Tilbake
5.1
Kombinatorikk

5.1 Kombinatorikk

Alle fag for VG2

Systematisk telling med permutasjoner og kombinasjoner.

55 min
17 oppgaver
MultiplikasjonsprinsippetPermutasjonKombinasjonFakultet
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 17 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Hva er kombinatorikk?

Kombinatorikk handler om systematisk telling. Vi skal lære metoder for å telle antall mulige utfall uten å liste opp alle sammen.

Eksempel: Hvor mange forskjellige PIN-koder med 4 siffer finnes det? Å liste opp alle er upraktisk, men med kombinatorikk kan vi beregne dette raskt.

I dette kapittelet skal vi se på:
- Multiplikasjonsprinsippet
- Permutasjoner (ordnede utvalg)
- Kombinasjoner (uordnede utvalg)

Multiplikasjonsprinsippet

Multiplikasjonsprinsippet er grunnlaget for all kombinatorikk:

> Hvis en prosess kan gjennomfores i kk trinn, der trinn 1 kan gjores pa n1n_1 mater, trinn 2 kan gjores pa n2n_2 mater (uavhengig av trinn 1), osv., sa er totalt antall mater a gjennomfore hele prosessen:
> n1⋅n2⋅n3⋅…⋅nkn_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \ldots \cdot n_k

Multiplikasjonsprinsippet
Hvis vi skal gjore kk uavhengige valg, og det forste valget kan gjores pa n1n_1 mater, det andre pa n2n_2 mater, osv., er totalt antall muligheter:

n1⋅n2⋅n3⋅…⋅nkn_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \ldots \cdot n_k

✏️Eksempel 1: Antrekk

En person har 4 forskjellige skjorter og 3 forskjellige bukser. Hvor mange forskjellige antrekk kan personen velge?

Losning:

Vi bruker multiplikasjonsprinsippet:

- Valg av skjorte: 4 muligheter
- Valg av bukse: 3 muligheter

Totalt antall antrekk = 4⋅3=124 \cdot 3 = 12

Trediagram:

Skjorte 1 ─┬─ Bukse 1 → Antrekk 1
           ├─ Bukse 2 → Antrekk 2
           └─ Bukse 3 → Antrekk 3

Skjorte 2 ─┬─ Bukse 1 → Antrekk 4
           ├─ Bukse 2 → Antrekk 5
           └─ Bukse 3 → Antrekk 6

Skjorte 3 ─┬─ Bukse 1 → Antrekk 7
           ├─ Bukse 2 → Antrekk 8
           └─ Bukse 3 → Antrekk 9

Skjorte 4 ─┬─ Bukse 1 → Antrekk 10
           ├─ Bukse 2 → Antrekk 11
           └─ Bukse 3 → Antrekk 12

Svaret er 12 antrekk.

✏️Eksempel 2: PIN-koder

Hvor mange forskjellige 4-sifrede PIN-koder finnes det?

Losning:

En PIN-kode bestar av 4 siffer, der hvert siffer kan være fra 0 til 9.

For hvert siffer har vi 10 muligheter (0, 1, 2, ..., 9).

Multiplikasjonsprinsippet gir:

10⋅10⋅10⋅10=104=10 00010 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000

Det finnes 10 000 forskjellige PIN-koder.

📝Oppgave 5.1.1

Et spisested tilbyr 3 forretter, 5 hovedretter og 4 desserter. Hvor mange forskjellige treretters menyer kan man sette sammen?

📝Oppgave 5.1.2

Et passord skal besta av 3 bokstaver (fra A til Z) etterfulgt av 2 siffer (fra 0 til 9). Hvor mange forskjellige passord kan lages?

Fakultet

Nar vi skal ordne nn objekter i rekkefolge, bruker vi fakultet.

Fakultet
For et positivt heltall nn er nn fakultet definert som:

n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅…⋅2⋅1n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1

Spesielt er 0!=10! = 1 (per definisjon).

Eksempler:
- 5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120
- 4!=4⋅3⋅2⋅1=244! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
- 3!=3⋅2⋅1=63! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

✏️Eksempel 3: Rekkefolge av personer

Pa hvor mange mater kan 5 personer stille seg i ko?

Losning:

Vi skal ordne 5 personer i rekkefolge.

- Forste plass: 5 muligheter
- Andre plass: 4 muligheter (en person er brukt)
- Tredje plass: 3 muligheter
- Fjerde plass: 2 muligheter
- Femte plass: 1 mulighet

Totalt: 5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

Det er 120 mater a stille 5 personer i ko.

📝Oppgave 5.1.3

Regn ut folgende:

a
6!6!
b
8!6!\displaystyle \frac{8!}{6!}
c
10!8!⋅2!\displaystyle \frac{10!}{8! \cdot 2!}
Løs oppgavenTren

Permutasjoner

En permutasjon er et ordnet utvalg der rekkefolgen har betydning.

Permutasjoner
Antall mater a velge rr objekter fra nn forskjellige objekter nar rekkefolgen har betydning (ordnet utvalg):

P(n,r)=n!(n−r)!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅…⋅(n−r+1)P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-r+1)

Spesialtilfelle: Nar vi ordner alle nn objekter, far vi P(n,n)=n!P(n,n) = n!

✏️Eksempel 4: Pallplasser

I et lokalt lop deltar 8 personer. Pa hvor mange mater kan gull, solv og bronse fordeles?

Losning:

Vi skal velge 3 personer fra 8, der rekkefolgen har betydning (gull ≠ solv ≠ bronse).

P(8,3)=8!(8−3)!=8!5!=8⋅7⋅6=336P(8,3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336

Alternativt:
- Gull: 8 muligheter
- Solv: 7 muligheter
- Bronse: 6 muligheter

Totalt: 8⋅7⋅6=3368 \cdot 7 \cdot 6 = 336

Det er 336 mater a fordele pallplassene.

📝Oppgave 5.1.4

En klubb med 12 medlemmer skal velge president, visepresident og sekretaer. Pa hvor mange mater kan dette gjores?

📝Oppgave 5.1.5

Et bibliotek har 7 forskjellige boker som skal plasseres pa en hylle. Pa hvor mange mater kan bokene ordnes?

Kombinasjoner

En kombinasjon er et uordnet utvalg der rekkefolgen ikke har betydning.

Kombinasjoner
Antall mater a velge rr objekter fra nn forskjellige objekter nar rekkefolgen ikke har betydning (uordnet utvalg):

C(n,r)=(nr)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

Dette kalles ogsa "n over r" eller binomialkoeffisienten.

Sammenheng med permutasjoner:
C(n,r)=P(n,r)r!C(n,r) = \frac{P(n,r)}{r!}

Vi deler pa r!r! fordi vi ikke bryr oss om rekkefolgen innad i utvalget.

✏️Eksempel 5: Lottotrekning

I en forenklet lottotrekning skal 6 tall trekkes fra tallene 1 til 34. Hvor mange forskjellige kombinasjoner finnes?

Losning:

Her er rekkefolgen uviktig - det spiller ingen rolle om 7 trekkes for eller etter 23.

C(34,6)=(346)=34!6!(34−6)!=34!6!⋅28!C(34,6) = \binom{34}{6} = \frac{34!}{6!(34-6)!} = \frac{34!}{6! \cdot 28!}

Vi regner:
=34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅296⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1= \frac{34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}

=34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29720= \frac{34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29}{720}

=968 330 880720=1 344 904= \frac{968\,330\,880}{720} = 1\,344\,904

Det finnes 1 344 904 forskjellige kombinasjoner.

✏️Eksempel 6: Komitevalg

Fra en gruppe pa 10 studenter skal det velges en komite pa 4 personer. Pa hvor mange mater kan komiteen velges?

Losning:

Her har rekkefolgen ingen betydning - alle komitemedlemmer er likeverdige.

C(10,4)=(104)=10!4!⋅6!=10⋅9⋅8⋅74⋅3⋅2⋅1=504024=210C(10,4) = \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5040}{24} = 210

Det er 210 mater a velge komiteen.

📝Oppgave 5.1.6

Regn ut folgende:

a
(73)\binom{7}{3}
b
(82)\binom{8}{2}
c
(66)\binom{6}{6}
d
(50)\binom{5}{0}
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 5.1.7

En handballklubb har 15 spillere. Treneren skal velge ut 7 spillere til en kamp. Pa hvor mange mater kan laget velges?

Nar bruker vi hva?

SituasjonFormelEksempel
Rekkefolgen tellerP(n,r)=n!(n−r)!\displaystyle P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}Pallplasser, PIN-koder
Rekkefolgen teller ikkeC(n,r)=n!r!(n−r)!\displaystyle C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}Lotteri, velge lag

Huskeregel:
- Permutasjon: "Posisjon matters" (P)
- Kombinasjon: "Collection only" (C)
📝Oppgave 5.1.8

Avgjor om det er permutasjon eller kombinasjon, og beregn antallet:

a

Velge 3 representanter fra en gruppe pa 10 personer

b

Dele ut forste-, andre- og tredjepremie til 3 av 10 deltakere

c

Velge 2 kort fra en kortstokk med 52 kort

Løs oppgavenTren

Kombinatorikk og sannsynlighet

Kombinatorikk er grunnlaget for a beregne sannsynligheter i situasjoner med like sannsynlige utfall:

P(A)=Antall gunstige utfallAntall mulige utfallP(A) = \frac{\text{Antall gunstige utfall}}{\text{Antall mulige utfall}}

Ved a bruke kombinatorikk kan vi telle bade teller og nevner systematisk.

✏️Eksempel 7: Pokerhender

Fra en kortstokk med 52 kort trekkes 5 kort tilfeldig. Hva er sannsynligheten for a fa noyaktig 3 ess?

Losning:

Antall mulige utfall:
Vi velger 5 kort fra 52:
(525)=52!5!⋅47!=2 598 960\binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = 2\,598\,960

Antall gunstige utfall:
- Velge 3 ess fra 4: (43)=4\binom{4}{3} = 4
- Velge 2 andre kort fra de 48 gjenværende: (482)=48⋅472=1 128\displaystyle \binom{48}{2} = \frac{48 \cdot 47}{2} = 1\,128

Antall gunstige = 4⋅1 128=4 5124 \cdot 1\,128 = 4\,512

Sannsynlighet:
P(3 ess)=4 5122 598 960≈0,00174≈0,17%P(3 \text{ ess}) = \frac{4\,512}{2\,598\,960} \approx 0{,}00174 \approx 0{,}17\%

Sannsynligheten for noyaktig 3 ess er ca. 0,17%.

📝Oppgave 5.1.9

En klasse har 12 jenter og 8 gutter. Det skal trekkes en gruppe pa 5 elever tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at gruppen bestar av noyaktig 3 jenter og 2 gutter?

📝Oppgave 5.1.10

En veske inneholder 6 rode og 4 bla kuler. Det trekkes 3 kuler tilfeldig uten tilbakelegging. Finn sannsynligheten for at:

a

Alle tre kulene er rode

b

Noyaktig 2 kuler er rode

c

Minst 1 kule er bla

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 5.1.11

Et sykehus har 5 leger og 8 sykepleiere. Det skal dannes et team pa 4 personer som ma inneholde minst 1 lege. Pa hvor mange mater kan teamet settes sammen?

📝Oppgave 5.1.12

I Lotto velges 7 tall fra tallene 1-34. Det trekkes ogsa 3 tilleggstall. Hva er sannsynligheten for a fa 4 rette pluss 1 tilleggstall?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Multiplikasjonsprinsippet: Antall kombinasjoner av uavhengige valg er n1⋅n2⋅…⋅nkn_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k.
- Fakultet: n!=n(n−1)⋯2⋅1n! = n(n-1)\cdots 2 \cdot 1 — antall måter å ordne nn objekter i rekkefølge.
- Permutasjoner (ordnet utvalg): nPr=n!(n−r)!nPr = \dfrac{n!}{(n-r)!}.
- Kombinasjoner (uordnet utvalg): (nr)=n!r!(n−r)!\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}.
- Kombinatorikk i sannsynlighet: P=antall gunstigeantall muligeP = \dfrac{\text{antall gunstige}}{\text{antall mulige}} når utfallene er like sannsynlige.

Nøkkelbegreper


BegrepForklaring
MultiplikasjonsprinsippetGang antall muligheter i hvert valg
Fakultetn!n! — antall ordninger av nn objekter
PermutasjonOrdnet utvalg uten tilbakelegging
KombinasjonUordnet utvalg uten tilbakelegging

Viktige formler


- nPr=n!(n−r)!nPr = \dfrac{n!}{(n-r)!}
- (nr)=n!r!(n−r)!\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.