5.5 Stokastiske variabler og forventningsverdi

Stokastiske variabler, sannsynlighetsfordelinger, forventningsverdi, varians og standardavvik.

55 min

8 oppgaver

Stokastisk variabelForventningsverdiVariansStandardavvik

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Kombinatorikk

Brukes videre i

5.6Simulering med digitale verktøy

Stokastiske variabler

I dagliglivet møtes vi stadig med usikre utfall: hva blir morgendagens omsetning i bedriften, hvor mange kunder kommer i dag, eller hva blir avkastningen på en investering? For å analysere slike situasjoner bruker vi stokastiske variabler.

En stokastisk variabel $X$ er en variabel som kan ta ulike verdier avhengig av utfallet av et tilfeldig eksperiment. Vi skriver $P(X = x)$ for sannsynligheten for at $X$ tar verdien $x$ .

Eksempel fra næringslivet: La $X$ være antall reklamasjoner en nettbutikk mottar på en tilfeldig valgt dag. Basert på historiske data kan butikken sette opp en sannsynlighetsfordeling og planlegge kundeservice-bemanningen deretter.

Sannsynlighetsfordeling og forventningsverdi

X

📜Regneregler for E og Var

For konstanter

a

b

og stokastiske variabler

X

Y

$E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Dersom $X$ og $Y$ er uavhengige:

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

$\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Disse reglene er svært nyttige når vi analyserer sammensatte økonomiske størrelser, for eksempel totalinntekt fra flere uavhengige produkter.

✏️Eksempel: Forventet gevinst i et lotteri

En bedrift arrangerer et internt lotteri for ansatte. Billetten koster 50 kr. Gevinststørrelsene og sannsynlighetene er:

Gevinst (kr)	Sannsynlighet
0	0,60
50	0,25
200	0,12
1000	0,03

a) Beregn forventet gevinst.
b) Beregn standardavviket.
c) Er det lurt å kjøpe en billett?

a) Forventet gevinst:

$E(X) = 0 \cdot 0{,}60 + 50 \cdot 0{,}25 + 200 \cdot 0{,}12 + 1000 \cdot 0{,}03$
$= 0 + 12{,}5 + 24 + 30 = 66{,}5 \text{ kr}$

b) Varians og standardavvik:

$\text{Var}(X) = (0-66{,}5)^2 \cdot 0{,}60 + (50-66{,}5)^2 \cdot 0{,}25 + (200-66{,}5)^2 \cdot 0{,}12 + (1000-66{,}5)^2 \cdot 0{,}03 \approx 30989 \text{ kr}^2$

$\sigma = \sqrt{30989} \approx 176 \text{ kr}$

c) Vurdering:

Forventet gevinst (66,5 kr) er høyere enn billettpris (50 kr), så i gjennomsnitt tjener man 16,5 kr per billett. Men standardavviket er stort (176 kr), så det er stor usikkerhet. På lang sikt er det gunstig, men enkeltutfall varierer mye.

📝Oppgave 1

En selger har daglig salg $X$ (antall enheter) med følgende fordeling: $P(X=0)=0{,}10$ , $P(X=1)=0{,}30$ , $P(X=2)=0{,}40$ , $P(X=3)=0{,}20$ .

Bekreft at dette er en gyldig sannsynlighetsfordeling.

Beregn forventet daglig salg $E(X)$ .

Hvis fortjeneste per enhet er 150 kr, hva er forventet daglig fortjeneste?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Et investeringsprosjekt gir følgende årlige avkastning (i tusen kr): $-50$ med $P=0{,}15$ , $0$ med $P=0{,}20$ , $100$ med $P=0{,}40$ , $200$ med $P=0{,}25$ .

Beregn forventet årlig avkastning.

Beregn standardavviket til avkastningen.

Tolk resultatene i en økonomisk kontekst.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

To uavhengige produktlinjer: Produkt A: $E(X_A) = 120$ kr, $\sigma_A = 30$ kr. Produkt B: $E(X_B) = 80$ kr, $\sigma_B = 20$ kr. Daglig totalinntekt er $T = X_A + X_B$ .

Finn $E(T)$ .

Finn $\text{Var}(T)$ og $\sigma_T$ (siden $X_A$ og $X_B$ er uavhengige).

Forklar hvorfor $\sigma_T < \sigma_A + \sigma_B$ , og hva dette betyr for diversifisering.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Stokastisk variabel: En tallverdi bestemt av et tilfeldig forsøk, med en sannsynlighetsfordeling $P(X = x_i) = p_i$ .
- Forventningsverdi: $E(X) = \sum x_i p_i$ — gjennomsnittet i det lange løp.
- Varians og standardavvik: $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ og $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ .
- Regneregler: $E(aX + b) = aE(X) + b$ og $\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Stokastisk variabel	Tilfeldig tallverdi $X$
Forventningsverdi	Langsiktig gjennomsnitt $E(X)$
Varians	Spredningsmål $\text{Var}(X)$
Standardavvik	$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

Viktige formler

E(X) = \sum x_i p_i

\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

E(aX + b) = aE(X) + b

\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.