5.6 Simulering med digitale verktøy

Monte Carlo-metoden i GeoGebra og Python, store talls lov og stokastiske variabler.

45 min

8 oppgaver

SimuleringMonte CarloStore talls lovStokastiske variabler

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.4Hypergeometrisk fordeling

Brukes videre i

6.2Binomisk fordeling

Simulering -- å etterlikne virkeligheten digitalt

Når analytiske beregninger blir kompliserte, eller når vi vil undersøke et system over tid, er simulering et kraftig verktøy. Vi lar datamaskinen gjenta et tilfeldig eksperiment tusenvis av ganger og studerer mønstrene som oppstår.

Praktisk bruk i næringslivet:
- Simulere kundeankomster i en butikk
- Estimere risiko i finansielle porteføljer
- Planlegge lagerbehold under usikker etterspørsel
- Teste prisstrategier

I denne seksjonen lærer du å bruke GeoGebra og grunnleggende Python til simulering.

Monte Carlo-metoden

n

✏️Eksempel: Simulere terningkast i GeoGebra

Simuler 1000 kast med to terninger og estimer sannsynligheten for at summen er 7.

GeoGebra (algebrafeltet):

n = 1000
kast1 = Følge(TilfeldigMellom(1,6),i,1,n)
kast2 = Følge(TilfeldigMellom(1,6),i,1,n)
s = kast1 + kast2
p = TellDersom(x == 7, s) / n

Python:

import random

n = 1000
antall7 = sum(
    1
    for _ in range(n)
    if random.randint(1, 6)
    + random.randint(1, 6)
    == 7
)
print(
    "Estimert P(sum=7) ="
    f" {antall7/n:.3f}"
)

Én kjøring ga utskriften:

Estimert P(sum=7) = 0.164

Teoretisk verdi: $\displaystyle P(\text{sum}=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$

Med $n = 1000$ havner estimatet vanligvis mellom ca. $0{,}14$ og $0{,}19$ . Kjør simuleringen flere ganger og se hvordan estimatet varierer.

Svar: Simuleringen gir $P(\text{sum} = 7) \approx 0{,}16$ , nær den teoretiske verdien $\displaystyle \frac{1}{6} \approx 0{,}167$ .

Store talls lov er grunnlaget for forsikringsmatematikk: selv om ett enkelt utfall er uforutsigbart, er gjennomsnittet over mange utfall svært forutsigbart.

Et forsikringsselskap kan ikke forutsi om akkurat du får en skade, men kan forutsi svært nøyaktig hvor stor andel av 100 000 kunder som får skade. Dette gjør det mulig å fastsette riktige forsikringspremier.

Konsekvens for simulering: For å få to gyldige desimalers nøyaktighet trenger vi minst $n \approx 10000$ repetisjoner.

Stokastiske variabler

Når vi kaster en terning, trekker et kort eller måler noe tilfeldig, kan vi beskrive utfallet med en stokastisk variabel. En stokastisk variabel er en variabel som kan ta ulike verdier, der hver verdi har en bestemt sannsynlighet.

Vi bruker store bokstaver (som $X$ , $Y$ , $Z$ ) for stokastiske variabler og små bokstaver ( $x$ , $y$ , $z$ ) for de konkrete verdiene de kan ta.

Eksempler:
- $X$ = antall øyne ved kast av én terning. Mulige verdier: $1, 2, 3, 4, 5, 6$
- $Y$ = antall kron ved tre myntkast. Mulige verdier: $0, 1, 2, 3$
- $Z$ = antall rette svar på en prøve med 10 spørsmål

Stokastisk variabel

X

Sannsynlighetsfordeling

En sannsynlighetsfordeling viser alle verdiene en stokastisk variabel kan ta, sammen med sannsynligheten for hver verdi.

For en diskret stokastisk variabel $X$ som kan ta verdiene $x_1, x_2, \ldots, x_n$ , setter vi opp en tabell:

$x$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$P(X = x)$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

Krav til sannsynlighetsfordeling:
1.

0 \leq P(X = x_i) \leq 1

for alle

i

2. $\sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1$ (summen av alle sannsynlighetene er 1)

✏️Eksempel: Sannsynlighetsfordeling for to terninger

La $X$ være summen av øynene ved kast av to terninger. Sett opp sannsynlighetsfordelingen til $X$ .

Løsning:

$X$ kan ta verdiene $2, 3, 4, \ldots, 12$ .

Vi teller antall gunstige utfall for hver sum (totalt $6 \times 6 = 36$ utfall):

$x$	Antall	$P(X=x)$
2	1	$\displaystyle \frac{1}{36}$
3	2	$\displaystyle \frac{2}{36}$
4	3	$\displaystyle \frac{3}{36}$
5	4	$\displaystyle \frac{4}{36}$
6	5	$\displaystyle \frac{5}{36}$
7	6	$\displaystyle \frac{6}{36}$
8	5	$\displaystyle \frac{5}{36}$
9	4	$\displaystyle \frac{4}{36}$
10	3	$\displaystyle \frac{3}{36}$
11	2	$\displaystyle \frac{2}{36}$
12	1	$\displaystyle \frac{1}{36}$

Kontroll:

\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{36}{36} = 1

Svar: Fordelingen står i tabellen over:

P(X = x)

øker fra

\displaystyle \frac{1}{36}

ved

x = 2

til

\displaystyle \frac{6}{36}

ved

x = 7

og synker igjen til

\displaystyle \frac{1}{36}

ved

x = 12

📝Oppgave 1

En nettbutikk registrerer om en tilfeldig besøkende foretar et kjøp ( $K$ ) eller ikke. Historisk sannsynlighet for kjøp er $p = 0{,}08$ .

Hva er den teoretiske sannsynligheten for at minst 1 av 5 besøkende kjøper noe?

Beskriv hvordan du ville simulere 1000 grupper på 5 besøkende i GeoGebra for å estimere sannsynligheten.

📝Oppgave 2

Store talls lov: En mynt kastes gjentatte ganger og vi registrerer kumulativ relativ hyppighet av "kron".

Forklar hva "kumulativ relativ hyppighet" betyr.

Hva forventer vi at den kumulative relative hyppigheten nærmer seg når $n$ blir stor?

Hvorfor er det viktig for et kasino at alle spill spilles mange ganger?

📝Oppgave 3

Monte Carlo-estimering av $\pi$ : Legg tilfeldige punkter i kvadratet $[0,1]\times[0,1]$ og tell andelen som faller innenfor kvartsirkelen med radius 1.

Forklar hvorfor andelen punkter innenfor kvartsirkelen approksimerer $\pi/4$ .

Skriv pseudokode for simuleringen med $n = 100000$ punkter.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Simulering: Å etterlikne tilfeldige forsøk digitalt (GeoGebra, regneark, Python) for å estimere sannsynligheter som er vanskelige å regne ut eksakt.
- Monte Carlo-metoden: Gjenta forsøket mange ganger og bruk relativ frekvens som estimat for sannsynligheten.
- Store talls lov: Relativ frekvens nærmer seg den teoretiske sannsynligheten når antall forsøk øker.
- Stokastisk variabel: Gir hvert utfall en tallverdi. Sannsynlighetsfordelingen viser alle verdiene med sannsynlighet, og sannsynlighetene summerer seg til 1.
- Vurdering: Flere simuleringer gir mer pålitelige estimater, men aldri eksakte svar.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Simulering	Digital etterlikning av tilfeldighet
Relativ frekvens	Antall gunstige delt på antall forsøk
Store talls lov	Frekvensen stabiliserer seg mot sannsynligheten
Monte Carlo	Estimering ved mange tilfeldige forsøk
Stokastisk variabel	Tallverdi bestemt av utfallet i et tilfeldig forsøk
Sannsynlighetsfordeling	Alle verdier med sine sannsynligheter

Viktige formler

- Estimert sannsynlighet

= \dfrac{\text{antall gunstige}}{\text{antall forsøk}}

- Forventet antall

= n \cdot p

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.