6.1 Diskrete sannsynlighetsfordelinger

Spillutviklerens regnestykke

Et lite norsk spillselskap utvikler et brettspill der spillerne flytter like langt som summen av to terninger. Testpanelet klager: «Sju kommer hele tiden!» Utvikleren trenger å vite om panelet har rett, og i så fall hvor skjevt det egentlig er. Hun trenger med andre ord en fullstendig oversikt over alle mulige utfall og hvor sannsynlige de er.

Verktøyet hun griper til, er den stokastiske variabelen — en variabel som tar ulike tallverdier avhengig av et tilfeldig utfall, der hver verdi har en bestemt sannsynlighet. Vi bruker store bokstaver som $X$, $Y$ og $Z$ for selve variabelen, og små bokstaver for de konkrete verdiene: $P(X = x)$ er sannsynligheten for at $X$ tar verdien $x$. Eksemplene er overalt: $X$ = antall øyne på én terning (verdier 1 til 6), $Y$ = antall kron i tre myntkast (0 til 3), $Z$ = antall rette på en flervalgsprøve med 10 spørsmål.

En stokastisk variabel kalles diskret når den kan ta et endelig (eller tellbart) antall verdier — typisk noe vi teller: kast, kunder, rette svar. I dette kapittelet bygger vi hele grunnmuren for å analysere slike variabler: sannsynlighetsfordelingen som beskriver dem, forventningsverdien som angir tyngdepunktet, og variansen og standardavviket som måler spredningen. Med de verktøyene kan spillutvikleren — og enhver forsker eller analytiker — gjøre tilfeldighet om til presise tall.

Sannsynlighetsfordelingen — hele bildet i én tabell

En sannsynlighetsfordeling er en tabell (eller formel) som viser alle verdiene $x_1, x_2, \ldots, x_n$ variabelen kan ta, sammen med sannsynligheten for hver. To krav må være oppfylt: hver sannsynlighet ligger mellom 0 og 1, og summen er nøyaktig 1: $\sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1$.

La oss lage fordelingen spillutvikleren trenger. $X$ er summen av to terninger, med mulige verdier fra 2 til 12. Av de $6 \times 6 = 36$ like sannsynlige utfallene gir nøyaktig ett utfall sum 2 (1+1), to gir sum 3 (1+2 og 2+1), og så videre opp til seks utfall for sum 7 — før antallet faller symmetrisk ned igjen til ett utfall for sum 12. Fordelingen blir:

Forventningsverdien — fordelingens tyngdepunkt

Tilbake til spillutvikleren: hvor langt flytter en spiller i gjennomsnitt per kast? Svaret er forventningsverdien — det veide gjennomsnittet av alle verdiene, der hver verdi teller med sin sannsynlighet:

$$E(X) = \mu = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$

Symbolet $\mu$ (mu) er standardnotasjonen, og tolkningen er presis: over mange forsøk vil gjennomsnittet av utfallene nærme seg $E(X)$. Det er ikke nødvendigvis en verdi $X$ faktisk kan ta — den er et tyngdepunkt, ikke et typisk enkeltutfall.

Se på et regneeksempel. En variabel $X$ har fordelingen

Gjennomsnittet over mange trekninger vil kretse rundt 2,7 — selv om ingen enkelttrekning noensinne gir 2,7.

Tenk på hvordan dette brukes rundt deg. Et forsikringsselskap beregner forventet utbetaling per kunde og legger premien like over. En kommune anslår forventet antall barnehagesøknader. Spillselskapet finner at to terninger gir $E(X) = 7$ — informasjon som avgjør hvor langt brettet bør være. Forventningsverdien er beslutningstallet i alt som involverer gjentatt tilfeldighet. Men ett tall kan ikke fortelle alt: to fordelinger kan dele tyngdepunkt og likevel oppføre seg helt forskjellig. Det leder oss til spredningen.

Varians og standardavvik — målet på spredning

Spillselskapet vurderer en alternativ regel: i stedet for to terninger trekker spillerne et kort som alltid sier «flytt 7». Forventningsverdien er identisk — men spillopplevelsen er totalt forskjellig! Forskjellen er spredningen, og den måles av variansen.

Variansen er den gjennomsnittlige kvadrerte avstanden fra forventningsverdien:

$$\text{Var}(X) = \sigma^2 = E\big[(X - \mu)^2\big] = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$$

I praksis er den alternative formelen ofte raskere:

$$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

der $E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot p_i$ — «forventningen av kvadratet minus kvadratet av forventningen». Standardavviket $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ bringer oss tilbake til samme enhet som $X$, og er derfor tallet vi faktisk tolker: lite $\sigma$ betyr at verdiene klumper seg tett rundt $\mu$; stort $\sigma$ betyr store svingninger.

La oss fullføre eksempelet fra forrige seksjon, der $E(X) = 2{,}7$. Først $E(X^2)$:

$$E(X^2) = 1^2 \cdot 0{,}1 + 2^2 \cdot 0{,}3 + 3^2 \cdot 0{,}4 + 4^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}1 + 1{,}2 + 3{,}6 + 3{,}2 = 8{,}1$$

Så variansen: $\text{Var}(X) = 8{,}1 - 2{,}7^2 = 8{,}1 - 7{,}29 = 0{,}81$, og standardavviket $\sigma = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9$. Et typisk utfall ligger altså i underkant av én enhet unna tyngdepunktet 2,7.

Dette tallparet — $\mu$ og $\sigma$ — er statistikkens universalspråk. Finansanalytikeren rapporterer forventet avkastning og volatilitet; meteorologen normaltemperatur og variasjon; kvalitetsingeniøren målsatt verdi og toleranse. Når du i de neste kapitlene møter binomisk fordeling og normalfordelingen, er det nettopp $\mu$ og $\sigma$ som beskriver dem.

Oppsummering: tilfeldighetens regnskap

Testpanelet hos spillselskapet hadde rett, og nå kan vi tallfeste hvorfor: summen av to terninger har en pyramideformet fordeling der $\displaystyle P(X=7) = \frac{6}{36}$ er størst, med tyngdepunkt $E(X) = 7$. Underveis bygde vi det komplette verktøysettet for diskrete tilfeldige størrelser.

En stokastisk variabel tilordner hvert utfall en tallverdi, og er diskret når verdiene kan telles. Sannsynlighetsfordelingen er den fullstendige beskrivelsen — en tabell over verdier og sannsynligheter der hvert tall ligger mellom 0 og 1 og summen er nøyaktig 1. Spesialtilfellet der alle verdier er like sannsynlige, kalles uniform fordeling, slik som én rettferdig terning.

Forventningsverdien $E(X) = \mu = \sum x_i p_i$ er fordelingens tyngdepunkt: gjennomsnittet over mange forsøk, men ikke nødvendigvis en mulig enkeltverdi. Variansen $\text{Var}(X) = \sigma^2$ måler spredningen som forventet kvadratavvik fra $\mu$, raskest beregnet med $E(X^2) - [E(X)]^2$, og standardavviket $\sigma$ oversetter spredningen tilbake til variabelens egen enhet — lite $\sigma$ betyr utfall tett rundt tyngdepunktet, stort $\sigma$ betyr store svingninger.

Paret $(\mu, \sigma)$ er sammendraget enhver fordeling kan presenteres med, fra avkastning og risiko i finans til måleverdier og toleranser i industrien. Og det er nøyaklig dette paret som skal bære de neste kapitlene, der vi gir de viktigste fordelingene i samfunnsfaglig statistikk navn og formler: den binomiske fordelingen og normalfordelingen.