5.6 Simulering med digitale verktøy

Monte Carlo-metoden i GeoGebra og Python, store talls lov.

45 min

8 oppgaver

SimuleringMonte CarloGeoGebraStore talls lov

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.5Stokastiske variabler og forventningsverdi

Simulering -- å etterligne virkeligheten digitalt

Når analytiske beregninger blir kompliserte, eller når vi vil undersøke et system over tid, er simulering et kraftig verktøy. Vi lar datamaskinen gjenta et tilfeldig eksperiment tusenvis av ganger og studerer mønstrene som oppstår.

Praktisk bruk i næringslivet:
- Simulere kundeankomster i en butikk
- Estimere risiko i finansielle porteføljer
- Planlegge lagerbehold under usikker etterspørsel
- Teste prisstrategier

I denne seksjonen lærer du å bruke GeoGebra og grunnleggende Python til simulering.

Monte Carlo-metoden

n

✏️Eksempel: Simulere terningkast i GeoGebra

Simuler 1000 kast med to terninger og estimer sannsynligheten for at summen er 7.

GeoGebra-kommandoer:

Bruk verktøyet "Ettlinje" / CAS-kalkulator:

n = 1000
kast1 = RandomBetween(1, 6, n)
kast2 = RandomBetween(1, 6, n)

Python-tilnærming:

import random
n = 10000
antall7 = sum(1 for _ in range(n)
               if random.randint(1,6) + random.randint(1,6) == 7)
print(f"Estimert P(sum=7) = {antall7/n:.4f}")

Teoretisk verdi: $\displaystyle P(\text{sum}=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667$

Med $n = 10000$ vil estimatet vanligvis ligge innenfor $\pm 0{,}004$ av den sanne verdien.

Store talls lov er grunnlaget for forsikringsmatematikk: selv om ett enkelt utfall er uforutsigbart, er gjennomsnittet over mange utfall svært forutsigbart.

Et forsikringsselskap kan ikke forutsi om akkurat deg får en skade, men kan forutsi svært nøyaktig hvor stor andel av 100 000 kunder som får skade. Dette gjør det mulig å fastsette riktige forsikringspremier.

Konsekvens for simulering: For å få to gyldige desimalers nøyaktighet trenger vi minst $n \approx 10000$ repetisjoner.

📝Oppgave 1

En nettbutikk registrerer om en tilfeldig besøkende foretar et kjøp ( $K$ ) eller ikke. Historisk sannsynlighet for kjøp er $p = 0{,}08$ .

Hva er den teoretiske sannsynligheten for at minst 1 av 5 besøkende kjøper noe?

Beskriv hvordan du ville simulere 1000 grupper på 5 besøkende i GeoGebra for å estimere sannsynligheten.

📝Oppgave 2

Store talls lov: En mynt kastes gjentatte ganger og vi registrerer kumulativ relativ hyppighet av "kron".

Forklar hva "kumulativ relativ hyppighet" betyr.

Hva forventer vi at den kumulative relative hyppigheten nærmer seg når $n$ blir stor?

Hvorfor er det viktig for et kasino at alle spill spilles mange ganger?

📝Oppgave 3

Monte Carlo-estimering av $\pi$ : Legg tilfeldige punkter i kvadratet $[0,1]\times[0,1]$ og tell andelen som faller innenfor kvartsirkelen med radius 1.

Forklar hvorfor andelen punkter innenfor kvartsirkelen approksimerer $\pi/4$ .

Skriv pseudokode for simuleringen med $n = 100000$ punkter.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Simulering: Å etterligne tilfeldige forsøk digitalt (GeoGebra, regneark, Python) for å estimere sannsynligheter som er vanskelige å regne ut eksakt.
- Monte Carlo-metoden: Gjenta forsøket mange ganger og bruk relativ frekvens som estimat for sannsynligheten.
- Store talls lov: Relativ frekvens nærmer seg den teoretiske sannsynligheten når antall forsøk øker.
- Vurdering: Flere simuleringer gir mer pålitelige estimater, men aldri eksakte svar.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Simulering	Digital etterligning av tilfeldighet
Relativ frekvens	Antall gunstige delt på antall forsøk
Store talls lov	Frekvensen stabiliserer seg mot sannsynligheten
Monte Carlo	Estimering ved mange tilfeldige forsøk

Viktige formler

- Estimert sannsynlighet

= \dfrac{\text{antall gunstige}}{\text{antall forsøk}}

- Forventet antall

= n \cdot p

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.