5.5 Stokastiske variabler og forventningsverdi

Tall som ennå ikke finnes

En nettbutikk planlegger neste ukes kundeservice-bemanning. Hvor mange reklamasjoner kommer det på mandag? Ingen vet — men butikken er heller ikke helt i blinde. Historiske data viser at noen dager kommer det null, andre dager fem, og hver mulighet har sin omtrentlige hyppighet. Det samme gjelder bedriftens omsetning, antall kunder i døra og avkastningen på en investering: utfallet er usikkert, men usikkerheten har struktur.

Matematikkens verktøy for slike «tall som ennå ikke finnes» er den stokastiske variabelen. En stokastisk variabel $X$ er en tallverdi som bestemmes av utfallet av et tilfeldig forsøk, og vi skriver $P(X = x)$ for sannsynligheten for at $X$ tar verdien $x$. Lar vi $X$ være antall reklamasjoner på en tilfeldig dag, kan butikken sette opp en tabell over alle mulige verdier med tilhørende sannsynligheter — en sannsynlighetsfordeling — og planlegge bemanningen ut fra den.

I dette kapittelet lærer vi å beskrive slike variabler med tre nøkkeltall: forventningsverdien $E(X)$, som forteller hva vi får i gjennomsnitt på lang sikt, og variansen og standardavviket, som forteller hvor mye enkeltutfallene svinger rundt gjennomsnittet. Til slutt bruker vi alt sammen til å avgjøre et klassisk økonomisk spørsmål: lønner det seg å kjøpe lodd i et lotteri?

Fordeling og forventningsverdi

En sannsynlighetsfordeling for en diskret stokastisk variabel $X$ er en tabell eller formel som angir $P(X = x)$ for hver mulig verdi $x$. To krav må alltid være oppfylt: hver sannsynlighet er ikke-negativ, $P(X = x) \geq 0$, og summen over alle verdier er nøyaktig 1:

$$\sum_x P(X = x) = 1$$

Det andre kravet er en praktisk kontroll — summerer ikke tabellen din til 1, har du gjort en feil eller glemt et utfall.

Forventningsverdien er fordelingens tyngdepunkt: gjennomsnittet du ville fått om forsøket ble gjentatt svært mange ganger. Hver verdi veies med sin sannsynlighet:

$$E(X) = \sum_x x \cdot P(X = x)$$

Men gjennomsnittet er bare halve historien. To investeringer kan ha samme forventede avkastning, der den ene svinger vilt og den andre knapt rører seg — og enhver økonom vet at det er en vesensforskjell. Spredningen måles av variansen, det forventede kvadratavviket fra gjennomsnittet:

$$\text{Var}(X) = E\bigl[(X - E(X))^2\bigr] = \sum_x (x - E(X))^2 \cdot P(X = x)$$

I praksis er den ekvivalente formelen $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ ofte raskere å regne med. Fordi variansen har «kvadrerte» enheter (som kr²), tar vi kvadratroten og får standardavviket $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ — et spredningsmål i samme enhet som $X$ selv, og finansverdenens vanligste mål på risiko.

Regneregler — og lotteriet som faktisk lønte seg

Stokastiske variabler opptrer sjelden alene. En bedrift summerer inntekter fra flere produkter, en investor skalerer en posisjon opp eller ned. Da trenger vi regneregler. For konstanter $a$ og $b$ gjelder

$$E(aX + b) = a \cdot E(X) + b \qquad \text{og} \qquad \text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$$

Legg merke til detaljene: konstanten $b$ flytter gjennomsnittet, men endrer ikke spredningen — derfor forsvinner den fra variansen. Og fordi variansen er kvadratisk, kommer faktoren $a$ inn som $a^2$. Er $X$ og $Y$ i tillegg uavhengige, kan vi addere: $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ og $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ — uvurderlig når totalinntekten kommer fra flere uavhengige kilder.

Nå til lotteriet. En bedrift selger interne lodd til 50 kr, og gevinsten $X$ har fordelingen: 0 kr med sannsynlighet 0,60, 50 kr med 0,25, 200 kr med 0,12 og 1000 kr med 0,03. Forventet gevinst:

$$E(X) = 0 \cdot 0{,}60 + 50 \cdot 0{,}25 + 200 \cdot 0{,}12 + 1000 \cdot 0{,}03 = 12{,}5 + 24 + 30 = 66{,}5 \text{ kr}$$

Variansen blir $\text{Var}(X) = (0-66{,}5)^2 \cdot 0{,}60 + (50-66{,}5)^2 \cdot 0{,}25 + (200-66{,}5)^2 \cdot 0{,}12 + (1000-66{,}5)^2 \cdot 0{,}03 \approx 30\,989$, så standardavviket er $\sigma \approx 176$ kr.

Er loddet verdt det? Forventet gevinst (66,5 kr) overstiger prisen (50 kr) — i gjennomsnitt tjener du 16,5 kr per lodd, så på lang sikt er det gunstig. Men standardavviket på 176 kr forteller at enkeltutfall spriker voldsomt: oftest taper du innsatsen, sjelden vinner du stort. Slik tenker også forsikringsselskaper og investorer: beslutningen hviler på både forventningsverdi og risiko — kommersielle lotterier har for øvrig alltid $E(X)$ under loddprisen, ellers gikk arrangøren konkurs.

Oppsummering: å regne på det usikre

Nettbutikkens bemanningsproblem fra innledningen er ikke lenger gjetning. En stokastisk variabel $X$ gjør usikre utfall til tall vi kan regne på, og sannsynlighetsfordelingen — tabellen over $P(X = x)$ for alle mulige verdier — er hele beskrivelsen. Kontrollkravene er at sannsynlighetene er ikke-negative og summerer til 1.

Fra fordelingen henter vi nøkkeltallene. Forventningsverdien $E(X) = \sum x_i p_i$ er det veide gjennomsnittet — det du får per gang i det lange løp. Variansen $\text{Var}(X) = \sum (x_i - E(X))^2 p_i$, eller den regnevennlige varianten $E(X^2) - [E(X)]^2$, måler spredningen, og standardavviket $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ oversetter den tilbake til samme enhet som $X$ — kroner, kunder eller reklamasjoner.

Regnereglene gjør verktøyet skalerbart: $E(aX + b) = aE(X) + b$ og $\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$, og for uavhengige variabler adderes både forventninger og varianser. Slik kan en bedrift gå fra fordelingen for ett produkt til risikoen i hele porteføljen.

Lotterieksempelet samlet trådene: forventet gevinst 66,5 kr mot loddpris 50 kr ga positiv forventet netto — men standardavviket på 176 kr minnet oss om at gjennomsnittet skjuler store svingninger. Den doble vurderingen, forventning og risiko, er selve grunnmuren i økonomisk tenkning om usikkerhet. I neste hovedkapittel gir vi de viktigste fordelingene navn og formler — binomisk, hypergeometrisk og normalfordelingen.