5.2 Betinget sannsynlighet

Når ny informasjon endrer alt

En studieveileder ved et universitet sitter med tallene fra fjorårets eksamen. Av alle studentene besto 78 %. Men så stiller en kollega et mer interessant spørsmål: «Hva er sannsynligheten for at en student består, gitt at studenten har gjort alle de obligatoriske innleveringene?» Plutselig handler det ikke lenger om hele kullet, men om en bestemt delgruppe — og svaret viser seg å bli et helt annet.

Dette er kjernen i betinget sannsynlighet: hvordan sannsynligheter endrer seg når vi får ny informasjon. Vi skriver $P(A|B)$ og leser det «sannsynligheten for $A$ gitt $B$». Tankegangen er overalt i samfunnet: Hva er sannsynligheten for at en pasient er syk, gitt en positiv test? At en del er defekt, gitt at den kommer fra en bestemt maskin? At en velger stemmer på et parti, gitt aldersgruppen?

I dette kapittelet skal vi først definere betinget sannsynlighet presist, deretter utlede produktregelen for trekninger uten tilbakelegging, lære å avgjøre om hendelser er uavhengige, og til slutt bruke totalsetningen til å veie sammen sannsynligheter fra ulike kilder — slik kvalitetskontrollører i industrien gjør hver dag.

Definisjonen — å krympe utfallsrommet

Hva betyr egentlig «gitt at»? Tenk deg et venndiagram med hele utfallsrommet $S$, og to overlappende hendelser $A$ og $B$. Når vi får vite at $B$ har inntruffet, kan vi glemme alt utenfor $B$ — sirkelen $B$ blir vårt nye, krympede utfallsrom. Spørsmålet «hvor sannsynlig er $A$ nå?» blir da: hvor stor del av $B$ tilhører også $A$? Det gir definisjonen, som krever $P(B) > 0$:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

der $P(A \cap B)$ er sannsynligheten for at både $A$ og $B$ inntreffer.

La oss prøve den på en kortstokk. Du trekker ett kort og får vite at det er et bildekort (knekt, dame eller konge). Hva er sannsynligheten for at det er hjerter? La $A$ være «hjerter» og $B$ «bildekort». Kortstokken har 12 bildekort, hvorav 3 er hjerter, så $\displaystyle P(B) = \frac{12}{52}$ og $\displaystyle P(A \cap B) = \frac{3}{52}$. Formelen gir

$$P(A|B) = \frac{3/52}{12/52} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$

Men legg merke til at vi kunne tenkt direkte: gitt et bildekort er det 12 muligheter, og 3 av dem er hjerter — altså $\displaystyle \frac{1}{4}$. Begge veier fører til 25 %. Det er nettopp dette «krympe utfallsrommet»-bildet som gjør betinget sannsynlighet håndterlig: tell på nytt innenfor den nye totalmengden.

Produktregelen — sannsynlighet trinn for trinn

Snur vi definisjonen på hodet, får vi et av de mest brukte verktøyene i sannsynlighetsregning. Ganger vi begge sider av definisjonen med $P(B)$, står vi igjen med produktregelen:

$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$$

I ord: sannsynligheten for at to ting begge skjer, er sannsynligheten for den første ganget med den betingede sannsynligheten for den andre. Regelen kan forlenges til tre hendelser: $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)$ — hvert nytt ledd er betinget av alt som har skjedd før.

Produktregelen skinner når vi trekker uten tilbakelegging. Tenk deg en veske med 5 røde og 3 blå kuler, og at du trekker to kuler. Hva er sannsynligheten for at begge er røde? Tegn gjerne et trediagram: første gren deler seg i rød ($\displaystyle \frac{5}{8}$) og blå ($\displaystyle \frac{3}{8}$). Har du trukket en rød, ligger det 4 røde igjen blant 7 kuler, så den betingede sannsynligheten for rød nummer to er $\displaystyle \frac{4}{7}$. Produktregelen gir

$$P(\text{rød} \cap \text{rød}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \approx 35{,}7\,\%$$

Legg merke til logikken i trediagrammet: du ganger langs grenene. Hver gren bærer en betinget sannsynlighet som tar hensyn til alt som allerede er trukket. Samme tankegang brukes når et meningsmålingsbyrå trekker respondenter fra et register, eller når en kvalitetskontrollør plukker komponenter fra et parti — hvert trekk endrer sammensetningen av det som er igjen.

Uavhengighet — når informasjonen ikke betyr noe

Noen ganger er den nye informasjonen verdiløs: at mynten viste kron, forteller ingenting om hva terningen vil vise. Da sier vi at hendelsene er uavhengige, og definisjonen er presis:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Ekvivalent kan vi si at $P(A|B) = P(A)$ — å få vite $B$ endrer ikke sannsynligheten for $A$. Kaster du mynt og terning, er $\displaystyle P(\text{kron} \cap \text{seks}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$. Klassiske eksempler er to terningkast, mynt pluss terning, og trekning med tilbakelegging.

Men pass på en klassisk felle: uavhengighet er ikke det samme som disjunkte hendelser. Disjunkte hendelser ($A \cap B = \emptyset$) kan ikke skje samtidig — og nettopp derfor er de sterkt avhengige når begge har positiv sannsynlighet: skjer $A$, vet du med sikkerhet at $B$ ikke skjedde.

Uavhengighet kan også testes mot data, og her vender vi tilbake til studieveilederen. I en undersøkelse av 100 studenter gjorde 60 obligene, 78 besto, og 54 gjorde begge deler. Er «gjør obliger» og «består» uavhengige? Vi sammenligner: $P(A) \cdot P(B) = 0{,}78 \cdot 0{,}60 = 0{,}468$, mens $P(A \cap B) = 0{,}54$. Siden $0{,}54 \neq 0{,}468$ er hendelsene avhengige. Enda tydeligere: $\displaystyle P(\text{består}|\text{obliger}) = \frac{54}{60} = 0{,}90$, klart høyere enn de 78 % som gjelder hele kullet. Akkurat slike krysstabell-tester bruker forskere når de leter etter sammenhenger i spørreundersøkelser.

Totalsetningen — å veie sammen kildene

Vi avslutter på en fabrikk, der en kvalitetsansvarlig får et tilsynelatende enkelt spørsmål: «Hvor stor andel av delene våre er defekte?» Problemet er at delene kommer fra to maskiner med ulik kvalitet. Maskin M1 lager 60 % av produksjonen med 2 % defekte; M2 lager 40 % med 5 % defekte. Hva er den samlede defektandelen?

Trikset er å dele opp i tilfeller. Hendelsene $M_1$ og $M_2$ er gjensidig utelukkende og dekker hele produksjonen — de utgjør en partisjon av utfallsrommet. Da sier totalsetningen (setningen om total sannsynlighet) at vi kan regne sannsynligheten for «defekt» vei for vei og legge sammen:

$$P(D) = P(D|M_1) \cdot P(M_1) + P(D|M_2) \cdot P(M_2) = 0{,}02 \cdot 0{,}60 + 0{,}05 \cdot 0{,}40 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$$

Altså 3,2 % defekte totalt. I trediagrammet er dette å gange langs hver gren som ender i «defekt», og så summere grenene.

Generelt, hvis $B_1, B_2, \ldots, B_n$ er gjensidig utelukkende og til sammen dekker hele utfallsrommet:

$$P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) + \ldots + P(A|B_n) \cdot P(B_n)$$

Oftest brukes den med bare to tilfeller, en hendelse $B$ og komplementet $\overline{B}$: $P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B})$.

Totalsetningen er arbeidshesten bak utallige beregninger i samfunnet: et forsikringsselskap veier sammen skaderisiko for ulike kundegrupper, en epidemiolog veier sammen smitterater i ulike aldersgrupper. Og i neste kapittel skal vi snu hele resonnementet på hodet med Bayes' setning: gitt at delen er defekt — hvilken maskin kom den mest sannsynlig fra?

Oppsummering: informasjonens pris

Vi startet hos studieveilederen, som oppdaget at sannsynligheten for å bestå hoppet fra 78 % til 90 % i det øyeblikket vi visste at studenten hadde gjort obligene. Det er essensen i betinget sannsynlighet: ny informasjon krymper utfallsrommet, og vi regner på nytt innenfor det som er igjen. Formelt: $\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Fra definisjonen fulgte produktregelen, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$, som lar oss regne trinn for trinn gjennom et trediagram — uunnværlig ved trekning uten tilbakelegging, der hvert trekk endrer sammensetningen av det som gjenstår.

Vi så også når informasjon ikke har verdi: hendelser er uavhengige nettopp når $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, eller ekvivalent $P(A|B) = P(A)$. Det ga oss både en regneregel for ting som mynt- og terningkast, og en test vi kan kjøre på data i en krysstabell. Og vi avslørte fellen: disjunkte hendelser er ikke uavhengige — de er ekstremt avhengige.

Til slutt samlet totalsetningen trådene: når $B_1, \ldots, B_n$ deler opp utfallsrommet, er $P(A) = \sum_i P(A|B_i) \cdot P(B_i)$ — gang langs grenene, summer grenene. Slik fant kvalitetskontrolløren at 3,2 % av fabrikkens deler var defekte.

Men ett spørsmål henger igjen fra fabrikkgulvet: hvis du står med en defekt del i hånden, hvilken maskin er synderen? Å snu betingingen — fra $P(D|M_1)$ til $P(M_1|D)$ — er tema for neste kapittel: Bayes' setning.