Tilbake
3.1
Alle fag for Høyskole

3.1 Simultantetthet: marginaler, betinget tetthet og område-sannsynligheter

Fra en simultantetthet til normeringskonstant, marginaler, betinget tetthet og P(område) via dobbeltintegral — med området alltid tegnet.

60 min
13 oppgaver
Simultantetthetmarginalerbetinget tetthetområde-sannsynligheter
Din fremgang i kapitlet
0 / 13 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Dette kapitlet bygger på én stokastisk variabel av gangen fra kap. 2.1 Kontinuerlige fordelinger — tetthet, normeringskonstant (∫f=1\int f = 1), fordelingsfunksjon FF og momenter ved integrasjon — og på regnereglene for forventning fra kap. 1.2 Forventning og varians.

Det eneste nye matematiske verktøyet er dobbeltintegralet ∬\iint, som bare er «integrer én variabel av gangen». Trenger du å friske opp det bestemte integralet som ligger under, se R2 2.4 Bestemt integral. Alt annet forklares underveis.

Når vi måler to tilfeldige størrelser på samme enhet samtidig — for eksempel høyden og perioden til en tilfeldig havbølge, eller diameteren og lengden til en tilfeldig produsert komponent — holder det ikke lenger med én tetthet. Vi trenger en simultantetthet f(x,y)f(x,y) som beskriver hvordan de to verdiene opptrer sammen. Fra den kan vi hente ut alt: hvordan hver variabel oppfører seg alene (marginaltetthet), hvordan den ene oppfører seg når vi kjenner den andre (betinget tetthet), og sannsynligheten for at paret (X,Y)(X,Y) havner i et bestemt område.

Kapitlet er bygget som fem små læringsløkker — teori, gjennomregnet eksempel, så øvingsoppgaver — slik at du kan ta én bit av gangen. Sett av ca. 60 minutter; hver løkke er merket med et tidsanslag, og du kan trygt ta pause mellom løkkene.

Løkke 1 — Simultantetthet og normeringskonstant (~12 min)

En simultantetthet er en flate over xyxy-planet: jo høyere flaten er over et punkt (x,y)(x,y), desto mer sannsynlig er det at paret (X,Y)(X,Y) havner i nærheten av det punktet. Akkurat som for én variabel er ikke f(x,y)f(x,y) en sannsynlighet — sannsynligheter får vi først når vi integrerer flaten over et område (finner volumet under den). Og akkurat som én tetthet må integrere til 1, må hele volumet under simultantettheten være 1.

Simultantetthet
Beskriver hvor sannsynlig hvert par av verdier er for to kontinuerlige variable samtidig. Funksjonen f(x,y)≥0f(x,y) \ge 0 er simultantettheten til (X,Y)(X,Y) når sannsynligheten for et hvilket som helst område AA er volumet under flaten:

P((X,Y)∈A)=∬Af(x,y) dx dy.P\big((X,Y) \in A\big) = \iint_A f(x,y)\,dx\,dy.

Verdien f(x,y)f(x,y) er ikke en sannsynlighet og kan godt være større enn 1 — bare volumet er en sannsynlighet.

Støtte (support)

Området der tettheten er positiv — utenfor er den 0. Støtten til (X,Y)(X,Y) er mengden {(x,y):f(x,y)>0}\{(x,y) : f(x,y) > 0\}. Alltid skriv tettheten stykkevis: en formel på støtten og f(x,y)=0f(x,y) = 0 ellers. Formen på støtten (rektangel, trekant, disk) avgjør grensene i alle integralene — og den avgjør uavhengighet (kap. 3.2).

Simultan fordelingsfunksjon
Den kumulative sannsynligheten for at begge variablene ligger under gitte verdier. Simultan fordelingsfunksjon:

F(x,y)=P(X≤x, Y≤y)=∫−∞y ⁣ ⁣∫−∞xf(s,t) ds dt.F(x,y) = P(X \le x,\, Y \le y) = \int_{-\infty}^{y}\!\!\int_{-\infty}^{x} f(s,t)\,ds\,dt.

Vi bruker den sjelden direkte i STK1100, men sammenhengen f(x,y)=∂2F∂x ∂y\displaystyle f(x,y) = \frac{\partial^2 F}{\partial x\,\partial y} finnes.

Normeringskonstant
Konstanten som gjør at hele volumet under tettheten blir 1. Er f(x,y)=c g(x,y)f(x,y) = c\,g(x,y) på en støtte SS, bestemmes normeringskonstanten cc av kravet

∬Sf(x,y) dx dy=1  ⇒  c=1∬Sg(x,y) dx dy.\iint_S f(x,y)\,dx\,dy = 1 \;\Rightarrow\; c = \frac{1}{\iint_S g(x,y)\,dx\,dy}.

Regn dobbeltintegralet innenfra og ut: integrer først den ene variabelen (den andre holdes fast), så den andre.

✏️Eksempel 1: Finn normeringskonstanten

La (X,Y)(X,Y) ha tetthet f(x,y)=c x(x+y)f(x,y) = c\,x(x+y) på enhetskvadratet 0<x<10 < x < 1, 0<y<10 < y < 1, og 0 ellers. Bestem cc.

Kravet er ∬f=1\iint f = 1. Vi integrerer innenfra (først yy, så xx):

∫01∫01x(x+y) dy dx=∫01[x2y+xy22]y=01 dx=∫01(x2+x2) dx=13+14=712.\int_0^1 \int_0^1 x(x+y)\,dy\,dx = \int_0^1 \Big[x^2 y + x\tfrac{y^2}{2}\Big]_{y=0}^{1}\,dx = \int_0^1 \Big(x^2 + \tfrac{x}{2}\Big)\,dx = \tfrac13 + \tfrac14 = \tfrac{7}{12}.

Da må c⋅712=1c \cdot \tfrac{7}{12} = 1, altså c=127c = \tfrac{12}{7}. Tettheten er dermed f(x,y)=127x(x+y)f(x,y) = \tfrac{12}{7}x(x+y) på enhetskvadratet.

📝Oppgave 1

(Ren gjengivelse.) Hvilke to krav må en funksjon f(x,y)f(x,y) oppfylle for å være en gyldig simultantetthet? Og er f(x,y)f(x,y) selv en sannsynlighet?

📝Oppgave 2

Finn normeringskonstanten cc når f(x,y)=c (x+2y)f(x,y) = c\,(x + 2y) på 0<x<10 < x < 1, 0<y<10 < y < 1, og 0 ellers.

Løkke 2 — Marginaltettheter (~12 min)

Marginaltetthet
Tettheten til én variabel alene, når vi ser bort fra den andre. Vi får marginaltettheten ved å integrere ut den andre variabelen over hele dens område:

fX(x)=∫−∞∞f(x,y) dy,fY(y)=∫−∞∞f(x,y) dx.f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy, \qquad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dx.

Intuisjon: for å finne hvor sannsynlig én xx-verdi er alene, summerer (integrerer) vi over alle yy-ene den kan opptre med. Husk grensene fra støtten — de kan avhenge av xx.

Viktig om grensene. Når støtten er et rektangel (som enhetskvadratet), er grensene faste tall. Men når støtten er en trekant eller annet skrått område, avhenger integrasjonsgrensen av den variabelen du beholder. Da må du tenke: «for en fast xx, hvilke yy-verdier er mulige?» — og det er nettopp derfor vi tegner støtten.
✏️Eksempel 2: Begge marginaltetthetene

La (X,Y)(X,Y) ha tetthet f(x,y)=x+yf(x,y) = x + y på enhetskvadratet 0<x<10 < x < 1, 0<y<10 < y < 1 (sjekk selv at ∬f=1\iint f = 1). Finn fX(x)f_X(x) og fY(y)f_Y(y).

Marginal for XX (integrer ut yy fra 0 til 1):

fX(x)=∫01(x+y) dy=[xy+y22]01=x+12,0<x<1.f_X(x) = \int_0^1 (x+y)\,dy = \Big[xy + \tfrac{y^2}{2}\Big]_0^1 = x + \tfrac12, \qquad 0 < x < 1.

Marginal for YY (integrer ut xx fra 0 til 1), ved symmetri i formelen:

fY(y)=∫01(x+y) dx=[x22+xy]01=12+y,0<y<1.f_Y(y) = \int_0^1 (x+y)\,dx = \Big[\tfrac{x^2}{2} + xy\Big]_0^1 = \tfrac12 + y, \qquad 0 < y < 1.

Sjekk: ∫01(x+12) dx=12+12=1\int_0^1 (x + \tfrac12)\,dx = \tfrac12 + \tfrac12 = 1. Marginaltetthetene integrerer hver for seg til 1, som de skal.

📝Oppgave 3

Bruk tettheten fra Eksempel 1, f(x,y)=127x(x+y)f(x,y) = \tfrac{12}{7}x(x+y) på enhetskvadratet. Finn begge marginaltetthetene fX(x)f_X(x) og fY(y)f_Y(y).

📝Oppgave 4

La f(x,y)=6xy2f(x,y) = 6xy^2 på enhetskvadratet 0<x<10 < x < 1, 0<y<10 < y < 1 (og 0 ellers). Vis at ∬f=1\iint f = 1, og finn begge marginaltetthetene.

Løkke 3 — Betinget tetthet og betinget forventning (~12 min)

Betinget tetthet
Tettheten til YY når vi vet at X=xX = x. Den betingede tettheten er simultantettheten delt på marginaltettheten i den kjente variabelen:

fY∣X=x(y)=f(x,y)fX(x),for fX(x)>0.f_{Y \mid X = x}(y) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}, \qquad \text{for } f_X(x) > 0.

Intuisjon: vi «skjærer» simultanflaten langs linjen X=xX = x og skalerer snittet slik at det selv integrerer til 1. For hver fast xx er fY∣X=x(y)f_{Y \mid X = x}(y) en helt vanlig tetthet i yy.

Betinget forventning E(Y∣X=x)E(Y \mid X = x)
Forventet verdi av YY når vi vet at X=xX = x — regnet med den betingede tettheten:

E(Y∣X=x)=∫−∞∞y fY∣X=x(y) dy.E(Y \mid X = x) = \int_{-\infty}^{\infty} y\, f_{Y \mid X = x}(y)\,dy.

Svaret er som regel en funksjon av xx (regresjonskurven til YY på XX): kjenner du én verdi, endrer det din beste gjetning på den andre.

✏️Eksempel 3: Betinget tetthet og forventning

Bruk f(x,y)=x+yf(x,y) = x + y på enhetskvadratet (Eksempel 2), der fX(x)=x+12f_X(x) = x + \tfrac12. Finn fY∣X=x(y)f_{Y \mid X = x}(y) og E(Y∣X=x)E(Y \mid X = x).

Betinget tetthet (for en fast xx med 0<x<10 < x < 1):

fY∣X=x(y)=f(x,y)fX(x)=x+yx+12,0<y<1.f_{Y \mid X = x}(y) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} = \frac{x + y}{x + \tfrac12}, \qquad 0 < y < 1.

(Kontroll: ∫01x+yx+1/2 dy=x+1/2x+1/2=1\displaystyle \int_0^1 \frac{x+y}{x+1/2}\,dy = \frac{x + 1/2}{x + 1/2} = 1.) ✓

Betinget forventning:

E(Y∣X=x)=∫01y⋅x+yx+12 dy=1x+12∫01(xy+y2) dy=x2+13x+12=3x+23(2x+1).E(Y \mid X = x) = \int_0^1 y\cdot\frac{x+y}{x+\tfrac12}\,dy = \frac{1}{x+\tfrac12}\int_0^1 (xy + y^2)\,dy = \frac{\tfrac{x}{2} + \tfrac13}{x + \tfrac12} = \frac{3x + 2}{3(2x + 1)}.

For eksempel gir x=12x = \tfrac12 verdien 3⋅12+23(2⋅12+1)=7/26=712≈0,58\displaystyle \frac{3\cdot\frac12 + 2}{3(2\cdot\frac12+1)} = \frac{7/2}{6} = \frac{7}{12} \approx 0{,}58 — litt over midten, fordi høyere yy er litt mer sannsynlig her.

📝Oppgave 5

Med f(x,y)=6xy2f(x,y) = 6xy^2 på enhetskvadratet (der fX(x)=2xf_X(x) = 2x, fY(y)=3y2f_Y(y) = 3y^2): finn den betingede tettheten fY∣X=x(y)f_{Y \mid X = x}(y). Hva legger du merke til?

📝Oppgave 6

Bruk f(x,y)=127x(x+y)f(x,y) = \tfrac{12}{7}x(x+y) på enhetskvadratet (Eksempel 1), der fX(x)=127(x2+x2)f_X(x) = \tfrac{12}{7}(x^2 + \tfrac{x}{2}). Finn fY∣X=x(y)f_{Y \mid X = x}(y) og E(Y∣X=x)E(Y \mid X = x).

Løkke 4 — Område-sannsynlighet: tegn integrasjonsområdet (~14 min)

— naturlig pausepunkt: du har nå de tre «tørre» delspørsmålene. Neste løkke er sensorens favoritt.
Område-sannsynlighet
Sannsynligheten for at paret (X,Y)(X,Y) havner i et område AA — volumet under tettheten over AA:

P((X,Y)∈A)=∬Af(x,y) dx dy.P\big((X,Y) \in A\big) = \iint_A f(x,y)\,dx\,dy.

Typiske områder på eksamen: A={Y≥X}A = \{Y \ge X\}, A={X+Y≤1}A = \{X + Y \le 1\} eller en geometrisk mengde som A={X2+Y2≤r2}A = \{X^2 + Y^2 \le r^2\}. Alltid tegn området før du setter grensene.

Slik setter du grensene (sensorkrav 3)

1. Tegn støtten og området AA i samme xyxy-plan; skygg snittet du skal integrere over.
2. Velg integrasjonsrekkefølge. For et yy-simpelt område holder du xx fast og lar en loddrett linje skanne opp gjennom området: den indre grensen går fra nedre til øvre kant i yy (kan avhenge av xx), den ytre fra minste til største xx.
3. Skriv ∬Af=∫xmin⁡xmax⁡(∫ynedre(x)yøvre(x)f(x,y) dy)dx\iint_A f = \int_{x_{\min}}^{x_{\max}} \Big(\int_{y_{\text{nedre}}(x)}^{y_{\text{øvre}}(x)} f(x,y)\,dy\Big)dx og regn innenfra.

Figuren under viser prinsippet: den loddrette (røde) skannelinjen ved en fast xx går fra y=xy = x opp til y=1y = 1.

✏️Eksempel 4: $P(Y \ge X)$ — tegn området

La (X,Y)(X,Y) ha tetthet f(x,y)=127x(x+y)f(x,y) = \tfrac{12}{7}x(x+y) på enhetskvadratet. Tegn integrasjonsområdet og finn P(Y≥X)P(Y \ge X).

Tegn området. Området {Y≥X}\{Y \ge X\} er den delen av enhetskvadratet som ligger over diagonalen y=xy = x — den øvre venstre trekanten (se figur under). For en fast xx går yy fra xx opp til 1.

Sett opp integralet (yy-simpelt):

P(Y≥X)=127∫01∫x1x(x+y) dy dx.P(Y \ge X) = \tfrac{12}{7}\int_0^1 \int_x^1 x(x+y)\,dy\,dx.

Indre integral: ∫x1(x2+xy) dy=x2(1−x)+x⋅1−x22=x2−32x3+x2.\int_x^1 (x^2 + xy)\,dy = x^2(1-x) + x\cdot\tfrac{1 - x^2}{2} = x^2 - \tfrac32 x^3 + \tfrac{x}{2}.

Ytre integral: ∫01(x2−32x3+x2)dx=13−38+14=524.\int_0^1 \Big(x^2 - \tfrac32 x^3 + \tfrac{x}{2}\Big)dx = \tfrac13 - \tfrac38 + \tfrac14 = \tfrac{5}{24}.

Dermed P(Y≥X)=127⋅524=514≈0,357P(Y \ge X) = \tfrac{12}{7}\cdot\tfrac{5}{24} = \tfrac{5}{14} \approx 0{,}357. At svaret er under 12\tfrac12 gir mening: xx-faktoren i tettheten skyver massen mot store xx, altså mot området Y<XY < X.

Forventning av en funksjon E[g(X,Y)]E[g(X,Y)]
Forventet verdi av en hvilken som helst funksjon av paret — regnet direkte fra simultantettheten:

E[g(X,Y)]=∬g(x,y) f(x,y) dx dy.E[g(X,Y)] = \iint g(x,y)\,f(x,y)\,dx\,dy.

Spesialtilfeller: g=xyg = xy gir E(XY)E(XY) (brukes i kovarians), g=xg = x gir E(X)E(X). En sannsynlighet er også en slik forventning: P((X,Y)∈A)=E[1A(X,Y)]P((X,Y) \in A) = E[\mathbf{1}_A(X,Y)] der indikatoren 1A\mathbf{1}_A er 1 på AA og 0 ellers.

✏️Eksempel 5: Geometrisk sannsynlighet $P(X^2 + Y^2 \le 1)$

La (X,Y)(X,Y) være uniformt fordelt på enhetskvadratet, altså f(x,y)=1f(x,y) = 1 på 0<x<10 < x < 1, 0<y<10 < y < 1. Tegn området og finn P(X2+Y2≤1)P(X^2 + Y^2 \le 1).

Tegn området. X2+Y2≤1X^2 + Y^2 \le 1 er innsiden av en sirkel med radius 1 om origo. Snittet med enhetskvadratet er en kvartsirkel (se figur under).

Regn. Siden tettheten er konstant 1, er sannsynligheten rett og slett arealet av kvartsirkelen:

P(X2+Y2≤1)=∬x2+y2≤11 dx dy=areal av kvartsirkel=π⋅124=π4≈0,785.P(X^2 + Y^2 \le 1) = \iint_{x^2+y^2 \le 1} 1\,dx\,dy = \text{areal av kvartsirkel} = \frac{\pi \cdot 1^2}{4} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785.

Når tettheten er uniform, blir sannsynlighet = areal(område ∩\cap støtte) / areal(støtte); her er støttens areal 1, så svaret er selve arealet.

📝Oppgave 7

La f(x,y)=x+yf(x,y) = x + y på enhetskvadratet. Sett opp dobbeltintegralet med riktige grenser og regn ut P(X+Y≤1)P(X + Y \le 1).

📝Oppgave 8

La (X,Y)(X,Y) være uniform på enhetskvadratet (f=1f = 1). Sett opp og finn P(X2+Y2≤14)P\big(X^2 + Y^2 \le \tfrac14\big), og forklar hvorfor svaret er et areal.

Løkke 5 — Diskret simultanfordeling i tabell (~10 min)

Den samme historien — simultan, marginal, betinget — finnes i en lettere diskret utgave, der tettheten erstattes av en tabell med punktsannsynligheter. Her blir integraler til summer, og marginalene finner du ved å summere rader og kolonner. Diskret-varianten er ofte den enkleste inngangen til sjanger D.

Diskret simultanfordeling (punktsannsynlighet)

En tabell som gir sannsynligheten for hvert par av verdier. Simultan punktsannsynlighet: p(x,y)=P(X=x, Y=y)p(x,y) = P(X = x,\, Y = y), med p(x,y)≥0p(x,y) \ge 0 og ∑x∑yp(x,y)=1\sum_x \sum_y p(x,y) = 1. Alle sannsynligheter i tabellen summerer til 1.

Diskret marginalfordeling (rad-/kolonnesum)
Fordelingen til én variabel alene, funnet ved å summere ut den andre. Marginal punktsannsynlighet:

pX(x)=∑yp(x,y)(radsum),pY(y)=∑xp(x,y)(kolonnesum).p_X(x) = \sum_y p(x,y) \quad (\text{radsum}), \qquad p_Y(y) = \sum_x p(x,y) \quad (\text{kolonnesum}).

Marginalene står i margen av tabellen — derav navnet.

Diskret betinget fordeling
Fordelingen til YY når X=xX = x er kjent — hver celle delt på radsummen:

P(Y=y∣X=x)=p(x,y)pX(x),pX(x)>0.P(Y = y \mid X = x) = \frac{p(x,y)}{p_X(x)}, \qquad p_X(x) > 0.

For hver fast xx summerer de betingede sannsynlighetene til 1.

✏️Eksempel 6: Marginaler og betinget fra en tabell
(X,Y)(X,Y) har simultanfordeling gitt ved tabellen (XX nedover, YY bortover):

p(x,y)p(x,y)Y=0Y=0Y=1Y=1Y=2Y=2
X=0X=00,100{,}100,200{,}200,100{,}10
X=1X=10,150{,}150,300{,}300,150{,}15

Finn marginalfordelingene og den betingede fordelingen til YY gitt X=1X = 1.
Radsummer (marginal for XX): pX(0)=0,10+0,20+0,10=0,40p_X(0) = 0{,}10 + 0{,}20 + 0{,}10 = 0{,}40; pX(1)=0,15+0,30+0,15=0,60p_X(1) = 0{,}15 + 0{,}30 + 0{,}15 = 0{,}60.

Kolonnesummer (marginal for YY): pY(0)=0,25p_Y(0) = 0{,}25, pY(1)=0,50p_Y(1) = 0{,}50, pY(2)=0,25p_Y(2) = 0{,}25.

(Kontroll: alt summerer til 1.)

Betinget Y∣X=1Y \mid X = 1 (del rad X=1X=1 på pX(1)=0,60p_X(1) = 0{,}60):

P(Y=0∣X=1)=0,150,60=0,25,P(Y=1∣X=1)=0,300,60=0,50,P(Y=2∣X=1)=0,150,60=0,25.P(Y=0\mid X=1) = \tfrac{0{,}15}{0{,}60} = 0{,}25,\quad P(Y=1\mid X=1) = \tfrac{0{,}30}{0{,}60} = 0{,}50,\quad P(Y=2\mid X=1) = \tfrac{0{,}15}{0{,}60} = 0{,}25.

Legg merke til at denne betingede fordelingen er lik marginalen pYp_Y — et tegn på uavhengighet (drilles i kap. 3.2).

📝Oppgave 9

Bruk tabellen fra Eksempel 6.

a) Finn P(X=0∣Y=1)P(X = 0 \mid Y = 1).
b) Finn E(Y)E(Y) fra marginalfordelingen til YY.

Begrepsbank

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget over gjelder kjernestoffet. Kortene under samler begrepene fra kapitlet, pluss noen nærliggende du møter i sjanger D.

Uavhengige stokastiske variable
To variable er uavhengige når kunnskap om den ene ikke endrer fordelingen til den andre. Kriteriet: simultantettheten faktoriserer,

f(x,y)=fX(x) fY(y)for ALLE (x,y).f(x,y) = f_X(x)\,f_Y(y) \quad \text{for ALLE } (x,y).

Ekvivalent: fY∣X=x(y)=fY(y)f_{Y \mid X = x}(y) = f_Y(y). Sjekken (inkludert null-området) drilles i kap. 3.2.

Produktområde (rektangulær støtte)

Et område på formen {a<x<b,  c<y<d}\{a < x < b,\; c < y < d\} der xx- og yy-grensene ikke avhenger av hverandre — et rektangel. Uavhengige variable må ha en slik produktstøtte. En trekant eller disk er ikke et produktområde, og gir automatisk avhengighet.

Uniform simultanfordeling
(X,Y)(X,Y) er uniform på et område SS når tettheten er konstant der: f(x,y)=1areal(S)f(x,y) = \tfrac{1}{\text{areal}(S)} på SS, og 0 ellers. Da er sannsynligheter rene arealbrøker: P((X,Y)∈A)=areal(A∩S)/areal(S)P((X,Y) \in A) = \text{areal}(A \cap S)/\text{areal}(S).
Geometrisk sannsynlighet

Sannsynlighet regnet som et areal når tettheten er uniform. For (X,Y)(X,Y) uniform på SS blir P((X,Y)∈A)P((X,Y)\in A) lik arealandelen som AA dekker av SS — som kvartsirkelen π/4\pi/4 i enhetskvadratet. Ingen integrasjon nødvendig ut over å finne arealet.

yy-simpelt og xx-simpelt område

Et yy-simpelt område kan skrives {xmin⁡≤x≤xmax⁡,  g1(x)≤y≤g2(x)}\{x_{\min} \le x \le x_{\max},\; g_1(x) \le y \le g_2(x)\} — da integrerer du yy innerst. Et xx-simpelt område har grensene motsatt vei. Velg rekkefølgen som gir enklest grenser; tegn området for å se hvilken.

Integrasjonsrekkefølge (iterert integral)

Et dobbeltintegral regnes som to enkle integraler etter hverandre: integrer én variabel med den andre holdt fast, så den andre. For en tetthet kan rekkefølgen byttes uten å endre svaret — men grensene må tilpasses den nye rekkefølgen (les dem av skissen på nytt).

Volumtolkning av simultantetthet
f(x,y)f(x,y) er en flate over xyxy-planet, og P((X,Y)∈A)P((X,Y) \in A) er volumet under flaten over AA. Kravet ∬f=1\iint f = 1 betyr at det totale volumet under flaten er 1 — den todimensjonale versjonen av «arealet under tetthetskurven er 1».
Marginal forventning fra simultantetthet

Forventningen til én variabel kan regnes rett fra simultantettheten: E(X)=∬x f(x,y) dx dyE(X) = \iint x\,f(x,y)\,dx\,dy, eller like gjerne fra marginalen: E(X)=∫x fX(x) dxE(X) = \int x\,f_X(x)\,dx. Begge veier gir samme tall — velg den enkleste.

Betinget sannsynlighet P(Y∈B∣X=x)P(Y \in B \mid X = x)
Sannsynligheten for at YY ligger i et intervall BB, gitt X=xX = x — regnet med den betingede tettheten:

P(Y∈B∣X=x)=∫BfY∣X=x(y) dy.P(Y \in B \mid X = x) = \int_B f_{Y \mid X = x}(y)\,dy.

Dette er en vanlig deloppgave: «finn sannsynligheten for at Y>12Y > \tfrac12 gitt at X=14X = \tfrac14».

Kovarians fra simultantetthet

Kovariansen måler samvariasjon: Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y), der E(XY)=∬xy f(x,y) dx dyE(XY) = \iint xy\,f(x,y)\,dx\,dy (se kap. 1.2). Positiv kovarians betyr at store XX følges av store YY. Uavhengige variable har Cov(X,Y)=0\text{Cov}(X,Y) = 0.

Symmetrisk simultantetthet

Er f(x,y)=f(y,x)f(x,y) = f(y,x) for alle (x,y)(x,y) (og støtten er symmetrisk om diagonalen), sier vi tettheten er symmetrisk. Da har XX og YY samme marginalfordeling, og P(Y≥X)=12P(Y \ge X) = \tfrac12. Et nyttig kontrollpunkt — men gjelder bare når symmetrien faktisk holder.

Marginal som miksing av betingede
Marginaltettheten kan bygges opp av de betingede via «lov om total sannsynlighet» for tettheter:

fX(x)=∫fX∣Y=y(x) fY(y) dy.f_X(x) = \int f_{X \mid Y = y}(x)\,f_Y(y)\,dy.

Den brukes når en oppgave gir deg en betinget tetthet og en marginal, og ber om den andre marginalen.

Uavhengig medfører ukorrelert — ikke omvendt

Er XX og YY uavhengige, så er de også ukorrelerte (Cov(X,Y)=0\text{Cov}(X,Y) = 0). Den motsatte veien holder ikke: to variable kan ha Cov=0\text{Cov} = 0 og likevel være avhengige. Ukorrelert måler bare lineær samvariasjon. Dette nyanseres i kap. 3.2.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.