6.6 Normalfordelingsapproksimasjon

Meningsmålingen med 400 svar

Et analysebyrå har spurt 400 tilfeldig valgte velgere, og 35 % av befolkningen støtter et bestemt parti. Hva er sannsynligheten for at høyst 120 av de spurte er tilhengere? Strengt tatt er dette binomialfordeling: $X \sim \text{Bin}(400, 0{,}35)$. Men å summere 121 binomialsannsynligheter for hånd er et mareritt. Heldigvis finnes en elegant snarvei.

Når antall forsøk $n$ blir stort, nærmer binomialfordelingens histogram seg normalfordelingens klokkeform — et resultat som springer ut av sentralgrenseteoremet. Da kan vi bytte ut den diskrete fordelingen med en kontinuerlig:

Hvis $X \sim \text{Bin}(n, p)$ og betingelsene

$$np \geq 5 \quad \text{og} \quad n(1-p) \geq 5$$

er oppfylt, kan vi approksimere $X \approx N(\mu, \sigma^2)$ med $\mu = np$ og $\sigma^2 = np(1-p)$. Deretter standardiserer vi som i 6.4: $\displaystyle Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \approx N(0, 1)$.

For meningsmålingen: $np = 400 \cdot 0{,}35 = 140 \geq 5$ og $n(1-p) = 260 \geq 5$ — begge betingelsene holder med god margin, så normalapproksimasjonen er gyldig. Forventningen er $\mu = 140$ tilhengere, og standardavviket $\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}35 \cdot 0{,}65} = \sqrt{91} \approx 9{,}54$.

Denne teknikken er uunnværlig i samfunnsfag og økonomi: meningsmålinger med usikkerhetsmarginer, kvalitetskontroll av store partier og forsikringsselskapenes skadeestimater bygger alle på at store binomiske forsøksrekker oppfører seg normalt.

Kontinuitetskorreksjon — den lille halvdelen som teller

Det er én subtilitet igjen: binomialfordelingen er diskret (bare hele tall), mens normalfordelingen er kontinuerlig. Søylen for $X = 120$ i binomialhistogrammet strekker seg egentlig fra 119,5 til 120,5. Skal normalkurven fange hele søylen, må vi justere grensen med en halv enhet — det kalles kontinuitetskorreksjon:

$$P(X \leq k) \approx P\!\left(Z \leq \frac{k + 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right)$$

Tommelfingerreglene: for $P(X \leq k)$ bruker du $k + 0{,}5$; for $P(X \geq k)$ bruker du $k - 0{,}5$; og for $P(X = k)$ bruker du hele intervallet $[k - 0{,}5,\ k + 0{,}5]$. Korreksjonen betyr mest når $n$ er moderat (50–200); for svært store $n$ utgjør den lite.

Nå løser vi meningsmålingen. Med $\mu = 140$ og $\sigma \approx 9{,}54$:

$$P(X \leq 120) \approx P\!\left(Z \leq \frac{120{,}5 - 140}{9{,}54}\right) = P(Z \leq -2{,}04) \approx 0{,}0207$$

Bare cirka 2 % sjanse for at høyst 120 av 400 er tilhengere når den sanne andelen er 35 %.

Byrået vil også vite: hva er sjansen for at utvalgsandelen $\hat{p}$ overstiger 40 %, altså $X > 160$?

$$P(X > 160) \approx P\!\left(Z > \frac{160{,}5 - 140}{9{,}54}\right) = P(Z > 2{,}15) \approx 0{,}0158$$

Halvannen prosent. Slike beregninger er selve grunnlaget for feilmarginene du ser i nyhetene — «målingen har en usikkerhet på ± 3 prosentpoeng» er normalapproksimasjon i praksis. Måler en undersøkelse noe langt utenfor det normalfordelingen tilsier, er det et signal om at den antatte andelen $p$ rett og slett ikke stemmer.

Oppsummering: når søylene blir til en kurve

Meningsmålingens 400 svar lot seg ikke håndtere søyle for søyle — men det trengtes heller ikke. Normalapproksimasjonen sier at en binomisk variabel $X \sim \text{Bin}(n, p)$ med stor $n$ oppfører seg som $N(np, \sqrt{np(1-p)})$, gyldig når både $np \geq 5$ og $n(1-p) \geq 5$ (strengere lærebøker krever 10). Bak resultatet står sentralgrenseteoremet: mange små, uavhengige bidrag summerer seg til klokkeform.

Oppskriften er fast: regn ut $\mu = np$ og $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$, juster grensen med kontinuitetskorreksjonen — $k + 0{,}5$ for $P(X \leq k)$, $k - 0{,}5$ for $P(X \geq k)$, hele intervallet for $P(X = k)$ — og standardiser med z-scoren fra 6.4. Slik ble $P(X \leq 120) \approx 0{,}02$ og $P(X > 160) \approx 0{,}016$ to raske regnestykker i stedet for hundrevis av binomialledd.

Anvendelsene er overalt i samfunnet: feilmarginer i valgmålinger, akseptgrenser i kvalitetskontroll, skadefrekvenser i forsikring. Hver gang du hører «innenfor feilmarginen», er det denne matematikken som snakker. Og med normalfordeling, hypergeometrisk fordeling og approksimasjonene på plass har du hele verktøykassen som trengs for det statistiske prosjektarbeidet i neste kapittel.