6.6 Normalfordelingsapproksimasjon

Binomisk til normal, kontinuitetskorreksjon og z-verdier.

50 min

8 oppgaver

NormalapproksimasjonKontinuitetskorreksjonZ-verdier

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.5Hypergeometrisk fordeling

Normalfordelingsapproksimasjon

Når antall forsøk $n$ er stort, kan det være krevende å beregne binomialsannsynligheter eksakt. En svært nyttig tilnærming er å bruke normalfordelingen som approksimasjon.

Dette er mulig fordi binomialfordelingen nærmer seg normalfordelingens klokkeform når $n$ er stor -- et resultat av sentralgrenseteoremet.

Praktisk nytte i økonomi og samfunnsfag:
- Meningsmålinger: estimer prosentandeler med usikkerhet
- Kvalitetskontroll: vurdere om en batch er akseptabel
- Forsikring: modellere antall skader i en periode

📜Normalapproksimasjon av binomialfordelingen

Hvis

X \sim \text{Bin}(n, p)

og betingelsene

$np \geq 5 \quad \text{og} \quad n(1-p) \geq 5$

er oppfylt, kan vi approksimere:

$X \approx N(\mu, \sigma^2) \quad \text{der} \quad \mu = np, \quad \sigma^2 = np(1-p)$

Standardisering (z-verdi):

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \approx N(0,1)$

Kontinuitetskorreksjon (forbedrer nøyaktigheten):

$P(X \leq k) \approx P\!\left(Z \leq \frac{k + 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right)$

✏️Eksempel: Meningsmåling

I en meningsmåling svarer $n = 400$ tilfeldige velgere. Den sanne andelen som støtter parti A er $p = 0{,}35$ .

a) Sjekk om normalapproksimasjon er gyldig.
b) Beregn $P(X \leq 120)$ .
c) Finn sannsynligheten for at andelen i utvalget overstiger 40 %.

a) Sjekk betingelsene:

$np = 400 \cdot 0{,}35 = 140 \geq 5$ ✓

$n(1-p) = 400 \cdot 0{,}65 = 260 \geq 5$ ✓

Normalapproksimasjon er gyldig.

b) $P(X \leq 120)$ :

$\mu = 140$ , $\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}35 \cdot 0{,}65} = \sqrt{91} \approx 9{,}54$

Med kontinuitetskorreksjon:

$P(X \leq 120) \approx P\!\left(Z \leq \frac{120{,}5 - 140}{9{,}54}\right) = P(Z \leq -2{,}04) \approx 0{,}0207$

c) $P(\hat{p} > 0{,}40)$ , dvs. $P(X > 160)$ :

$P(X > 160) \approx P\!\left(Z > \frac{160{,}5 - 140}{9{,}54}\right) = P(Z > 2{,}15) \approx 0{,}0158$

Kontinuitetskorreksjon brukes når du approksimerer en diskret fordeling (binomial) med en kontinuerlig (normal).

Tommelfingerregler:
- $P(X \leq k) \Rightarrow$ bruk $k + 0{,}5$ (korreksjon oppover)
- $P(X \geq k) \Rightarrow$ bruk $k - 0{,}5$ (korreksjon nedover)
- $P(X = k) \Rightarrow$ bruk intervallet $[k-0{,}5,\, k+0{,}5]$

Korreksjonen er spesielt viktig når $n$ er moderat (50-200). For svært store $n$ utgjør den liten forskjell.

📝Oppgave 1

Sjekk om normalapproksimasjon er gyldig for følgende binomialfordelinger:

\text{Bin}(100, 0{,}30)

\text{Bin}(20, 0{,}05)

\text{Bin}(200, 0{,}98)

📝Oppgave 2

En nettbutikk melder at 30 % av alle bestillinger returneres. I en periode mottas $n = 150$ bestillinger. La $X$ være antall returer.

Finn $\mu$ og $\sigma$ for normalapproksimasjonen.

Beregn $P(40 \leq X \leq 50)$ med normalapproksimasjon og kontinuitetskorreksjon.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Et selskap vet at 8 % av leveransene er forsinket. I neste måned planlegges $n = 250$ leveranser.

Beregn sannsynligheten for at mer enn 25 leveranser er forsinket.

Finn $k$ slik at $P(X \leq k) \approx 0{,}95$ .

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Normalapproksimasjon: En binomisk fordeling med stor $n$ kan tilnærmes med normalfordelingen $N\bigl(np, \sqrt{np(1-p)}\bigr)$ .
- Gyldighet: Tommelregel: både $np$ og $n(1-p)$ bør være minst $10$ (noen bruker 5).
- Kontinuitetskorreksjon: Siden binomisk er diskret, justeres grensene med $\pm 0{,}5$ : $P(X \leq k) \approx P(Y \leq k + 0{,}5)$ .
- Bruk: Meningsmålinger, valgresultater og store stikkprøver.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Normalapproksimasjon	Normalfordeling som tilnærming til binomisk
Kontinuitetskorreksjon	Justering med 0,5 for diskret → kontinuerlig
Tommelregel	$np \geq 10$ og $n(1-p) \geq 10$

Viktige formler

\mu = np

\sigma = \sqrt{np(1-p)}

P(X \leq k) \approx P\left(Z \leq \dfrac{k + 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.