6.3 Normalfordelingen

Klokken som dukker opp overalt

På Statistisk sentralbyrå sitter en forsker og plotter høyden til tusenvis av norske menn fra sesjonsdata. Et mønster trer fram: de fleste klumper seg rundt 180 cm, færre og færre etter hvert som man beveger seg ut mot 160 eller 200, og histogrammet former en perfekt symmetrisk klokke. Så plotter hun noe helt annet — måleavvik fra et fysikkeksperiment. Samme klokke. IQ-skårer? Samme klokke. Fødselsvekter? Samme klokke igjen.

Denne kurven kalles normalfordelingen (eller Gausskurven), og den er den viktigste sannsynlighetsfordelingen i hele statistikken. Den beskriver høyde og vekt i en befolkning, måleusikkerhet i eksperimenter, testresultater — og, ved store tall, til og med antall feil i produksjon. At den dukker opp overalt er ingen tilfeldighet: når et resultat er summen av mange små, uavhengige bidrag — gener, kosthold, målefeil — ordner totalen seg klokkeformet.

Normalfordelingen skiller seg fra de fordelingene vi har møtt så langt på ett viktig punkt: den er kontinuerlig, ikke diskret. Høyde kan være 180,3 cm eller 180,31 cm — verdiene flyter. I dette kapittelet lærer du klokkens anatomi, tommelfingerregelen 68–95–99,7, det universelle måleinstrumentet z-score, og til slutt hvordan normalfordelingen kan overta jobben for binomisk fordeling når antall forsøk blir stort.

Klokkens anatomi og 68–95–99,7-regelen

En stokastisk variabel $X$ er normalfordelt med forventningsverdi $\mu$ og standardavvik $\sigma$ — skrevet $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ — når sannsynlighetstettheten er

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

Formelen ser fryktinngytende ut, men kurvens egenskaper er vennlige: den er symmetrisk om $\mu$, har toppunkt i $x = \mu$, nærmer seg $x$-aksen uten å berøre den, og arealet under hele kurven er nøyaktig 1. For kontinuerlige fordelinger er det nettopp arealer som er sannsynligheter: $P(a < X < b)$ er arealet under kurven mellom $a$ og $b$. Bare to tall styrer alt — $\mu$ plasserer klokken, $\sigma$ bestemmer hvor bred den er.

Og her kommer fordelingens mest praktiske egenskap, 68–95–99,7-regelen (den empiriske regelen): omtrent 68,3 % av verdiene ligger innenfor ett standardavvik fra gjennomsnittet, 95,4 % innenfor to, og hele 99,7 % innenfor tre. Det gjelder for enhver normalfordeling, uansett $\mu$ og $\sigma$.

Tilbake til sesjonsdataene: høyden til voksne norske menn er tilnærmet $N(180, 7^2)$. Hvor stor andel er mellom 166 og 194 cm? Vi gjenkjenner grensene: $166 = 180 - 2 \cdot 7$ og $194 = 180 + 2 \cdot 7$ — intervallet er nøyaktig $\mu \pm 2\sigma$. Regelen svarer umiddelbart: cirka 95 %. Slik bruker både klesprodusenter, møbeldesignere og helsemyndigheter regelen daglig: to standardavvik til hver side dekker nesten alle.

Z-score — det universelle måleinstrumentet

68–95–99,7-regelen treffer bare ved hele standardavvik. Hva når grensen er 172 cm — som verken er $\mu - \sigma$ eller $\mu - 2\sigma$? Da trenger vi den nøyaktige metoden: standardisering.

Trikset er å oversette enhver normalfordeling til én felles referanse, standardnormalfordelingen $Z \sim N(0, 1)$ med gjennomsnitt 0 og standardavvik 1. Oversettelsen heter z-score:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

Z-scoren svarer på spørsmålet «hvor mange standardavvik fra gjennomsnittet ligger denne verdien?» Positiv $z$ betyr over gjennomsnittet, negativ under, og null betyr midt på. Sannsynligheter følger med på kjøpet: $\displaystyle P(X \leq x) = P\!\left(Z \leq \frac{x-\mu}{\sigma}\right)$, og for $Z$ finnes tabeller og kalkulatorfunksjoner.

La oss regne. Hvor stor andel menn er kortere enn 172 cm når $X \sim N(180, 7^2)$? Først z-scoren: $\displaystyle z = \frac{172 - 180}{7} \approx -1{,}14$. Tabellen gir $P(Z < -1{,}14) \approx 0{,}127$ — cirka 12,7 %.

For et intervall standardiserer vi begge grensene og tar differansen av arealene. Hva er $P(175 < X < 190)$? Grensene gir $\displaystyle z_1 = \frac{175-180}{7} \approx -0{,}714$ og $\displaystyle z_2 = \frac{190-180}{7} \approx 1{,}429$, og

$$P(175 < X < 190) = P(Z < 1{,}429) - P(Z < -0{,}714) \approx 0{,}9234 - 0{,}2376 = 0{,}686$$

Z-scoren er dessuten et sammenligningsverktøy i seg selv. Er 187 cm høyde ($z = 1{,}0$) mer uvanlig enn IQ 130 ($z = 2{,}0$)? Z-scorene avgjør: IQ-en er klart sjeldnere. Slik sammenligner forskere epler og pærer — testresultater, blodverdier, eksamenskarakterer — på én felles skala.

Når klokken overtar for binomisk fordeling

Husker du valganalytikeren med $X \sim \text{Bin}(100, 0{,}4)$? Å beregne $P(X \leq 45)$ eksakt krever summering av 46 binomiske ledd. Men tegner du stolpediagrammet for denne fordelingen, ser du noe påfallende: stolpene former — en klokke. Det er ikke tilfeldig, og det gir oss en snarvei.

Normalapproksimasjonen sier at når $n$ er tilstrekkelig stor, kan en binomisk fordeling tilnærmes med en normalfordeling med samme forventning og varians:

$$X \approx N(np, \; np(1-p))$$

Tommelfingerregelen for når dette er trygt: $np \geq 5$ og $n(1-p) \geq 5$ — det må være «nok» av både suksesser og fiaskoer til at klokken får plass uten å bli kuttet av ved 0 eller $n$.

Én subtilitet gjenstår. Binomisk fordeling er diskret (stolper på heltall), normalfordelingen kontinuerlig (glatt kurve). Stolpen for verdien 45 strekker seg egentlig fra 44,5 til 45,5, så for å få med hele stolpen bruker vi kontinuitetskorreksjon: vi flytter grensen et halvt hakk utover,

$$P(X \leq k) \approx P\left(Z \leq \frac{k + 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$$

Nå løser vi eksempelet. Parametrene er $\mu = np = 40$ og $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6} = \sqrt{24} \approx 4{,}899$, og sjekken passerer: $np = 40 \geq 5$, $n(1-p) = 60 \geq 5$. Med korreksjon: $\displaystyle z = \frac{45{,}5 - 40}{4{,}899} \approx 1{,}123$, og tabellen gir

$$P(X \leq 45) \approx P(Z \leq 1{,}123) \approx 0{,}869$$

Én enkelt z-beregning erstattet 46 ledd. Dette er grunnen til at meningsmålinger kan oppgi feilmarginer og valgkvelder kan kalle resultater tidlig: bak kulissene er det normalapproksimasjonen som regner.

Oppsummering: én kurve for nesten alt

Forskeren på SSB så samme klokkeform i høyder, måleavvik og testskårer — og nå vet du hvorfor den formen fortjener tittelen statistikkens viktigste. Normalfordelingen $N(\mu, \sigma^2)$ er kontinuerlig, symmetrisk om $\mu$, med toppunkt i $\mu$ og totalt areal 1 under kurven; sannsynligheter er arealer, og hele fasongen styres av bare to tall — hvor klokken står ($\mu$) og hvor bred den er ($\sigma$).

For raske overslag har vi 68–95–99,7-regelen: cirka 68 % av verdiene innenfor $\mu \pm \sigma$, 95 % innenfor $\mu \pm 2\sigma$ og 99,7 % innenfor $\mu \pm 3\sigma$ — slik fant vi at 95 % av norske menn er mellom 166 og 194 cm. For nøyaktige svar standardiserer vi med z-scoren $\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma}$, som måler avstanden fra gjennomsnittet i standardavvik og oversetter alle normalfordelinger til standardnormalen $Z \sim N(0,1)$. Intervaller håndteres med differanser: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$. Z-scoren er samtidig forskerens sammenligningsverktøy på tvers av skalaer.

Til slutt slo vi bro tilbake til forrige kapittel: en binomisk fordeling med stor $n$ er i praksis en klokke, og normalapproksimasjonen $X \approx N(np, np(1-p))$ — gyldig når $np \geq 5$ og $n(1-p) \geq 5$, og finjustert med kontinuitetskorreksjonens halve hakk — erstatter titalls ledd med én z-beregning. Det er denne mekanikken som ligger under feilmarginene i enhver meningsmåling. I de neste kapitlene skal vi bruke normalfordelingen som arbeidsverktøy i nettopp slike anvendelser.