5.2 Betinget sannsynlighet | Matematikk S1

Betinget sannsynlighet og uavhengighet.

55 min

17 oppgaver

Betinget sannsynlighetUavhengighetMultiplikasjonsregelenTredjagram

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Kombinatorikk

Brukes videre i

5.3Bayes' setning

Betinget sannsynlighet

Ofte ønsker vi å finne sannsynligheten for at en hendelse A inntreffer, gitt at vi allerede vet at en annen hendelse B har inntruffet. Dette kalles betinget sannsynlighet.

Eksempel: Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev består eksamen, gitt at eleven har levert alle innleveringene?

Notasjon: $P(A|B)$ leses "sannsynligheten for A gitt B".

Betinget sannsynlighet

A

Intuisjon bak formelen

Når vi vet at $B$ har inntruffet, begrenser vi oss til utfall i $B$ . Da blir $B$ vår nye «totalmengde», og vi ser på hvor stor del av $B$ som også tilhører $A$ .

$P(A|B)$ er forholdet mellom snittet $A \cap B$ og hele $B$ .

✏️Eksempel 1: Korttrekning

Fra en kortstokk trekkes ett kort. Gitt at kortet er et bildekort (knekt, dame eller konge), hva er sannsynligheten for at det er hjerter?

Løsning:

La:
- $A$ = kortet er hjerter
- $B$ = kortet er et bildekort

En kortstokk har 52 kort, 12 bildekort (3 i hver farge), og 3 hjerter-bildekort.

Metode 1: Bruk formelen
$P(B) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$
$P(A \cap B) = \frac{3}{52} \quad \text{(3 hjerter-bildekort)}$
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3/52}{12/52} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Metode 2: Direkte tenkning

Gitt at vi har et bildekort, er det 12 mulige kort.
Av disse er 3 hjerter.
$P(A|B) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 25\%$

Svar: Sannsynligheten er 25% eller 1/4.

📝Oppgave 5.2.1

I en klasse med 30 elever spiller 18 fotball og 12 håndball. 6 elever spiller både fotball og håndball. En tilfeldig elev velges. Gitt at eleven spiller fotball, hva er sannsynligheten for at eleven også spiller håndball?

📝Oppgave 5.2.2

To terninger kastes. Gitt at summen er minst 10, hva er sannsynligheten for at minst en terning viser 6?

Produktregelen

Fra definisjonen av betinget sannsynlighet kan vi utlede produktregelen:

📜Produktregelen

For to hendelser

A

B

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$

For tre hendelser:
$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)$

✏️Eksempel 2: Trekning uten tilbakelegging

En veske inneholder 5 røde og 3 blå kuler. Det trekkes to kuler uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for at begge kulene er røde?

Løsning med trediagram:

       Første trekning
              │
      ┌───────┴───────┐
  Rød (5/8)       Blå (3/8)
  ┌───┴───┐       ┌───┴───┐
 Rød     Blå     Rød     Blå
(4/7)   (3/7)   (5/7)   (2/7)
  │       │       │       │
 RR      RB      BR      BB

La:
- $A$ = første kule er rød
- $B$ = andre kule er rød

$P(A) = \frac{5}{8}$
$P(B|A) = \frac{4}{7} \quad \text{(4 røde igjen av 7 kuler)}$

Produktregelen:
$\begin{aligned} P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B|A) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \\ &\approx 35{,}7\% \end{aligned}$

Svar: Sannsynligheten for to røde kuler er $\displaystyle \frac{5}{14} \approx 35{,}7\%$ .

📝Oppgave 5.2.3

En kortstokk har 52 kort. Det trekkes to kort uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for at begge kortene er ess?

📝Oppgave 5.2.4

En skuff inneholder 10 sorte og 6 hvite sokker. Du trekker 2 sokker tilfeldig i mørket (uten tilbakelegging). Hva er sannsynligheten for at du får et matchende par?

Uavhengige hendelser

To hendelser er uavhengige hvis det at den ene inntreffer ikke påvirker sannsynligheten for den andre.

Uavhengige hendelser

A

Viktig om uavhengighet

Uavhengighet er ikke det samme som disjunkte hendelser!

- Disjunkte hendelser ( $A \cap B = \emptyset$ ): Kan ikke inntreffe samtidig
- Uavhengige hendelser: En hendelse påvirker ikke sannsynligheten for den andre

Disjunkte hendelser med positiv sannsynlighet er faktisk avhengige: Hvis $A$ inntreffer, vet vi at $B$ ikke kan inntreffe.

✏️Eksempel 3: Uavhengige hendelser

En mynt kastes og en terning kastes. Hva er sannsynligheten for å få kron og 6?

Løsning:

La:
- $A$ = mynt viser kron
- $B$ = terning viser 6

Disse hendelsene er uavhengige (myntkastet påvirker ikke terningkastet).

$P(A) = \frac{1}{2}, \quad P(B) = \frac{1}{6}$

For uavhengige hendelser:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \approx 8{,}3\%$

Svar: Sannsynligheten er $\displaystyle \frac{1}{12} \approx 8{,}3\%$ .

✏️Eksempel 4: Teste for uavhengighet

I en undersøkelse av 100 elever fikk man følgende data:

Består	Stryker	Sum
Leverer innleveringer	54	6	60
Leverer ikke innleveringer	24	16	40
Sum	78	22	100

Er hendelsene "leverer innleveringer" og "består" uavhengige?

Løsning:

La:
- $A$ = eleven består
- $B$ = eleven leverer innleveringer

Vi sjekker om $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ :

$P(A) = \frac{78}{100} = 0{,}78$
$P(B) = \frac{60}{100} = 0{,}60$
$P(A) \cdot P(B) = 0{,}78 \cdot 0{,}60 = 0{,}468$

$P(A \cap B) = \frac{54}{100} = 0{,}54$

Siden $0{,}54 \neq 0{,}468$ , er hendelsene ikke uavhengige.

Vi kan også se at:
$P(A|B) = \frac{54}{60} = 0{,}90 \neq P(A) = 0{,}78$

Svar: Elever som leverer innleveringer, har høyere sannsynlighet for å bestå.

📝Oppgave 5.2.5

En terning kastes tre ganger. Hva er sannsynligheten for å få 6 alle tre gangene?

📝Oppgave 5.2.6

En maskin produserer deler der 5% er defekte. Tre deler velges tilfeldig og uavhengig. Hva er sannsynligheten for at:

Alle tre er defekte

Ingen er defekte

Minst en er defekt

Løs oppgaven

Totalsetningen (setningen om total sannsynlighet)

Totalsetningen lar oss beregne sannsynligheten for en hendelse ved å dele opp i gjensidig utelukkende tilfeller.

📜Totalsetningen

B_1, B_2, \ldots, B_n

være gjensidig utelukkende hendelser som dekker hele utfallsrommet (en partisjon). Da er:

$\begin{aligned} &P(A) \\ = {}&P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) + \ldots + P(A|B_n) \cdot P(B_n) \end{aligned}$

Ofte brukt med to tilfeller ( $B$ og $\overline{B}$ ):
$P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B})$

✏️Eksempel 5: Totalsetningen med trediagram

En fabrikk har to maskiner, M1 og M2. M1 produserer 60% av alle deler og M2 produserer 40%. Av delene fra M1 er 2% defekte, mens 5% av delene fra M2 er defekte. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt del er defekt?

Trediagram:

             Start
               │
       ┌───────┴───────┐
   M1 (0,60)       M2 (0,40)
   ┌───┴───┐       ┌───┴───┐
Defekt    OK    Defekt    OK
(0,02)  (0,98)  (0,05)  (0,95)

La:
- $D$ = defekt del
- $M_1$ = del fra maskin 1
- $M_2$ = del fra maskin 2

Totalsetningen:
$P(D) = P(D|M_1) \cdot P(M_1) + P(D|M_2) \cdot P(M_2)$
$P(D) = 0{,}02 \cdot 0{,}60 + 0{,}05 \cdot 0{,}40$
$P(D) = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032 = 3{,}2\%$

Svar: Sannsynligheten for en defekt del er 3,2%.

📝Oppgave 5.2.7

En test for en sykdom har følgende egenskaper: 95% av de syke tester positivt (sensitivitet) og 90% av de friske tester negativt (spesifisitet). I befolkningen er 1% smittet. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig person tester positivt?

📝Oppgave 5.2.8

En veske inneholder 3 røde og 2 blå kuler. En kule trekkes tilfeldig. Hvis kulen er rød, legges den tilbake og 2 røde kuler legges til. Hvis kulen er blå, legges ingen kuler tilbake. Deretter trekkes en ny kule. Hva er sannsynligheten for at den andre kulen er rød?

📝Oppgave 5.2.9

I en by er 70% av innbyggerne kvinner og 30% menn. 40% av kvinnene og 30% av mennene bruker kollektivtransport.

Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig innbygger bruker kollektivtransport?

Gitt at en person bruker kollektivtransport, hva er sannsynligheten for at personen er kvinne?

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.2.10

Et firma har tre avdelinger: A, B og C. Avdeling A har 50 ansatte, B har 30 og C har 20. I avdeling A er 40% kvinner, i B er 60% kvinner, og i C er 50% kvinner. En ansatt velges tilfeldig. Gitt at personen er kvinne, hva er sannsynligheten for at hun jobber i avdeling B?

📝Oppgave 5.2.11

En mynt er enten rettferdig (50% kron) eller skjev (70% kron). Det er 60% sannsynlig at mynten er rettferdig. Mynten kastes og viser kron. Hva er den oppdaterte sannsynligheten for at mynten er rettferdig?

📝Oppgave 5.2.12

I et spill kastes en terning først. Hvis terningen viser 1 eller 2, trekkes et kort fra en bunke med 3 røde og 2 svarte kort. Ellers trekkes fra en bunke med 2 røde og 4 svarte kort. Hva er sannsynligheten for å trekke et rødt kort? Gitt at kortet er rødt, hva er sannsynligheten for at terningen viste 1 eller 2?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Betinget sannsynlighet: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ — sannsynligheten for $A$ gitt at $B$ har skjedd.
- Produktregelen: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$ — nyttig ved trekning uten tilbakelegging.
- Uavhengighet: $A$ og $B$ er uavhengige hvis $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ , ekvivalent $P(A \mid B) = P(A)$ .
- Totalsetningen: $P(B) = P(A_1)P(B \mid A_1) + P(A_2)P(B \mid A_2) + \ldots$ når $A_1, A_2, \ldots$ deler opp utfallsrommet.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Betinget sannsynlighet	$P(A \mid B)$
Produktregelen	$P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)$
Uavhengige hendelser	$P(A \cap B) = P(A)P(B)$
Totalsetningen	Vei sammen betingede sannsynligheter

Viktige formler

P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

P(B) = \sum_i P(A_i)P(B \mid A_i)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.