6.1 Diskrete sannsynlighetsfordelinger | Matematikk S1

Forventningsverdi og standardavvik for diskrete fordelinger.

55 min

21 oppgaver

SannsynlighetsfordelingForventningsverdiVariansStandardavvik

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

6.2Binomisk fordeling 6.5Hypergeometrisk fordeling

Stokastiske variabler

Når vi kaster en terning, trekker et kort eller måler noe tilfeldig, kan vi beskrive utfallet med en stokastisk variabel. En stokastisk variabel er en variabel som kan ta ulike verdier, der hver verdi har en bestemt sannsynlighet.

Vi bruker store bokstaver (som $X$ , $Y$ , $Z$ ) for stokastiske variabler og små bokstaver ( $x$ , $y$ , $z$ ) for de konkrete verdiene de kan ta.

Eksempler:
- $X$ = antall øyne ved kast av én terning. Mulige verdier: $1, 2, 3, 4, 5, 6$
- $Y$ = antall kron ved tre myntkast. Mulige verdier: $0, 1, 2, 3$
- $Z$ = antall rette svar på en prøve med 10 spørsmål

Stokastisk variabel

X

Sannsynlighetsfordeling

En sannsynlighetsfordeling viser alle verdiene en stokastisk variabel kan ta, sammen med sannsynligheten for hver verdi.

For en diskret stokastisk variabel $X$ som kan ta verdiene $x_1, x_2, \ldots, x_n$ , setter vi opp en tabell:

$x$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$P(X = x)$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

Krav til sannsynlighetsfordeling:
1.

0 \leq P(X = x_i) \leq 1

for alle

i

2. $\sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1$ (summen av alle sannsynlighetene er 1)

✏️Eksempel 1: Sannsynlighetsfordeling for to terninger

La $X$ være summen av øynene ved kast av to terninger. Sett opp sannsynlighetsfordelingen til $X$ .

Løsning:

$X$ kan ta verdiene $2, 3, 4, \ldots, 12$ .

Vi teller antall gunstige utfall for hver sum (totalt $6 \times 6 = 36$ utfall):

$x$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Antall	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
$P(X=x)$	$\displaystyle \frac{1}{36}$	$\displaystyle \frac{2}{36}$	$\displaystyle \frac{3}{36}$	$\displaystyle \frac{4}{36}$	$\displaystyle \frac{5}{36}$	$\displaystyle \frac{6}{36}$	$\displaystyle \frac{5}{36}$	$\displaystyle \frac{4}{36}$	$\displaystyle \frac{3}{36}$	$\displaystyle \frac{2}{36}$	$\displaystyle \frac{1}{36}$

Kontroll:

\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{36}{36} = 1

✓

Forventningsverdi

Forventningsverdien (eller forventet verdi) til en stokastisk variabel $X$ er det vektede gjennomsnittet av verdiene, der hver verdi vektes med sin sannsynlighet. Forventningsverdien angir hva vi «forventer» å få i gjennomsnitt over mange forsøk.

Forventningsverdi

X

✏️Eksempel 2: Forventningsverdi

En stokastisk variabel $X$ har følgende sannsynlighetsfordeling:

$x$	1	2	3	4
$P(X=x)$	0,1	0,3	0,4	0,2

Finn forventningsverdien

E(X)

Løsning:

$E(X) = 1 \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}3 + 3 \cdot 0{,}4 + 4 \cdot 0{,}2$
$= 0{,}1 + 0{,}6 + 1{,}2 + 0{,}8 = 2{,}7$

Forventningsverdien er $E(X) = 2{,}7$ .

Tolkning: Over mange forsøk vil gjennomsnittsverdien nærme seg $2{,}7$ .

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

En stokastisk variabel $X$ har verdiene $0, 1, 2$ med $P(X=0) = 0{,}2$ , $P(X=1) = 0{,}5$ og $P(X=2) = 0{,}3$ . Finn $E(X)$ .

Kontroller at summen av sannsynlighetene er 1.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Ved kast av en rettferdig terning, la $X$ være antall øyne. Finn $E(X)$ .

📝Oppgave 3

Et lotteri har 100 lodd. Hovedgevinsten er 500 kr (1 lodd), det er 4 gevinster på 100 kr og 10 gevinster på 50 kr. Resten er nitenlodd. Hvert lodd koster 20 kr. La $X$ være gevinsten. Finn forventningsverdien $E(X)$ og avgjør om lotteriet er «lønnsomt» for spilleren.

📝Oppgave 4

La $X$ være antall kron ved tre myntkast med en rettferdig mynt. Sett opp sannsynlighetsfordelingen til $X$ og finn $E(X)$ .

Varians og standardavvik

Forventningsverdien forteller oss hvor «senteret» av fordelingen ligger. Men vi trenger også et mål på hvor mye verdiene sprer seg rundt forventningsverdien.

Variansen måler gjennomsnittlig kvadratisk avstand fra forventningsverdien. Standardavviket er kvadratroten av variansen og har samme enhet som $X$ .

Varians og standardavvik

X

✏️Eksempel 3: Beregning av varians og standardavvik

Bruk sannsynlighetsfordelingen fra eksempel 2:

$x$	1	2	3	4
$P(X=x)$	0,1	0,3	0,4	0,2

Vi fant

E(X) = 2{,}7

. Finn

\text{Var}(X)

\sigma

Løsning med alternativ formel:

Steg 1: Finn $E(X^2)$ :
$E(X^2) = 1^2 \cdot 0{,}1 + 2^2 \cdot 0{,}3 + 3^2 \cdot 0{,}4 + 4^2 \cdot 0{,}2$
$= 0{,}1 + 1{,}2 + 3{,}6 + 3{,}2 = 8{,}1$

Steg 2: Beregn variansen:
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 8{,}1 - 2{,}7^2 = 8{,}1 - 7{,}29 = 0{,}81$

Steg 3: Beregn standardavviket:
$\sigma = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9$

Standardavviket er $\sigma = 0{,}9$ .

Standardavviket forteller oss hvor mye verdiene til

X

typisk avviker fra forventningsverdien.

- Lite standardavvik → verdiene ligger tett rundt $\mu$
- Stort standardavvik → verdiene er spredt langt fra $\mu$

Standardavviket har samme enhet som den stokastiske variabelen, noe som gjør det lettere å tolke enn variansen.

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Finn $\text{Var}(X)$ og $\sigma$ for en rettferdig terning ( $X$ = antall øyne).

Hva betyr dette standardavviket i praksis?

📝Oppgave 6

En stokastisk variabel $X$ har fordelingen:

$x$	0	1	2	3
$P(X=x)$	0,1	0,2	$k$	0,3

Finn verdien av

k

, og beregn

E(X)

\text{Var}(X)

\sigma

📝Oppgave 7

En bedrift har følgende fordeling av antall feil ( $X$ ) per produksjonsserie:

$x$	0	1	2	3	4
$P(X=x)$	0,40	0,30	0,15	0,10	0,05

Finn forventet antall feil og standardavviket.

Uniform fordeling

En spesielt enkel sannsynlighetsfordeling er den uniforme fordelingen, der alle verdier har lik sannsynlighet.

Diskret uniform fordeling

X

📝Oppgave 8

X

er uniformt fordelt over

\{1, 2, 3, 4, 5\}

. Finn

E(X)

\text{Var}(X)

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

La $X$ ha fordelingen $P(X = -1) = 0{,}25$ , $P(X = 0) = 0{,}50$ , $P(X = 1) = 0{,}25$ . Finn $E(X)$ .

Finn $\text{Var}(X)$ og $\sigma$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

I et spill koster det 10 kr å delta. Du kaster to mynter. Får du to kron, vinner du 30 kr. Får du én kron, vinner du 10 kr. Får du null kron, vinner du ingenting. La $X$ være nettogevinsten. Finn $E(X)$ og avgjør om spillet er rettferdig.

📝Oppgave 11

Vis at $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ ved å starte med definisjonen $\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2]$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En forsikring koster 2000 kr per år. Sannsynligheten for skade er 5 %, og forsikringen dekker 50 000 kr ved skade. La $X$ være forsikringsselskapets fortjeneste per kunde. Finn $E(X)$ .

Hva bør premien minst være for at selskapet ikke taper penger i gjennomsnitt?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Sammenlign to investeringer:

Investering A: $P(X_A = 100) = 0{,}5$ , $P(X_A = 200) = 0{,}5$

Investering B: $P(X_B = 0) = 0{,}5$ , $P(X_B = 300) = 0{,}5$

Finn $E(X)$ , $\text{Var}(X)$ og $\sigma$ for begge og diskuter hvilken som er best.

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

Vis at dersom $Y = aX + b$ , så er $E(Y) = aE(X) + b$ .

Vis at $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$ .

📝Oppgave 15

En skole har en test med 5 flervalgsspørsmål, hvert med 4 alternativer (ett riktig). En elev gjetter tilfeldig på alle. La $X$ = antall riktige. Sett opp sannsynlighetsfordelingen (bruk binomisk modell), og finn $E(X)$ og $\sigma$ .

📝Oppgave 16

En butikk registrerer antall kunder per time ( $X$ ):

$x$	0	1	2	3	4	5
$P(X=x)$	0,05	0,10	0,25	0,30	0,20	0,10

Butikken trenger minst 3 kunder per time for å dekke driftskostnadene. Finn sannsynligheten for at dette oppfylles, og finn

E(X)

\sigma

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Stokastisk variabel: En tallverdi bestemt av tilfeldighet, med sannsynlighetsfordeling der $\sum p_i = 1$ .
- Forventningsverdi: $E(X) = \sum x_i p_i$ — tyngdepunktet i fordelingen.
- Varians og standardavvik: $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ , $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ — måler spredningen.
- Uniform fordeling: Alle utfall like sannsynlige, som ved terningkast.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Sannsynlighetsfordeling	Oversikt over verdier og sannsynligheter
Forventningsverdi	Langsiktig gjennomsnitt
Standardavvik	Typisk avstand fra forventningsverdien
Uniform fordeling	Alle utfall like sannsynlige

Viktige formler

\sum p_i = 1

E(X) = \sum x_i p_i

\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.