6.5 Hypergeometrisk fordeling

Trekking uten tilbakelegging, hypergeometrisk formel og kvalitetskontroll.

50 min

8 oppgaver

Hypergeometrisk fordelingUten tilbakeleggingKvalitetskontroll

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Diskrete sannsynlighetsfordelinger

Brukes videre i

6.6Normalfordelingsapproksimasjon

Hypergeometrisk fordeling -- trekking uten tilbakelegging

I binomialfordelingen antar vi at sannsynligheten er konstant for hvert forsøk -- dette tilsvarer trekking med tilbakelegging. Men i mange praktiske situasjoner trekker vi uten tilbakelegging, og sannsynligheten endrer seg for hvert trekk.

Typiske situasjoner:
- Kvalitetskontroll: velg 10 produkter fra en batch på 100 for inspeksjon
- Meningsmålinger: velg 50 respondenter fra en gruppe på 500
- Lottotrekking: trekk 7 tall av 34 uten tilbakelegging

Disse situasjonene beskrives av den hypergeometriske fordelingen.

Hypergeometrisk fordeling

N

✏️Eksempel: Kvalitetskontroll i industrien

En produksjonsbatch inneholder $N = 50$ enheter, der $M = 5$ er defekte. En kvalitetskontrollør trekker tilfeldig $n = 8$ enheter for inspeksjon.

a) Finn $P(X = 0)$ (ingen defekte i utvalget).
b) Finn $E(X)$ .
c) Hva er sannsynligheten for at minst 2 defekte er i utvalget?

a) $P(X = 0)$ :

$P(X=0) = \frac{\binom{5}{0}\binom{45}{8}}{\binom{50}{8}} = \frac{1 \cdot \binom{45}{8}}{\binom{50}{8}}$

$\binom{45}{8} = 215553195$ , $\binom{50}{8} = 536878650$

$P(X=0) \approx \frac{215553195}{536878650} \approx 0{,}401$

b) $E(X)$ :

$E(X) = n \cdot \frac{M}{N} = 8 \cdot \frac{5}{50} = 0{,}80$

c) $P(X \geq 2)$ :

$P(X=1) \approx 0{,}395$ . Dermed $P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) \approx 1 - 0{,}401 - 0{,}395 = 0{,}204$ .

Når

n

er liten i forhold til

N

(tommelfingerregel:

n < 0{,}05 \cdot N

), er trekking uten tilbakelegging nesten det samme som med tilbakelegging.

I slike tilfeller kan vi approksimere den hypergeometriske fordelingen med en binomialfordeling med $p = M/N$ :

$X \approx \text{Bin}\!\left(n,\, \frac{M}{N}\right)$

Eksempel: Velger 10 fra en populasjon på 1000 -- binomial er god approksimasjon. Velger 10 fra en populasjon på 15 -- må bruke hypergeometrisk.

📝Oppgave 1

Et lager inneholder 20 varer, der 4 er defekte. Du velger 3 varer uten tilbakelegging.

Finn $P(X = 0)$ (ingen defekte).

Finn $P(X = 1)$ (eksakt 1 defekt).

Finn forventet antall defekte i utvalget.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

En revisor skal kontrollere 5 tilfeldige bilag fra et regnskap med 40 bilag totalt, der 3 inneholder feil.

Hva er sannsynligheten for at revisoren finner minst 1 bilag med feil?

Er $n = 5$ stor nok i forhold til $N = 40$ til at vi kan bruke binomialapproksimasjon?

📝Oppgave 3

Sammenligning av hypergeometrisk og binomial: $N = 200$ , $M = 20$ , $n = 10$ .

Beregn $E(X)$ og $\text{Var}(X)$ for den hypergeometriske fordelingen.

Beregn $E(X)$ og $\text{Var}(X)$ for $\text{Bin}(10, 0{,}10)$ .

Forklar forskjellen i varians ved hjelp av endelig populasjonskorreksjon.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Hypergeometrisk fordeling: Trekning uten tilbakelegging — $P(X = k) = \dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ med $N$ objekter, $K$ spesielle og $n$ trekk.
- Forventningsverdi: $E(X) = n \cdot \dfrac{K}{N}$ .
- Binomisk tilnærming: God når utvalget er lite i forhold til populasjonen (under ca. $10\,\%$ ).
- Typisk bruk: Kvalitetskontroll, kortspill og utvalg fra grupper.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Uten tilbakelegging	Sammensetningen endres for hvert trekk
Kvalitetskontroll	Stikkprøver fra et parti
Tilnærming	Binomisk når $n \ll N$

Viktige formler

P(X = k) = \dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}

E(X) = n \cdot \dfrac{K}{N}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.