6.2 Binomisk fordeling | Matematikk S1

Binomiske forsøk og binomisk fordeling.

60 min

21 oppgaver

Binomisk forsøkBinomisk fordelingForventningStandardavvik

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1Kombinatorikk

Brukes videre i

6.3Normalfordelingen

Binomiske forsøk

Mange situasjoner i virkeligheten kan beskrives som gjentatte forsøk der vi er interessert i antall «suksesser». For eksempel:
- Antall seksere ved 10 terningkast
- Antall riktige svar på en prøve med flervalgsspørsmål
- Antall defekte produkter i en produksjonsserie
- Antall pasienter som blir friske av en behandling

Disse situasjonene har noe til felles: Vi gjør et forsøk flere ganger, og hvert forsøk har to mulige utfall.

Binomisk forsøk

n

For at modellen skal gjelde, må forsøkene være uavhengige. Det betyr at utfallet av ett forsøk ikke påvirker sannsynligheten i de andre.

Eksempel: Hvis du trekker kuler fra en urne med tilbakelegging, er trekkene uavhengige. Uten tilbakelegging er de avhengige, og da gjelder ikke binomisk fordeling (da bruker vi hypergeometrisk fordeling).

Tommelfingerregel: Trekking uten tilbakelegging kan tilnærmes med binomisk fordeling dersom utvalget er lite sammenlignet med populasjonen (under 10 %).

Binomisk sannsynlighet

For å finne sannsynligheten for nøyaktig $k$ suksesser i $n$ forsøk, trenger vi to ting:
1. Sannsynligheten for én bestemt rekkefølge med $k$ suksesser: $p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
2. Antall rekkefølger med $k$ suksesser blant $n$ forsøk: $\binom{n}{k}$

📜Binomisk sannsynlighetsformel

Dersom

X \sim \text{Bin}(n, p)

, er sannsynligheten for nøyaktig

k

suksesser:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n$

der $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ er binomialkoeffisienten.

✏️Eksempel 1: Terningkast

Du kaster en rettferdig terning 4 ganger. Finn sannsynligheten for å få nøyaktig 2 seksere.

Løsning:

Her er $n = 4$ , $\displaystyle p = \frac{1}{6}$ (sannsynlighet for sekser), $k = 2$ .

$P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2$

$= 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} \approx 0{,}1157$

Sannsynligheten er ca. $11{,}6\%$ .

✏️Eksempel 2: Flervalgstest

En flervalgstest har 8 spørsmål, hvert med 4 alternativer (ett riktig). En elev gjetter tilfeldig. Finn sannsynligheten for at eleven får minst 5 riktige.

Løsning:

$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}25)$

$P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)$

$P(X=5) = \binom{8}{5} \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^3 = 56 \cdot 0{,}000977 \cdot 0{,}4219 \approx 0{,}0231$

$P(X=6) = \binom{8}{6} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^2 = 28 \cdot 0{,}000244 \cdot 0{,}5625 \approx 0{,}00385$

$P(X=7) = \binom{8}{7} \cdot 0{,}25^7 \cdot 0{,}75^1 = 8 \cdot 0{,}0000610 \cdot 0{,}75 \approx 0{,}000366$

$P(X=8) = \binom{8}{8} \cdot 0{,}25^8 \cdot 0{,}75^0 = 1 \cdot 0{,}0000153 \approx 0{,}0000153$

$P(X \geq 5) \approx 0{,}0231 + 0{,}00385 + 0{,}000366 + 0{,}0000153 \approx 0{,}0273$

Sannsynligheten er ca. $2{,}7\%$ . Ren gjetting gir svært sjelden 5 eller flere riktige.

📊Utforsk: Binomisk fordeling som stolpediagram

Sannsynlighetsfordelingen til $X \sim \text{Bin}(10,\ 0{,}3)$ . Hver stolpe viser $P(X = k)$ . Endre $n$ og $p$ i kommandoen og se hvordan formen på fordelingen endrer seg.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

En mynt kastes 5 ganger. Finn sannsynligheten for nøyaktig 3 kron.

Finn sannsynligheten for minst 4 kron.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Avgjør om følgende er binomiske forsøk. Begrunn svaret.

Antall seksere ved 10 terningkast.

Antall røde kuler ved trekking av 5 kuler uten tilbakelegging fra en urne med 20 kuler.

Antall gutter blant 6 nyfødte ved et sykehus.

📝Oppgave 3

X \sim \text{Bin}(6, 0{,}3)

. Beregn

P(X = 0)

P(X = 1)

P(X = 2)

📝Oppgave 4

En kvalitetskontroll viser at 5 % av produktene fra en fabrikk er defekte. Det trekkes et utvalg på 10 produkter. Finn sannsynligheten for at det er nøyaktig 1 defekt produkt i utvalget.

📝Oppgave 5

Et legemiddel har 70 % sjanse for å virke. 8 pasienter behandles. Finn sannsynligheten for at legemiddelet virker på minst 6 av dem.

Forventningsverdi og varians for binomisk fordeling

For binomisk fordeling finnes det enkle formler for forventningsverdi og varians.

📜Forventningsverdi og varians for binomisk fordeling

Dersom

X \sim \text{Bin}(n, p)

, er:

$E(X) = np$
$\text{Var}(X) = np(1-p)$
$\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

Eksempel: For $X \sim \text{Bin}(100, 0{,}3)$ :
- $E(X) = 100 \cdot 0{,}3 = 30$
- $\text{Var}(X) = 100 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 21$
- $\sigma = \sqrt{21} \approx 4{,}58$

✏️Eksempel 3: Forventningsverdi og standardavvik

En skarpskytter treffer blinken 80 % av gangene. Hun skyter 50 skudd. Hva er forventet antall treff, og hva er standardavviket?

Løsning:

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}8)$

$E(X) = np = 50 \cdot 0{,}8 = 40$

$\text{Var}(X) = np(1-p) = 50 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 8$

$\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83$

Vi forventer ca. 40 treff, med et standardavvik på ca. 2,8 treff.

Kumulative sannsynligheter

Ofte er vi interessert i $P(X \leq k)$ eller $P(X \geq k)$ i stedet for $P(X = k)$ .

Kumulativ sannsynlighet:
$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i) = P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k)$

Nyttige sammenhenger:
- $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$
- $P(X < k) = P(X \leq k-1)$
- $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a-1)$

I praksis bruker vi kalkulator eller tabell for kumulative binomiske sannsynligheter når $n$ er stor.

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

X \sim \text{Bin}(20, 0{,}4)

. Finn

E(X)

\sigma

Y \sim \text{Bin}(50, 0{,}1)

. Finn

E(Y)

\sigma

📝Oppgave 7

En vaksine har 90 % effektivitet. 15 personer vaksineres. Finn sannsynligheten for at alle 15 blir beskyttet.

📝Oppgave 8

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt nordmann er venstrehendt er ca. 10 %. I en klasse med 25 elever, finn sannsynligheten for at det er nøyaktig 3 venstrehendte.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

X \sim \text{Bin}(10, 0{,}5)

. Finn

P(X \leq 3)

Finn $P(X \geq 7)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

I en spørreundersøkelse svarer 60 % at de støtter et forslag. Du spør 12 tilfeldige personer. Finn sannsynligheten for at færre enn halvparten i utvalget støtter forslaget.

📝Oppgave 11

Hva er den mest sannsynlige verdien (typetallet) for $X \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$ ? Beregn $P(X = k)$ for $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ og finn den høyeste.

📝Oppgave 12

Et flyselskap vet at 5 % av passasjerene ikke møter opp. Flyet har 200 seter, og de selger 210 billetter. La $X$ = antall som ikke møter opp.

Finn $E(X)$ og $\sigma$ .

Flyet er overbooket hvis færre enn 10 ikke møter. Finn $P(X < 10)$ med kalkulator.

📝Oppgave 13

En urne inneholder 3 røde og 7 blå kuler. Du trekker 5 kuler med tilbakelegging. Finn sannsynligheten for at du trekker nøyaktig 2 røde kuler, og sammenlign med resultatet uten tilbakelegging (hypergeometrisk).

📝Oppgave 14

En kvalitetskontrollør godkjenner et parti dersom det er høyst 2 defekte i et utvalg på 20. Defektandelen i produksjonen er 8 %. Finn sannsynligheten for at partiet godkjennes.

📝Oppgave 15

I en familie med 4 barn, la $X$ være antall jenter (anta $p = 0{,}5$ ). Sett opp hele sannsynlighetsfordelingen og tegn et stolpediagram. Beregn $E(X)$ og $\sigma$ både med formelen og direkte fra fordelingen.

📝Oppgave 16

Et firma tilbyr en garanti: Hvis mer enn 3 av 20 produkter er defekte, erstattes hele partiet (verdi 10 000 kr). Defektandelen er 10 %. Hva er forventet erstatningskostnad per parti?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Binomisk forsøk: Fast antall $n$ uavhengige delforsøk, hver med to utfall og samme suksesssannsynlighet $p$ .
- Binomisk sannsynlighet: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ .
- Forventning og varians: $E(X) = np$ og $\text{Var}(X) = np(1-p)$ .
- Kumulative sannsynligheter: $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ , og digitale verktøy for $P(X \leq k)$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Binomisk forsøk	$n$ like, uavhengige ja/nei-forsøk
Suksesssannsynlighet	$p$ — lik i alle delforsøk
Binomialkoeffisient	$\binom{n}{k}$ — antall måter å plassere suksessene

Viktige formler

P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

E(X) = np

\text{Var}(X) = np(1-p)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.