Tilbake
1.2
Alle fag for Høyskole

1.2 Stokastiske variable, forventning og varians

Punktsannsynlighet, tetthet og fordelingsfunksjon — og momentregnereglene for lineærkombinasjoner som står i 100 % av settene.

55 min
11 oppgaver
Stokastiske variableforventningvarians
Din fremgang i kapitlet
0 / 11 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger på sannsynlighetsfordelinger fra videregående: diskrete fordelinger og forventning fra S1 6.1 Diskrete sannsynlighetsfordelinger og S2 4.1 Sannsynlighetsfordelinger, og kontinuerlige fordelinger med tetthet og integral fra S2 4.6 Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.

Du bør kunne integrere et polynom (den kontinuerlige forventningen er et integral). Betinget sannsynlighet fra kap. 1.1 er nyttig, men ikke strengt nødvendig her. Fagord som kovarians og korrelasjon forklares der de innføres.

En stokastisk variabel er en tallverdi som avhenger av et tilfeldig utfall — antall defekte enheter i en batch, levetiden til en komponent, avkastningen på en aksje. Vi kan ikke forutsi den enkelte verdien, men vi kan beskrive den i gjennomsnitt (forventning) og hvor mye den svinger (varians). Disse to tallene, og reglene for hvordan de oppfører seg når vi kombinerer variabler, er verktøyene du bruker oftest på hele eksamen.

Kapitlet er fem læringsløkker: fra hva en stokastisk variabel er (diskret vs. kontinuerlig), via forventning og varians for én variabel, til regnereglene for lineærkombinasjoner og kovariansen som binder to variabler sammen. Hver løkke går teori → eksempel → øvingsoppgaver.

> 55-minutters kapittel med pausepunkter underveis.

Løkke 1 — Stokastiske variable: punktsannsynlighet, tetthet og fordelingsfunksjon (~12 min)

Vi skiller mellom to typer stokastiske variable. En diskret variabel tar tellbare verdier (0, 1, 2, …) — antall hendelser. En kontinuerlig variabel tar verdier i et intervall (alle reelle tall i et område) — en måling som tid, lengde eller konsentrasjon. De beskrives på hver sin måte, og en avgjørende forskjell dukker opp med en gang.

Stokastisk variabel

En størrelse XX som tilordner et tall til hvert utfall av et tilfeldig forsøk. Vi bruker stor bokstav (XX) for selve variabelen (det stokastiske, uforutsigbare) og liten bokstav (xx) for en konkret observert verdi. Dette skillet følges gjennom hele boka: P(X=x)P(X = x) betyr «sannsynligheten for at den stokastiske variabelen XX tar den bestemte verdien xx».

Punktsannsynlighet (diskret variabel)
For en diskret variabel angir punktsannsynligheten hvor stor sannsynlighet som ligger på hver enkelt verdi:

p(x)=P(X=x),∑xp(x)=1.p(x) = P(X = x), \qquad \sum_x p(x) = 1.

Alle punktsannsynlighetene er ikke-negative og summerer til 1. For en diskret variabel er p(x)p(x) en ekte sannsynlighet (et tall mellom 0 og 1).

Sannsynlighetstetthet (kontinuerlig variabel)
For en kontinuerlig variabel finnes det ingen punktsannsynlighet — i stedet en tetthet f(x)f(x) som integreres opp til sannsynligheter:

P(a<X≤b)=∫abf(x) dx,∫−∞∞f(x) dx=1.P(a < X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx, \qquad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.

Viktig: f(x)f(x) er ikke en sannsynlighet og kan godt være større enn 1 — det er arealet under kurven som er sannsynligheten. For en kontinuerlig XX er P(X=x)=0P(X = x) = 0 for enhver enkeltverdi xx (arealet over ett punkt er null).

Fordelingsfunksjon (kumulativ fordeling)
Fordelingsfunksjonen samler opp all sannsynlighet til og med xx:

F(x)=P(X≤x).F(x) = P(X \le x).

Den er voksende, går fra 0 (langt til venstre) til 1 (langt til høyre). For kontinuerlig XX er F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) og P(a<X≤b)=F(b)−F(a)P(a < X \le b) = F(b) - F(a). For diskret XX er FF en trappefunksjon. Fordelingsfunksjonen er broen til median og kvantiler (kap. 2.1).

✏️Eksempel 1: Diskret variabel — sannsynlighetsfordeling

Antall skadde enheter XX i en liten sending har fordelingen p(0)=0,1p(0) = 0{,}1, p(1)=0,3p(1) = 0{,}3, p(2)=0,4p(2) = 0{,}4, p(3)=0,2p(3) = 0{,}2. Kontroller at dette er en gyldig fordeling, og finn P(X≤1)P(X \le 1) og P(X≥2)P(X \ge 2).

Gyldig fordeling? Alle verdiene er ≥0\ge 0, og 0,1+0,3+0,4+0,2=1,00{,}1 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}2 = 1{,}0. Ja.

P(X≤1)=p(0)+p(1)=0,1+0,3=0,4.P(X \le 1) = p(0) + p(1) = 0{,}1 + 0{,}3 = 0{,}4.

P(X≥2)=p(2)+p(3)=0,4+0,2=0,6,eller 1−P(X≤1)=1−0,4=0,6.P(X \ge 2) = p(2) + p(3) = 0{,}4 + 0{,}2 = 0{,}6, \quad \text{eller } 1 - P(X \le 1) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6.

Her er F(1)=P(X≤1)=0,4F(1) = P(X \le 1) = 0{,}4 en verdi av fordelingsfunksjonen.

📝Oppgave 1

En kontinuerlig variabel XX har tetthet f(x)=12xf(x) = \tfrac{1}{2}x for 0≤x≤20 \le x \le 2 og f(x)=0f(x) = 0 ellers.

a) Forklar hvorfor f(1)=0,5f(1) = 0{,}5 og f(2)=1f(2) = 1 ikke er sannsynligheter.

b) Vis at tettheten er gyldig ved å regne ut ∫02f(x) dx\int_0^2 f(x)\,dx.

Løkke 2 — Forventning (~10 min)

Forventningen E(X)E(X) er tyngdepunktet i fordelingen — det langsiktige gjennomsnittet om vi gjentok forsøket uendelig mange ganger. Diskret vekter vi hver verdi med sannsynligheten; kontinuerlig bytter vi summen med et integral.
Forventning (diskret variabel)
Det sannsynlighetsvektede gjennomsnittet av alle mulige verdier:

E(X)=∑xx p(x).E(X) = \sum_x x\,p(x).

Hver verdi xx teller med vekt lik sin sannsynlighet p(x)p(x). Kalles også forventningsverdien eller middelverdien μ\mu.

Forventning (kontinuerlig variabel)
Samme idé med integral i stedet for sum:

E(X)=∫−∞∞x f(x) dx.E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.

Integralet tas over hele støtten (der f>0f > 0). Resultatet er tyngdepunktet i tetthetskurven.

Forventningen til en funksjon E[g(X)]E[g(X)]
For å finne forventningen til en omregnet størrelse g(X)g(X) trenger vi ikke fordelingen til g(X)g(X) — vi vekter g(x)g(x) med den opprinnelige fordelingen:

E[g(X)]=∑xg(x) p(x)(diskret),E[g(X)]=∫g(x) f(x) dx(kontinuerlig).E[g(X)] = \sum_x g(x)\,p(x) \quad \text{(diskret)}, \qquad E[g(X)] = \int g(x)\,f(x)\,dx \quad \text{(kontinuerlig)}.

Spesialtilfellet g(x)=x2g(x) = x^2 gir det andre momentet E(X2)E(X^2), som vi trenger til variansen. (For simultanfordelinger: E[g(X,Y)]=∬g fE[g(X,Y)] = \iint g\,f.)

✏️Eksempel 2: Forventning, diskret og kontinuerlig
(a) Finn E(X)E(X) for den diskrete variabelen i Eksempel 1. (b) Finn E(X)E(X) for den kontinuerlige tettheten f(x)=12xf(x) = \tfrac{1}{2}x på [0,2][0,2].
(a) E(X)=0⋅0,1+1⋅0,3+2⋅0,4+3⋅0,2=0+0,3+0,8+0,6=1,7E(X) = 0 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}4 + 3 \cdot 0{,}2 = 0 + 0{,}3 + 0{,}8 + 0{,}6 = 1{,}7.

(b) E(X)=∫02x⋅12x dx=12∫02x2 dx=12⋅x33∣02=12⋅83=43≈1,333\displaystyle E(X) = \int_0^2 x \cdot \tfrac{1}{2}x\,dx = \tfrac{1}{2}\int_0^2 x^2\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_0^2 = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{8}{3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}333.

Tyngdepunktet ligger til høyre for midten (1) fordi tettheten stiger mot x=2x = 2 — mer masse ligger til høyre.

📝Oppgave 2

En loddtrekning gir gevinst XX med p(0)=0,7p(0) = 0{,}7, p(50)=0,25p(50) = 0{,}25, p(500)=0,05p(500) = 0{,}05 (kroner).

a) Finn forventet gevinst E(X)E(X).

b) Et lodd koster 40 kr. Er spillet lønnsomt i det lange løp?

Løkke 3 — Varians og standardavvik (~11 min)

Forventningen sier hvor fordelingen ligger; variansen sier hvor mye den sprer seg. Den er forventet kvadrert avstand fra E(X)E(X). I praksis regner vi den nesten alltid med en snarvei — regneformelen — som bare krever E(X2)E(X^2) og E(X)E(X).

Varians
Forventet kvadrert avvik fra forventningen — et mål på spredning:

Var(X)=E[(X−E(X))2].\text{Var}(X) = E\big[(X - E(X))^2\big].

Store utslag fra midten (i begge retninger) teller tungt fordi avviket kvadreres. Variansen er alltid ≥0\ge 0, og er 0 bare hvis XX er konstant.

Regneformel for varians
Den praktiske formelen — nesten alltid raskest å bruke:

Var(X)=E(X2)−[E(X)]2.\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2.

Regn først E(X)E(X) og E(X2)=∑x2p(x)E(X^2) = \sum x^2 p(x) (eller ∫x2f dx\int x^2 f\,dx), og trekk kvadratet av forventningen fra det andre momentet. Sjekk alltid at svaret er ≥0\ge 0 — et negativt tall betyr regnefeil.

Standardavvik
Kvadratroten av variansen — spredning målt i samme enhet som XX selv:

SD(X)=σ=Var(X).\text{SD}(X) = \sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}.

Mens variansen er i «kvadrerte enheter» (f.eks. kr2^2), er standardavviket i kroner, timer eller meter, og er derfor lettere å tolke. Kalles også standardfeil når XX er en estimator (Del 5–6).

✏️Eksempel 3: Varians og standardavvik

Finn Var(X)\text{Var}(X) og standardavviket for den diskrete variabelen i Eksempel 1 (der E(X)=1,7E(X) = 1{,}7).

Først det andre momentet:
E(X2)=02⋅0,1+12⋅0,3+22⋅0,4+32⋅0,2=0+0,3+1,6+1,8=3,7.E(X^2) = 0^2 \cdot 0{,}1 + 1^2 \cdot 0{,}3 + 2^2 \cdot 0{,}4 + 3^2 \cdot 0{,}2 = 0 + 0{,}3 + 1{,}6 + 1{,}8 = 3{,}7.

Regneformelen:
Var(X)=E(X2)−[E(X)]2=3,7−(1,7)2=3,7−2,89=0,81.\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3{,}7 - (1{,}7)^2 = 3{,}7 - 2{,}89 = 0{,}81.

Standardavvik: σ=0,81=0,9\sigma = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9. Svaret er positivt — konsistent.

📝Oppgave 3

For den kontinuerlige tettheten f(x)=12xf(x) = \tfrac{1}{2}x på [0,2][0,2] (der E(X)=43E(X) = \tfrac{4}{3}):

a) Finn E(X2)E(X^2).

b) Finn Var(X)\text{Var}(X) og standardavviket.

Lineær transformasjon av én variabel
Forskyver og skalerer vi XX til aX+baX + b, endres forventning og varians slik:

E(aX+b)=aE(X)+b,Var(aX+b)=a2 Var(X).E(aX + b) = aE(X) + b, \qquad \text{Var}(aX + b) = a^2\,\text{Var}(X).

Konstantleddet bb flytter tyngdepunktet, men påvirker ikke spredningen (en forskyvning endrer ikke hvor spredt dataene er). Faktoren aa kvadreres i variansen — dette er kilden til de vanligste fortegns-/kvadratfeilene.

✏️Eksempel 4: Lineær omregning

En temperatur XX (i grader Celsius) har E(X)=20E(X) = 20 og Var(X)=9\text{Var}(X) = 9. Vi regner om til en indeks Y=5X+2Y = 5X + 2. Finn E(Y)E(Y) og Var(Y)\text{Var}(Y).

E(Y)=5E(X)+2=5⋅20+2=102.E(Y) = 5 E(X) + 2 = 5 \cdot 20 + 2 = 102.
Var(Y)=52 Var(X)=25⋅9=225.\text{Var}(Y) = 5^2\,\text{Var}(X) = 25 \cdot 9 = 225.

Standardavviket ganges bare med ∣a∣=5|a| = 5: fra 9=3\sqrt{9} = 3 til 225=15\sqrt{225} = 15. Konstantleddet +2+2 påvirker ikke spredningen.

📝Oppgave 4

En stokastisk variabel XX har E(X)=1,7E(X) = 1{,}7 og Var(X)=0,81\text{Var}(X) = 0{,}81. La Y=10X−3Y = 10X - 3.

a) Finn E(Y)E(Y).

b) Finn Var(Y)\text{Var}(Y) og SD(Y)\text{SD}(Y).

Løkke 4 — Lineærkombinasjoner av to variable (~12 min)

Nå kommer eksamenens arbeidshest: hva skjer med forventning og varians når vi kombinerer to variable, aX+bYaX + bY? Forventningen er alltid lineær — helt uten forbehold. Variansen har derimot et ekstra ledd som fanger opp hvordan de to variablene samvarierer: kovariansen. Dette leddet er det viktigste i hele kapitlet, og det oftest glemte.

Linearitet av forventning
Forventningen til en sum er summen av forventningene — uansett om variablene er avhengige eller ikke:

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y).E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y).

Dette gjelder alltid, uten noen antakelse om uavhengighet. Utvides direkte til flere ledd: E(a1X1+⋯+anXn)=∑aiE(Xi)E(a_1X_1 + \cdots + a_nX_n) = \sum a_i E(X_i).

Kovarians
Et mål på hvordan to variable svinger sammen — om høye XX-verdier følges av høye eller lave YY-verdier:

Cov(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))].\text{Cov}(X,Y) = E\big[(X - E(X))(Y - E(Y))\big].

Positiv kovarians: de går samme vei. Negativ: motsatt vei. Null: ingen lineær samvariasjon. Merk Cov(X,X)=Var(X)\text{Cov}(X,X) = \text{Var}(X).

Regneformel for kovarians
Den praktiske formelen, parallell til variansens regneformel:

Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y).\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y).

Regn E(XY)E(XY) (for diskret simultanfordeling: ∑x,yxy p(x,y)\sum_{x,y} xy\,p(x,y)), og trekk fra produktet av forventningene. Hvis Cov(X,Y)=0\text{Cov}(X,Y) = 0, sier vi at XX og YY er ukorrelerte.

Varians av en lineærkombinasjon
Her kommer kovariansleddet inn — hovedpoenget i kapitlet:

Var(aX+bY)=a2 Var(X)+b2 Var(Y)+2ab Cov(X,Y).\text{Var}(aX + bY) = a^2\,\text{Var}(X) + b^2\,\text{Var}(Y) + 2ab\,\text{Cov}(X,Y).

Hver koeffisient kvadreres i sitt eget ledd, og krysleddet 2ab Cov(X,Y)2ab\,\text{Cov}(X,Y) tar med samvariasjonen. Spesielt for differansen (a=1,b=−1a = 1, b = -1): Var(X−Y)=Var(X)+Var(Y)−2Cov(X,Y)\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) - 2\text{Cov}(X,Y) — variansene legges sammen, aldri trekkes fra.

✏️Eksempel 5: Lineærkombinasjon med kovarians

To variable har E(X)=4E(X) = 4, E(Y)=−1E(Y) = -1, Var(X)=2\text{Var}(X) = 2, Var(Y)=3\text{Var}(Y) = 3 og Cov(X,Y)=−0,5\text{Cov}(X,Y) = -0{,}5. Finn E(3X−2Y)E(3X - 2Y) og Var(3X−2Y)\text{Var}(3X - 2Y).

Forventning (alltid lineær):
E(3X−2Y)=3E(X)−2E(Y)=3⋅4−2⋅(−1)=12+2=14.E(3X - 2Y) = 3E(X) - 2E(Y) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot (-1) = 12 + 2 = 14.

Varians med a=3a = 3, b=−2b = -2:
Var(3X−2Y)=32Var(X)+(−2)2Var(Y)+2⋅3⋅(−2) Cov(X,Y)\text{Var}(3X - 2Y) = 3^2\text{Var}(X) + (-2)^2\text{Var}(Y) + 2 \cdot 3 \cdot (-2)\,\text{Cov}(X,Y)
=9⋅2+4⋅3+(−12)⋅(−0,5)=18+12+6=36.= 9 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + (-12)\cdot(-0{,}5) = 18 + 12 + 6 = 36.

Legg merke til at krysleddet ble positivt her (−12⋅−0,5=+6-12 \cdot -0{,}5 = +6) fordi både koeffisientfortegnet og kovariansen var negative.

📝Oppgave 5

To aksjer har avkastning XX og YY med E(X)=6E(X) = 6, E(Y)=10E(Y) = 10, Var(X)=4\text{Var}(X) = 4, Var(Y)=25\text{Var}(Y) = 25 og Cov(X,Y)=−2\text{Cov}(X,Y) = -2. En portefølje har halvparten i hver: P=0,5X+0,5YP = 0{,}5X + 0{,}5Y.

a) Finn forventet avkastning E(P)E(P).

b) Finn Var(P)\text{Var}(P) og standardavviket.

c) Sammenlign SD(P)\text{SD}(P) med gjennomsnittet av de to aksjenes standardavvik, og forklar.

📝Oppgave 6
XX og YY har Var(X)=2\text{Var}(X) = 2, Var(Y)=3\text{Var}(Y) = 3 og Cov(X,Y)=−0,5\text{Cov}(X,Y) = -0{,}5.

a) Finn Var(X+Y)\text{Var}(X + Y).

b) Finn Var(X−Y)\text{Var}(X - Y).

c) En student skriver «Var(X−Y)=Var(X)−Var(Y)=−1\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) - \text{Var}(Y) = -1». Forklar hva som er feil.

Løkke 5 — Korrelasjon, og uavhengig vs. ukorrelert (~10 min)

Kovariansen har en svakhet: verdien avhenger av enhetene (kroner, meter …), så man kan ikke lese styrken direkte av tallet. Korrelasjonskoeffisienten normaliserer kovariansen til et tall mellom −1-1 og 11. Til slutt rydder vi en klassisk misforståelse: forholdet mellom uavhengig og ukorrelert.

Korrelasjonskoeffisienten
Kovariansen skalert til å ligge mellom −1-1 og 11, uavhengig av måleenhet:

ρ=Cov(X,Y)Var(X) Var(Y),−1≤ρ≤1.\rho = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\,\text{Var}(Y)}}, \qquad -1 \le \rho \le 1.

ρ=±1\rho = \pm 1 betyr perfekt lineær sammenheng; ρ=0\rho = 0 betyr ingen lineær sammenheng. Fortegnet til ρ\rho er alltid det samme som fortegnet til kovariansen.

Uavhengige stokastiske variable
XX og YY er uavhengige dersom simultanfordelingen faktoriserer i marginalene:

p(x,y)=pX(x) pY(y)(diskret),f(x,y)=fX(x) fY(y)(kontinuerlig)p(x,y) = p_X(x)\,p_Y(y) \quad \text{(diskret)}, \qquad f(x,y) = f_X(x)\,f_Y(y) \quad \text{(kontinuerlig)}

for alle (x,y)(x,y). Da er kunnskap om den ene uten betydning for den andre. Uavhengighet er en sterk egenskap; den drilles i kap. 3.2.

Ukorrelerte variable — og forholdet til uavhengighet
XX og YY er ukorrelerte dersom Cov(X,Y)=0\text{Cov}(X,Y) = 0 (ekvivalent ρ=0\rho = 0). Sammenhengen med uavhengighet går bare én vei:

uavhengige  ⟹  ukorrelerte,men IKKE omvendt.\text{uavhengige} \;\Longrightarrow\; \text{ukorrelerte}, \qquad \text{men IKKE omvendt.}

Uavhengige variable har alltid kovarians 0. Men to variable kan være ukorrelerte og likevel avhengige (kovariansen fanger bare lineær samvariasjon). Ved uavhengighet forsvinner krysleddet, så Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y)\text{Var}(X \pm Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y).

✏️Eksempel 6: Kovarians og korrelasjon fra en simultanfordeling
XX og YY er begge 0 eller 1, med simultanfordeling p(0,0)=0,3p(0,0) = 0{,}3, p(0,1)=0,2p(0,1) = 0{,}2, p(1,0)=0,1p(1,0) = 0{,}1, p(1,1)=0,4p(1,1) = 0{,}4. Finn Cov(X,Y)\text{Cov}(X,Y) og ρ\rho.
Marginaler: P(X=1)=p(1,0)+p(1,1)=0,5P(X = 1) = p(1,0) + p(1,1) = 0{,}5, så E(X)=0,5E(X) = 0{,}5. P(Y=1)=p(0,1)+p(1,1)=0,6P(Y = 1) = p(0,1) + p(1,1) = 0{,}6, så E(Y)=0,6E(Y) = 0{,}6.

Produktmoment: XY=1XY = 1 bare når begge er 1, så E(XY)=1⋅p(1,1)=0,4E(XY) = 1 \cdot p(1,1) = 0{,}4.

Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0,4−0,5⋅0,6=0,4−0,3=0,1.\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0{,}4 - 0{,}5 \cdot 0{,}6 = 0{,}4 - 0{,}3 = 0{,}1.

Varianser: E(X2)=P(X=1)=0,5E(X^2) = P(X=1) = 0{,}5, så Var(X)=0,5−0,25=0,25\text{Var}(X) = 0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25. Tilsvarende Var(Y)=0,6−0,36=0,24\text{Var}(Y) = 0{,}6 - 0{,}36 = 0{,}24.

ρ=0,10,25⋅0,24=0,10,06≈0,10,245≈0,408.\rho = \frac{0{,}1}{\sqrt{0{,}25 \cdot 0{,}24}} = \frac{0{,}1}{\sqrt{0{,}06}} \approx \frac{0{,}1}{0{,}245} \approx 0{,}408.

Svak til moderat positiv samvariasjon: XX og YY er avhengige (produktet pXpYp_X p_Y treffer ikke tabellen).

📝Oppgave 7

En variabel XX har symmetrisk fordeling om 0 med p(−1)=p(1)=0,25p(-1) = p(1) = 0{,}25 og p(0)=0,5p(0) = 0{,}5. La Y=X2Y = X^2.

a) Finn E(X)E(X), E(Y)E(Y) og E(XY)E(XY).

b) Vis at Cov(X,Y)=0\text{Cov}(X,Y) = 0, altså at XX og YY er ukorrelerte.

c) Er XX og YY uavhengige? Begrunn.

Begrepsbank

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget på 55 minutter gjelder kjernestoffet over. Begrepene under er allerede brukt i kapitlet og samles her for repetisjon.

Andre moment E(X2)E(X^2)
Forventningen til den kvadrerte variabelen:

E(X2)=∑xx2p(x)eller∫x2f(x) dx.E(X^2) = \sum_x x^2 p(x) \quad \text{eller} \quad \int x^2 f(x)\,dx.

Byggeklossen i variansens regneformel Var(X)=E(X2)−[E(X)]2\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2. Merk at E(X2)≥[E(X)]2E(X^2) \ge [E(X)]^2 alltid (siden variansen er ≥0\ge 0).

Varians av sum ved uavhengighet
Når XX og YY er uavhengige (eller bare ukorrelerte), forsvinner kovariansleddet, og for både sum og differanse:

Var(X+Y)=Var(X−Y)=Var(X)+Var(Y).\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y).

Grunnlaget for at variansen til et gjennomsnitt av nn uavhengige variable blir σ2/n\sigma^2/n (brukes i estimering, Del 5–6).

Symmetri og selv-kovarians
Kovariansen er symmetrisk og reduseres til variansen på diagonalen:

Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)=Var(X).\text{Cov}(X,Y) = \text{Cov}(Y,X), \qquad \text{Cov}(X,X) = \text{Var}(X).

Dette gjør at variansen av en sum kan skrives kompakt med kovarianser: Var(X+Y)=Cov(X+Y,X+Y)\text{Var}(X+Y) = \text{Cov}(X+Y, X+Y).

Skalering av kovarians (bilinearitet)
Konstanter kan trekkes ut av kovariansen, og konstantledd forsvinner:

Cov(aX+b,  cY+d)=ac Cov(X,Y).\text{Cov}(aX + b,\; cY + d) = ac\,\text{Cov}(X,Y).

Bare skaleringsfaktorene aa og cc overlever; forskyvningene bb og dd påvirker ikke samvariasjonen. Mer generelt er kovariansen lineær i hvert argument (bilinær).

Egenskaper ved fordelingsfunksjonen
Fordelingsfunksjonen F(x)=P(X≤x)F(x) = P(X \le x) har alltid:

F er voksende,lim⁡x→−∞F(x)=0,lim⁡x→∞F(x)=1.F \text{ er voksende}, \qquad \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \qquad \lim_{x \to \infty} F(x) = 1.

Sannsynligheten for et intervall leses direkte: P(a<X≤b)=F(b)−F(a)P(a < X \le b) = F(b) - F(a). For kontinuerlig XX er FF kontinuerlig med F′=fF' = f; for diskret XX er FF en trappefunksjon med hopp i hvert punkt.

Standardisering
Å trekke fra forventningen og dele på standardavviket gir en variabel med forventning 0 og varians 1:

Z=X−E(X)SD(X),E(Z)=0,Var(Z)=1.Z = \frac{X - E(X)}{\text{SD}(X)}, \qquad E(Z) = 0, \quad \text{Var}(Z) = 1.

Dette er en lineær transformasjon (a=1/σa = 1/\sigma, b=−μ/σb = -\mu/\sigma) og er grunnlaget for normaltabellen (kap. 2.1) og for standardfeil i estimering.

Linearitet for flere variable
Forventning og varians for en sum av mange variable:

E(∑iaiXi)=∑iaiE(Xi),E\Big(\sum_i a_i X_i\Big) = \sum_i a_i E(X_i),
Var(∑iaiXi)=∑iai2Var(Xi)+2∑i<jaiajCov(Xi,Xj).\text{Var}\Big(\sum_i a_i X_i\Big) = \sum_i a_i^2 \text{Var}(X_i) + 2\sum_{i<j} a_i a_j \text{Cov}(X_i, X_j).

Forventningen er alltid enkel; variansen får ett krysledd for hvert par. Er alle parvis ukorrelerte, faller alle krysleddene bort.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.