6.3 Normalfordelingen | Matematikk S1

Kontinuerlige fordelinger og normalfordelingen.

60 min

23 oppgaver

NormalfordelingStandardnormalfordelingz-verdiNormalfordelingsapproksimasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 23 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.2Binomisk fordeling

Brukes videre i

6.4Hypotesetesting

Normalfordelingen

Normalfordelingen er den viktigste sannsynlighetsfordelingen i statistikk. Den beskriver mange naturlige fenomener:
- Høyde og vekt i en befolkning
- Måleusikkerhet i eksperimenter
- IQ-score og testresultater
- Antall feil i produksjon (ved store tall)

Normalfordelingen er en kontinuerlig fordeling, i motsetning til binomisk fordeling som er diskret. Grafen kalles en klokkeformet kurve (Gausskurve).

Normalfordeling

X

68-95-99,7-regelen

Normalfordelingen har en svært nyttig egenskap som gir oss en tommelfingerregel for hvor stor andel av verdiene som faller innenfor ulike intervaller rundt gjennomsnittet.

📜68-95-99,7-regelen (den empiriske regelen)

For en normalfordelt variabel

X \sim N(\mu, \sigma^2)

gjelder:

$P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0{,}683 \quad (68{,}3\%)$
$P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) \approx 0{,}954 \quad (95{,}4\%)$
$P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997 \quad (99{,}7\%)$

Tolkning:
- Ca. 68 % av verdiene ligger innenfor 1 standardavvik fra gjennomsnittet
- Ca. 95 % ligger innenfor 2 standardavvik
- Ca. 99,7 % ligger innenfor 3 standardavvik

✏️Eksempel 1: 68-95-99,7-regelen

Høyden til voksne menn i Norge er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 180$ cm og $\sigma = 7$ cm. Bruk 68-95-99,7-regelen til å finne omtrentlig andel menn med høyde mellom 166 cm og 194 cm.

Løsning:

$166 = 180 - 2 \cdot 7 = \mu - 2\sigma$
$194 = 180 + 2 \cdot 7 = \mu + 2\sigma$

Intervallet $[166, 194]$ er $\mu \pm 2\sigma$ .

Ifølge 68-95-99,7-regelen ligger ca. 95,4 % av verdiene i dette intervallet.

Omtrent 95 % av norske menn har altså høyde mellom 166 cm og 194 cm.

📊Utforsk: Normalfordelingen og 68-regelen

Tetthetskurven til standard normalfordeling $N(0, 1)$ . Det skraverte arealet mellom $-1$ og $1$ er sannsynligheten $P(-1 \le Z \le 1) \approx 0{,}68$ . Endre grensene til $\pm 2$ og sjekk 95-regelen.

📝Oppgave 1

Vekten til nyfødte er normalfordelt med $\mu = 3{,}5$ kg og $\sigma = 0{,}5$ kg. Bruk 68-95-99,7-regelen til å finne andelen nyfødte med vekt mellom 3,0 kg og 4,0 kg.

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Med $\mu = 180$ og $\sigma = 7$ , bruk 68-95-99,7-regelen til å finne andelen menn som er over 194 cm.

Finn andelen menn under 173 cm.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

En maskin fyller flasker med brus. Volumet er normalfordelt med $\mu = 500$ ml og $\sigma = 3$ ml. Omtrent hvor stor andel av flaskene har mellom 494 og 506 ml?

📝Oppgave 4

IQ-score er normalfordelt med $\mu = 100$ og $\sigma = 15$ . Finn omtrentlig andel av befolkningen med IQ over 130.

Standardnormalfordeling og z-score

For å beregne sannsynligheter nøyaktig (ikke bare med tommelfingerregelen), standardiserer vi til standardnormalfordelingen $Z \sim N(0, 1)$ .

Z-score (standardisering)

X \sim N(\mu, \sigma^2)

✏️Eksempel 2: Beregning med z-score

Høyden til voksne menn er $X \sim N(180, 7^2)$ . Finn sannsynligheten for at en tilfeldig mann er kortere enn 172 cm.

Løsning:

Steg 1: Beregn z-score:
$z = \frac{172 - 180}{7} = \frac{-8}{7} \approx -1{,}14$

Steg 2: Slå opp i normalfordelingstabell (eller bruk kalkulator):
$P(X < 172) = P(Z < -1{,}14) \approx 0{,}1271$

Ca. 12,7 % av menn er kortere enn 172 cm.

✏️Eksempel 3: Sannsynlighet for et intervall

X \sim N(180, 7^2)

. Finn

P(175 < X < 190)

Løsning:

Steg 1: Standardiser begge grensene:
$z_1 = \frac{175 - 180}{7} = -0{,}714 \quad \text{og} \quad z_2 = \frac{190 - 180}{7} = 1{,}429$

Steg 2: Bruk tabell/kalkulator:
$P(175 < X < 190) = P(-0{,}714 < Z < 1{,}429)$
$= P(Z < 1{,}429) - P(Z < -0{,}714)$
$\approx 0{,}9234 - 0{,}2376 = 0{,}6858$

Ca. 68,6 % av menn har høyde mellom 175 og 190 cm.

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

X \sim N(50, 8^2)

. Finn

P(X < 62)

Finn $P(X > 42)$ .

Finn $P(46 < X < 58)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Levetiden til en type lyspære er normalfordelt med $\mu = 1200$ timer og $\sigma = 100$ timer. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig lyspære varer lenger enn 1350 timer.

📝Oppgave 7

En eksamen har normalfordelte resultater med $\mu = 52$ poeng og $\sigma = 12$ poeng. Det kreves 40 poeng for å bestå. Finn andelen som stryker.

📝Oppgave 8

X \sim N(100, 15^2)

. Finn verdien

x_0

slik at

P(X < x_0) = 0{,}90

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Anna fikk 78 poeng på en norskprøve ( $\mu = 65$ , $\sigma = 10$ ) og 82 poeng på en matteprøve ( $\mu = 70$ , $\sigma = 8$ ). På hvilken prøve presterte hun relativt sett best?

Hvilken prosentandel av elevene fikk dårligere enn Anna i hvert fag?

📝Oppgave 10

En maskin produserer skruer med lengde $X \sim N(50{,}0\text{ mm}, 0{,}2^2)$ . Skruer utenfor intervallet $[49{,}5, 50{,}5]$ mm kasseres. Finn andelen som kasseres.

Normalapproksimasjon til binomisk fordeling

Når $n$ er stor, er binomisk fordeling vanskelig å beregne direkte. Heldigvis kan vi bruke normalfordelingen som en tilnærming.

📜Normalapproksimasjon til binomisk fordeling

Dersom

X \sim \text{Bin}(n, p)

n

er tilstrekkelig stor, kan

X

tilnærmes med:

$X \approx N(np, np(1-p))$

Tommelfingerregel: Approksimasjonen er god når:
$np \geq 5 \quad \text{og} \quad n(1-p) \geq 5$

Kontinuitetskorreksjon: Siden vi tilnærmer en diskret fordeling med en kontinuerlig, bør vi bruke korreksjon:
$P(X \leq k) \approx P\left(Z \leq \frac{k + 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$

✏️Eksempel 4: Normalapproksimasjon

X \sim \text{Bin}(100, 0{,}4)

. Finn

P(X \leq 45)

ved hjelp av normalapproksimasjon.

Løsning:

Steg 1: Beregn parametere:
$\mu = np = 100 \cdot 0{,}4 = 40$
$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6} = \sqrt{24} \approx 4{,}899$

Sjekk: $np = 40 \geq 5$ ✓ og $n(1-p) = 60 \geq 5$ ✓

Steg 2: Standardiser med kontinuitetskorreksjon:
$z = \frac{45{,}5 - 40}{4{,}899} = \frac{5{,}5}{4{,}899} \approx 1{,}123$

Steg 3: Slå opp:
$P(X \leq 45) \approx P(Z \leq 1{,}123) \approx 0{,}8693$

📝Oppgave 11

X \sim \text{Bin}(200, 0{,}3)

. Bruk normalapproksimasjon til å finne

P(X \geq 70)

📝Oppgave 12

Et parti med 60 % støtte i befolkningen. I en undersøkelse med 150 personer, hva er sannsynligheten for at mellom 80 og 100 støtter partiet?

📝Oppgave 13

En fabrikk har 2 % feilrate. I et parti på 500 enheter, finn sannsynligheten for at det er mer enn 15 defekte.

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

Forklar hvorfor 68-95-99,7-regelen er et spesialtilfelle av z-score-beregning.

Finn den eksakte sannsynligheten for å være innenfor 1,5 standardavvik fra gjennomsnittet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 15

Temperaturen en gitt dag er normalfordelt med $\mu = 15°C$ og $\sigma = 4°C$ .

Finn sannsynligheten for at temperaturen er over 20°C.

Finn temperaturen som bare 5 % av dagene overstiger.

Finn det symmetriske intervallet rundt $\mu$ som inneholder 90 % av dagene.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 16

En mynt kastes 400 ganger. Bruk normalapproksimasjon til å finne sannsynligheten for mellom 190 og 210 kron (inkludert).

📝Oppgave 17

I en by bor det 10 000 personer. 30 % er under 18 år. I et tilfeldig utvalg på 300 personer, finn sannsynligheten for at mellom 80 og 100 er under 18 år.

📝Oppgave 18

Reaksjonstiden for en sjåfør er normalfordelt med $\mu = 0{,}8$ s og $\sigma = 0{,}15$ s. En sjåfør anses som «treg» dersom reaksjonstiden er over 1,1 s.

Finn andelen sjåfører som anses som trege.

Finn grensen for de raskeste 10 % av sjåførene.

Blant 500 sjåfører, hvor mange forventes å ha reaksjonstid mellom 0,6 s og 1,0 s?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Normalfordelingen er klokkeformet og symmetrisk om forventningsverdien $\mu$ , med spredning gitt av standardavviket $\sigma$ .
- 68–95–99,7-regelen: Ca. $68\,\%$ av verdiene ligger innenfor $\mu \pm \sigma$ , $95\,\%$ innenfor $\mu \pm 2\sigma$ og $99{,}7\,\%$ innenfor $\mu \pm 3\sigma$ .
- Z-score: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ — antall standardavvik fra gjennomsnittet, gjør ulike fordelinger sammenliknbare.
- Normalapproksimasjon: En binomisk fordeling kan tilnærmes med $N(np, \sqrt{np(1-p)})$ når $n$ er stor.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Normalfordeling	Klokkeformet, symmetrisk fordeling
$\mu$ og $\sigma$	Forventningsverdi og standardavvik
Z-score	Standardisert avvik fra gjennomsnittet
Empirisk regel	68–95–99,7-regelen

Viktige formler

z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}

- Binomisk

\approx N\bigl(np,\ \sqrt{np(1-p)}\bigr)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.