste
sette opp et realistisk tidsbudsjett for en firetimers skoleeksamen med tre til fire store oppgaver

9.2Øvingseksamen 1: fire fortellingsoppgaver med full kjede

løse et komplett firetimers STK1100-sett under realistiske forhold
føre estimerings-kjeden fra ML til eksakt konfidensintervall på en Weibull-levetid
kombinere transformasjon, inversjonsmetode og parametrisk bootstrap i kjørbar Python

9.3Øvingseksamen 2: tre store oppgaver (V2015–V2017/V2021-malen)

utlede en momentgenererende funksjon og bruke den til forventning og varians i en Poisson-prosess
sammenligne eksakt pivotal- og Wald-konfidensintervall og tolke en simulert dekningsstudie
transformere en simultanfordeling med Jacobi og finne betinget forventning som beste prediksjon

9.4Øvingseksamen 3: V2024-malen (Python-tung, regresjon, dekningsstudie)

begrunne et normaltilnærmet konfidensintervall for en andel eksplisitt med sentralgrenseteoremet
håndtere en lognormalfordeling: tetthet, median, ML og eksakt konfidensintervall
skrive og kjøre en dekningsstudie i Python og tolke eksakt-vs-Wald-resultatet
utlede minste kvadraters estimatorer med og uten konstantledd og velge modell via bias–varians

Tilbake til STK1100 Sannsynlighetsregning og statistisk modellering