Tilbake
3.2
Alle fag for Høyskole

3.2 Drill: uavhengighet ved faktorisering (eget drillmål)

Bevis (eller motbevis) uavhengighet ved å sjekke f(x,y)=f_X(x)·f_Y(y) for ALLE (x,y) — inkludert null-området sensor alltid ser etter.

70 min
11 oppgaver
Drilluavhengighet ved faktorisering (eget drillmål)
Din fremgang i kapitlet
0 / 11 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Alt her bygger på kap. 3.1 Simultantetthet — spesielt marginaltettheten fX(x)=∫f(x,y) dyf_X(x) = \int f(x,y)\,dy og begrepet støtte (området der f>0f > 0). Fra kap. 1.2 trenger du kovarians Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) til den siste nyansen (ukorrelert vs. uavhengig).

Sist du var her — de to nøkkelformlene du bruker hele veien:

fX(x)=∫f(x,y) dy,fY(y)=∫f(x,y) dx(marginaltetthetene).f_X(x) = \int f(x,y)\,dy, \qquad f_Y(y) = \int f(x,y)\,dx \quad \text{(marginaltetthetene)}.

Løsningsoppskrift: er XX og YY uavhengige?

Følg de fire trinnene hver gang — de gir sensorpoengene i riktig rekkefølge:

1. Finn begge marginaltetthetene fX(x)f_X(x) og fY(y)f_Y(y) (integrer ut den andre variabelen). Skriv hver med sin gyldige støtte.
2. Dann produktet fX(x) fY(y)f_X(x)\,f_Y(y).
3. Sammenlign med f(x,y)f(x,y) på HELE planet — også der én eller begge er 0. To ting kan avsløre avhengighet:
- Formen: f(x,y)≠fX(x) fY(y)f(x,y) \ne f_X(x)\,f_Y(y) et sted der begge er positive.
- Støtten: er støtten til ff ikke et produktområde (ikke et rektangel med akseparallelle sider), er XX og YY automatisk avhengige — uansett hvordan formelen ser ut. Da finnes det et punkt der f=0f = 0 men fX fY>0f_X\,f_Y > 0 (i null-området).
4. Konkluder med begrunnelse. Uavhengig: «f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) for alle (x,y)(x,y)». Avhengig: pek på ett moteksempel-punkt (gjerne i null-området) eller på at støtten ikke er et rektangel.

Snarvei (bruk den, men skriv begrunnelsen): Er støtten en trekant, en disk eller på annen måte «skrå», er svaret avhengig før du regner. Er støtten et rektangel, må du sjekke formen med trinn 1–3.

Diskret variant (tabell): samme idé — p(x,y)=pX(x) pY(y)p(x,y) = p_X(x)\,p_Y(y) må gjelde for hver celle. Én 0-celle der begge marginaler er positive motbeviser uavhengighet umiddelbart.

✏️Gjennomregnet eksamenscase: trekantstøtte
(X,Y)(X,Y) har simultantetthet f(x,y)=8xyf(x,y) = 8xy på trekanten 0<x<y<10 < x < y < 1, og 0 ellers. Avgjør med full begrunnelse om XX og YY er uavhengige — og forklar hvorfor svaret ikke kan leses av produktformen 8xy8xy alene.
Trinn 1 — marginaltetthetene. Tegn støtten først (se figur under): for en fast xx går yy fra xx til 1; for en fast yy går xx fra 0 til yy.

fX(x)=∫x18xy dy=8x[y22]x1=4x(1−x2),0<x<1.f_X(x) = \int_x^1 8xy\,dy = 8x\Big[\tfrac{y^2}{2}\Big]_x^1 = 4x(1 - x^2), \qquad 0 < x < 1.

fY(y)=∫0y8xy dx=8y[x22]0y=4y3,0<y<1.f_Y(y) = \int_0^y 8xy\,dx = 8y\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^y = 4y^3, \qquad 0 < y < 1.

(Sensormerknad: riktige grenser — yy fra xx til 1, ikke fra 0 til 1 — gir poenget her. De følger av skissen.)

Trinn 2 — produktet. fX(x) fY(y)=4x(1−x2)⋅4y3=16 x y3(1−x2).f_X(x)\,f_Y(y) = 4x(1 - x^2)\cdot 4y^3 = 16\,x\,y^3(1 - x^2).

Trinn 3 — sammenlign på hele planet. Produktet 16xy3(1−x2)16xy^3(1-x^2) er ikke engang lik 8xy8xy på trekanten, men det avgjørende poenget ligger i null-området: velg et punkt der x>yx > y, for eksempel (x,y)=(0,8, 0,3)(x,y) = (0{,}8,\,0{,}3). Der er f(0,8,0,3)=0f(0{,}8, 0{,}3) = 0 (utenfor støtten), mens fX(0,8)>0f_X(0{,}8) > 0 og fY(0,3)>0f_Y(0{,}3) > 0, så fX fY>0f_X\,f_Y > 0. Altså f≠fXfYf \ne f_X f_Y i dette punktet.

(Sensormerknad: det er akkurat dette null-området sensor ser etter. Ett slikt moteksempel er nok.)

Trinn 4 — konklusjon. XX og YY er avhengige. Grunnen er at støtten {0<x<y<1}\{0 < x < y < 1\} er en trekant, ikke et rektangel: kjennskap til X=xX = x begrenser YY til intervallet (x,1)(x, 1), så YY sin fordeling endrer seg med xx.

Hvorfor produktformen lurer deg: 8xy=8x⋅y8xy = 8x\cdot y ser ut som «funksjon av xx» ganger «funksjon av yy». Men faktoriseringskriteriet krever likhet på hele planet, inkludert null-området — og der bryter det sammen. Produktformen alene sier ingenting så lenge støtten ikke er et rektangel.

✏️Kontrasteksempel: produktstøtte gir uavhengighet
(X,Y)(X,Y) har tetthet f(x,y)=4xyf(x,y) = 4xy på enhetskvadratet 0<x<10 < x < 1, 0<y<10 < y < 1, og 0 ellers. Er XX og YY uavhengige?
Marginaler: fX(x)=∫014xy dy=4x⋅12=2xf_X(x) = \int_0^1 4xy\,dy = 4x\cdot\tfrac12 = 2x (0<x<10<x<1), og tilsvarende fY(y)=2yf_Y(y) = 2y (0<y<10<y<1).

Produkt: fX(x) fY(y)=2x⋅2y=4xyf_X(x)\,f_Y(y) = 2x\cdot 2y = 4xy.

Sammenlign på hele planet: På enhetskvadratet er fXfY=4xy=f(x,y)f_X f_Y = 4xy = f(x,y). Utenfor er begge sider 0 (støtten er rektangelet (0,1)×(0,1)(0,1)\times(0,1) — et produktområde), så likheten holder også der.

Konklusjon: f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) for alle (x,y)(x,y), så XX og YY er uavhengige. Her lurer ikke produktformen: både formen og støtten er et produkt.

Øvingsoppgaver — bland variantene

Tidsanslag: ca. 40 min for alle elleve. Ta gjerne pause etter oppgave 6 — de fire siste er de tyngste.

📝Oppgave 1
f(x,y)=4xyf(x,y) = 4xy er allerede vist uavhengig over. La nå f(x,y)=6xy2f(x,y) = 6xy^2 på enhetskvadratet 0<x<10 < x < 1, 0<y<10 < y < 1. Avgjør om XX og YY er uavhengige.
📝Oppgave 2
XX og YY har simultantetthet f(x,y)=e−(x+y)f(x,y) = e^{-(x+y)} på x>0x > 0, y>0y > 0, og 0 ellers. (Dette er to eksponensialfordelinger i rate-parametrisering med rate 1, λ=1\lambda = 1.) Er de uavhengige?
📝Oppgave 3

Er variablene uavhengige når f(x,y)=14f(x,y) = \tfrac{1}{4} på rektangelet 0<x<20 < x < 2, 0<y<20 < y < 2 (uniform), og 0 ellers?

📝Oppgave 4
f(x,y)=x+yf(x,y) = x + y på enhetskvadratet 0<x<10 < x < 1, 0<y<10 < y < 1. Støtten er et rektangel. Er XX og YY uavhengige?
📝Oppgave 5
(X,Y)(X,Y) er uniform på trekanten 0<x<y<10 < x < y < 1, altså f(x,y)=2f(x,y) = 2 der, og 0 ellers. Avgjør om XX og YY er uavhengige.
📝Oppgave 6
f(x,y)=6xf(x,y) = 6x på trekanten 0<x<y<10 < x < y < 1, og 0 ellers.

a) Vis at ∬f=1\iint f = 1.
b) Avgjør om XX og YY er uavhengige.

📝Oppgave 7
(X,Y)(X,Y) har diskret simultanfordeling:

p(x,y)p(x,y)Y=0Y=0Y=1Y=1Y=2Y=2
X=0X=00,080{,}080,200{,}200,120{,}12
X=1X=10,120{,}120,300{,}300,180{,}18

Avgjør om XX og YY er uavhengige.
📝Oppgave 8
(X,Y)(X,Y) har tabellen:

p(x,y)p(x,y)Y=0Y=0Y=1Y=1Y=2Y=2
X=0X=00,250{,}250,250{,}2500
X=1X=1000,250{,}250,250{,}25

Avgjør om XX og YY er uavhengige, og begrunn med det diskrete null-området.
📝Oppgave 9
(X,Y)(X,Y) har tabellen (ingen nullceller):

p(x,y)p(x,y)Y=0Y=0Y=1Y=1
X=0X=00,100{,}100,400{,}40
X=1X=10,300{,}300,200{,}20

Avgjør om XX og YY er uavhengige.
📝Oppgave 10

La XX ta verdiene −1,0,1-1, 0, 1 med sannsynlighet 13\tfrac13 hver, og sett Y=X2Y = X^2.

a) Vis at Cov(X,Y)=0\text{Cov}(X,Y) = 0 (altså at XX og YY er ukorrelerte).
b) Vis at XX og YY likevel er avhengige.

📝Oppgave 11

Et vanlig feilresonnement lyder: «f(x,y)=8xyf(x,y) = 8xy på 0<x<y<10 < x < y < 1 faktoriserer som 8x⋅y8x\cdot y, altså er XX og YY uavhengige.» Motbevis påstanden presist, og forklar hvor resonnementet svikter.

Oppskrifts- og formelkort

Flashcard-stoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Kortene destillerer sjekken til korte regler du kan pugge.

Faktoriseringskriteriet (kontinuerlig)
Hovedregelen for uavhengighet: fordelingen til den ene endres ikke av den andre. Formelt er XX og YY uavhengige hviss simultantettheten faktoriserer,

f(x,y)=fX(x) fY(y)for ALLE (x,y),f(x,y) = f_X(x)\,f_Y(y) \quad \text{for ALLE } (x,y),

med de ekte marginaltetthetene. «For alle» inkluderer null-området.

Støttekriteriet (snarveien)

En rask forhåndssjekk på støtten alene. Er støtten til ff ikke et produktområde (ikke et akseparallelt rektangel) — for eksempel en trekant, en disk eller et skrått bånd — er XX og YY automatisk avhengige. Er støtten et rektangel, må du i tillegg sjekke formen f=fXfYf = f_X f_Y.

Produktområde

Et område der xx- og yy-grensene er uavhengige av hverandre — et rektangel {a<x<b, c<y<d}\{a<x<b,\ c<y<d\} (eventuelt uendelig, som første kvadrant). Uavhengige variable må ha en slik støtte. Kjennetegn: den ene variabelens mulige verdier avhenger ikke av den andres verdi.

Null-området

Området der tettheten er 0, altså utenfor støtten. Det er her uavhengighet oftest brytes: finnes det ett punkt med f(x,y)=0f(x,y) = 0 mens fX(x) fY(y)>0f_X(x)\,f_Y(y) > 0, er variablene avhengige. Sensor leter alltid etter et slikt moteksempel — så nevn det eksplisitt.

Faktoriseringskriteriet (diskret)

Tabellversjonen: XX og YY er uavhengige hviss p(x,y)=pX(x) pY(y)p(x,y) = p_X(x)\,p_Y(y) for hver celle (x,y)(x,y). Hvor pXp_X er radsummene og pYp_Y kolonnesummene. Én celle som bryter likheten er nok til å motbevise.

0-celle-regelen (diskret)

En rask motbevis-regel for tabeller: er det en celle med p(x,y)=0p(x,y) = 0 mens både radsummen pX(x)p_X(x) og kolonnesummen pY(y)p_Y(y) er positive, er XX og YY avhengige — umiddelbart, uten å sjekke resten. Den diskrete parallellen til null-området.

Ukorrelert

To variable er ukorrelerte når kovariansen er null: Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0. Dette måler fravær av lineær samvariasjon — ikke fravær av all avhengighet.

Uavhengig medfører ukorrelert

Er XX og YY uavhengige, så er E(XY)=E(X)E(Y)E(XY) = E(X)E(Y), og dermed Cov(X,Y)=0\text{Cov}(X,Y) = 0: de er også ukorrelerte. Denne retningen holder alltid — uavhengighet er den sterkere egenskapen.

Ukorrelert medfører IKKE uavhengig

Den omvendte veien svikter: Cov(X,Y)=0\text{Cov}(X,Y) = 0 betyr ikke at XX og YY er uavhengige. Standard moteksempel: X∈{−1,0,1}X \in \{-1,0,1\} likt fordelt og Y=X2Y = X^2 gir Cov=0\text{Cov} = 0, men YY er fullstendig bestemt av XX. Ukorrelert er svakere enn uavhengig.

Faktoriseringstrikset — og fella

Ser tettheten ut som f(x,y)=g(x) h(y)f(x,y) = g(x)\,h(y) på en rektangulær støtte, er XX og YY uavhengige (marginalene blir proporsjonale med gg og hh). Men gjelder produktformen bare på en skrå støtte (trekant/disk), er variablene avhengige uansett — fella er å bruke trikset uten å sjekke at støtten er et rektangel.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.