2.1 Kontinuerlige fordelinger: tetthet, CDF, median og eksponensial

$$P(a < X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx.$$

Området der $f(x) > 0$ kalles støtten til fordelingen. Utenfor støtten er $f(x) = 0$.

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = c\int g(x)\,dx = 1 \quad\Rightarrow\quad c = \frac{1}{\int g(x)\,dx}.$$

Alltid første steg når en oppgave gir tettheten «proporsjonal med» noe: uten riktig $c$ blir alt du regner etterpå galt.

$$F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.$$

$F$ er voksende, $F(-\infty) = 0$ og $F(\infty) = 1$, og $F'(x) = f(x)$ der $f$ er kontinuerlig. Du regner sannsynligheter direkte fra $F$: $P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$ og $P(X > x) = 1 - F(x)$.

$$F(x) = \begin{cases} 0, & x < A \\ \text{(integralformel)}, & A \le x \le B \\ 1, & x > B \end{cases}$$

De to ytterdelene ($0$ under støtten, $1$ over) hører alltid med. Sjekk alltid at formelen gir $F(A) = 0$ og $F(B) = 1$ i endepunktene.

$$P(X > x) = 1 - F(x).$$

Kalles også halefunksjonen. For levetider er dette «sannsynligheten for å overleve forbi tid $x$», og den er ofte lettere å jobbe med enn $F$ selv (f.eks. for eksponensialfordelingen, der halen er en ren eksponentialfunksjon).

$$F(m) = \tfrac12.$$

Med sannsynlighet $\tfrac12$ lander $X$ under $m$ og med sannsynlighet $\tfrac12$ over. Merk: du løser en likning i $F$, ikke i tettheten $f$.

$$F(x_p) = p \quad\Leftrightarrow\quad x_p = F^{-1}(p).$$

Medianen er $0{,}5$-kvantilen. Uttrykt i prosent kalles $x_p$ også persentilen (90-persentilen er $x_{0{,}9}$). Funksjonen $F^{-1}$ som snur $F$ kalles kvantilfunksjonen.

De tre kvantilene som deler fordelingen i fire like deler: nedre kvartil $Q_1 = x_{0{,}25}$, medianen $Q_2 = x_{0{,}5}$ og øvre kvartil $Q_3 = x_{0{,}75}$. Avstanden $Q_3 - Q_1$ kalles interkvartilbredden og måler spredningen i de midtre 50 % av fordelingen.

$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.$$

Integralet tas over støtten (der $f > 0$). For et symmetrisk tetthetsområde faller $E(X)$ midt i symmetriaksen.

$$E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,f(x)\,dx.$$

Spesialtilfellet $g(x) = x^2$ gir andre moment $E(X^2)$, som du trenger til variansen.

$$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2, \qquad \text{SD}(X) = \sqrt{\text{Var}(X)}.$$

Regn $E(X)$ og $E(X^2)$ som to separate integraler og sett inn. Standardavviket $\text{SD}(X)$ har samme enhet som $X$ selv.

$$f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \le x \le b; \qquad F(x) = \frac{x-a}{b-a}, \quad a \le x \le b.$$

Forventning og varians:

$$E(X) = \frac{a+b}{2}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}.$$

Medianen er midtpunktet $\tfrac{a+b}{2}$ (fordelingen er symmetrisk).

$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \qquad F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \qquad P(X > x) = e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0.$$

Forventning og varians: $E(X) = 1/\lambda$, $\text{Var}(X) = 1/\lambda^2$. Rateformen brukes når oppgaven oppgir en rate (f.eks. «$\lambda = 3$ kunder per time»).

$$f(x) = \frac{1}{\mu}e^{-x/\mu}, \qquad F(x) = 1 - e^{-x/\mu}, \qquad P(X > x) = e^{-x/\mu}, \quad x \ge 0.$$

Her er $E(X) = \mu$ og $\text{Var}(X) = \mu^2$. Sammenhengen med rateformen: $\mu = 1/\lambda$. Brukes når oppgaven oppgir en gjennomsnittlig levetid (f.eks. «forventet levetid $\mu = 5$ år»).

$$m = \mu\ln 2 \approx 0{,}693\,\mu \qquad (\text{rateform: } m = \tfrac{\ln 2}{\lambda}).$$

Medianen er alltid mindre enn forventningen ($\ln 2 < 1$) — fordelingen er høyreskjev, med en lang hale mot store verdier som drar snittet opp.

$$P(X > s + t \mid X > t) = P(X > s).$$

I ord: gitt at variabelen alt har oversteget $t$, er sannsynligheten for å vare $s$ til akkurat som om den startet på nytt. Eksponensialfordelingen er den eneste kontinuerlige fordelingen med denne egenskapen — den svarer til konstant rate (ingen aldring/slitasje).

For en kontinuerlig $X$ er $f(x)$ en tetthet, ikke en sannsynlighet. Den kan være større enn 1, og $P(X = x) = 0$ for hver enkeltverdi. Bare arealer $\int_a^b f\,dx$ er sannsynligheter.

Sannsynligheten for at $X$ havner i et intervall er arealet under tetthetskurven over intervallet: $P(a < X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Fordelingsfunksjonen $F(x) = P(X \le x)$ starter på 0 (langt til venstre), vokser aldri nedover, og ender på 1 (langt til høyre). Utenfor støtten er den henholdsvis 0 og 1.

Funksjonen som snur $F$: gitt en andel $p$, gir $F^{-1}(p)$ verdien $x_p$ med $F(x_p) = p$. Den er råstoffet i inversjonsmetoden for simulering (kap. 7.1).

Er tettheten speilsymmetrisk om et punkt $c$, faller både median og forventning i $c$: $E(X) = m = c$. Uniform og normal er symmetriske.

En fordeling med en lang hale mot store verdier. Da er medianen mindre enn forventningen ($m < E(X)$), fordi halen drar snittet opp. Eksponensial og Pareto er høyreskjeve.

Verdien der tettheten $f(x)$ er størst — det mest «sannsynlige» området. For en eksponensialfordeling ligger modus i $x = 0$; for en symmetrisk fordeling faller modus sammen med median og forventning.

Avstanden $Q_3 - Q_1$ mellom øvre og nedre kvartil — spennet i de midtre 50 % av fordelingen. Et robust spredningsmål som ikke påvirkes av ekstreme haleverdier.

Ventetid med konstant rate. Rateform $f = \lambda e^{-\lambda x}$, $E = 1/\lambda$; forventningsform $f = \tfrac1\mu e^{-x/\mu}$, $E = \mu$. Median $= \mu\ln 2$, varians $= \mu^2$, hale $= e^{-x/\mu}$, minneløs.

Før du bruker en «navngitt» fordeling på STK1100-eksamen: sjekk hvilken parametrisering oppgaven bruker. Eksponensial kan være rate ($\lambda$) eller forventning ($\mu$); Weibull/gamma kan ha skala eller rate. Bruk oppgavens egen $f(x)$.

Konstant tetthet $\tfrac{1}{b-a}$ på $[a,b]$. $F(x) = \tfrac{x-a}{b-a}$, $E = \tfrac{a+b}{2}$, $\text{Var} = \tfrac{(b-a)^2}{12}$, median $= \tfrac{a+b}{2}$. Byggekloss for simulering.

Er hendelser Poisson-fordelt med rate $\lambda$ (kap. 1.3), er tiden $X$ mellom to hendelser eksponensialfordelt med samme rate $\lambda$: $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$. Minneløsheten svarer til at prosessen «starter på nytt» etter hver hendelse.

For en eksponensialfordeling er standardavviket lik forventningen: $\text{SD}(X) = \mu = E(X)$, så variasjonskoeffisienten $\text{SD}/E = 1$. Et raskt kjennetegn: er spredningen like stor som gjennomsnittet, er eksponensial en naturlig modell.